Fenômenos do Transporte - 1 Semestre de Escoamento permanente de fluido incompressível em condutos forçados

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1 Fenômenos do Transporte - 1 Semestre de Escoamento permanente de fluido incompressível em condutos forçados No capitulo anterior foi visto que a equação da energia dentro de hipóteses convenientes, reduz-se a: H 1 + H m = H + H p1, Muitos problemas referentes a instalações hidráulicas recaem nas hipóteses de validade da equação acima e visam à determinação de uma de suas parcelas, devendo, portanto, ser conhecidas as outras três. Não se deseja que o leitor faça disso uma regra, pois outros casos acontecem, mas muitas vezes a incógnita nos problemas é o termo H m ( carga manométrica da máquina) que, é utilizado no calculo de sua própria potencia. Nesse caso, normalmente, H 1 e H são conhecidos pelo projetista, pela própria configuração da instalação e pelas condições que lhe são impostas, como, por exemplo, a vazão disponível ou necessária para uma certa aplicação. Restaria, nesse caso, conhecer o termo H p1, ( perda de carga), para que por meio da equação citada fosse possível determinar o Hm. O objetivo deste capitulo é exatamente estabelecer métodos para a determinação da perda de carga e com isso resolver a equação acima, qualquer que seja a incógnita prefixada pelo projeto. O estudo deste capítulo implica, mais do que qualquer outro, a necessidade de conhecimento de todos os outros já estudados, devendo o estudante consultá-los sempre que necessário. 5.1 Definições: Neste item serão introduzidas definições e conceitos utilizados ao longo do capítulo. Prefere-se apresentá-los inicialmente para não interromper a sequencia nos itens posteriores, onde fossem necessários Condutos: Classificação: Conduto é qualquer estrutura sólida, destinada ao transporte de fluidos. 1

2 Os condutos são classificados, quanto ao comportamento dos fluidos em seu interior, em forçados e livres. O conduto é dito forçado quando o fluido que nele escoa o preenche totalmente, estando em contato com toda a sua parede interna, não apresentando nenhuma superfície livre. ( Figura a). O conduto é dito livre quando o fluido em movimento apresenta uma superfície livre ( Figura b) 5.1. Raio e Diâmetro Hidráulico: Raio Hidráulico (R H ) é definido como: R H A Onde: A = área Transversal do escoamento do fluido; Perímetro molhado ou trecho do perímetro, da seção da área A em que o fluido está em contato com a parede do conduto; Diâmetro hidráulico (DH) é definido por: A Tabela a seguir apresenta alguns exemplos: D H = 4R H

3 5.1.3 Rugosidade Os condutos apresentam asperezas nas paredes internas que influenciam na perda de carga dos fluidos em escoamento. Em geral, tais aspereza não são uniformes, mas apresentam uma distribuição aleatória tanto em altura como em disposição. No entanto, para efeito de estudo, supõe-se inicialmente ( tal hipótese será retirada posteriormente) que as asperezas tenham altura e distribuição uniformes. A altura das asperezas será indicada por ε e denominada rugosidade uniforme. 3

4 Para efeito do estudo das perdas no escoamento de fluidos, é fácil compreender que elas não dependem diretamente de ε, ma do quociente D H / ε que será chamado rugosidade relativa Classificação das perdas de carga Se for examinado o comportamento do escoamento de fluidos em condutos forçados, será possível distinguir dois tipos de perda de carga ( não esquecer que perda de carga é a energia perdida pela unidade de peso do fluido quando este escoa). O primeiro tipo é chamado perda de carga distribuída,que será indicado por h f. Tal perda como o próprio nome diz, é a acontece ao longo de tubos retos, de seção constante, devido ao atrito das próprias partículas do fluido entre si. Note-se que nessa situação a perda só será considerável se houver trechos relativamente longos de condutos, pois o atrito acontecerá de forma distribuída ao longo deles. O segundo tipo corresponde as chamadas perdas de cargas locais ou singulares, que serão indicadas por h s. Elas acontecem em locais das instalações em que o fluido sofre perturbações bruscas no escoamento. Essas perdas podem, diferentemente das anteriores, ser grandes em trechos relativamente curtos da instalação, como por exemplo,válvulas, mudanças de direção, alargamentos bruscos, obstruções parciais, etc. A Figura abaixo mostra uma instalação em que são indicados os tipos de perdas que irão acontecer. 4

5 Entre (1 e ), ( e 3), (3 e 4), (4 e 5) e (5 e 6) existem perda distribuídas. Em (1) estreitamento brusco, () e (3) cotovelos, (4) estreitamento, (5) válvulas, existem perdas singulares. Mais adiante será observado que o calculo de umas e outras perdas será efetuado de formas diferentes, como era de se esperar, já que as primeiras dependem do comprimento do conduto, enquanto as outras não dependem. Numa instalação completa, o termo Hp1, da equação : H 1 + H m = H = H p1,, será dado por: H p1, = Σh f + Σh s 5. Estudo da perda de carga distribuída (h f ) As hipóteses a seguir estabelecem as condições de validade do estudo. a) Regime permanente, fluido incompressível, para a validade da equação: H 1 + H m = H = H p1,. Notese que gases que escoam com pequenas variações de pressão podem ser considerados incompressíveis; b) Condutos longos, para que no trecho considerado possa ser alcançado o regime dinamicamente estabelecido; c) Condutos cilíndricos, isto é, de seção transversal constante, mas qualquer. Se na instalação a área da seção variar de local a local, será necessário calcular a perda de carga em cada trecho e posteriormente somá-las para obter o total; d) Regime dinamicamente estabelecido, para que o diagrama de velocidades seja o mesmo em cada seção; 5

6 e) Rugosidade uniforme ( esta hipótese será retirada posteriormente); f) Trecho considerado sem máquinas; Dentro dessas hipóteses, serão aplicadas entre as seções (1) e () de um conduto as equações estudadas nos capítulos anteriores. 1) Equação da Continuidade: Dentro da hipótese de fluido incompressível, a equação da continuidade resulta em: Mas o conduto é cilindro, então: Q 1 = Q v 1 A 1 v A A 1 = A v 1 = v = cte Logo a velocidade deve ser constante em cada trecho escolhido para o calculo da perda de carga distribuída. ) A equação da energia 6

7 A equação da energia entre as seções (1) e () entre s quais não há máquina, resulta em: H 1 = H + H p1, Mas, cumpridas as hipóteses de (a) a (f), H p1, = h f1, por definições. Logo: h p1, = H 1 H = H Pode-se então concluir que a perda de carga distribuída entre duas seções de um conduto é igual à diferença entre as cargas totais das duas seções, mantidas as hipóteses de (a) a (f). Sendo: Temos: Pela Equação v 1 = v = cte e rearranjando os termos tem-se: 7

8 A soma P/γ + z será chamada Carga Piezométrica ( CP). Note-se que pela Figura acima, a CP pode se medida em cada seção pela instalação de um piezômetro. Adotando um PHR, a carga piezométrica será então, a distância, em cada seção, do nível superior do líquido no piezômetro até o PHR. Observa-se que, pela equação acima, a perda de carga é dada pela diferença entre as cargas piezométrica das duas seções. Isso permite estabelecer um método experimental para a determinação da perda de carga. Se entre as seções (1) e () forem instalados muitos piezômetros, o nível superior do líquido em cada um deles indicará a carga piezométrica na seção, isto é, o valor de P/γ + z O lugar geométrico dos pontos, P/γ + z, é denominado linha piezométrica, que mostra geometricamente o andamento da pressão do fluido ao longo do conduto. Será mostrado a seguir que a linha piezométrica, dentro das hipóteses de (a) e (f) é uma linha reta, de forma que, conhecendo-se o valor de P/γ + z em dois pontos, ela possa ser traçada. Defini-se linha da energia como sendo o lugar geométrico dos pontos: H P z v g 8

9 Essa linha é obtida ao se somar a quantidade v g á carga piezométrica e fornecerá o andamento da energia ao longo da instalação, sendo portanto sempre decrescente no sentido do escoamento, menos entre as seções de entrada e saída de uma bomba, já que esta fornece energia para o fluido. Note-se que mantidas as hipóteses (a) e (f), a linha da energia será uma reta paralela à linha piezométrica, já que, v g é constante no trecho considerado. A diferença de cotas entre dois pontos quaisquer da linha da energia fornecerá o valor da perda de carga no trecho considerado, isto é, entre as seções correspondentes aos dois pontos. 3) Equação de quantidade de movimento Pela equação da quantidade de movimento entre (1) e (): 9

10 Sendo que F s é a força resultante das pressões e tensões de cisalhamento da parede sólida sobre o fluido. Tal força, nesse caso, é exercida pela parede interna do conduto entre as seções (1) e (). Projetem-se os vetores dessa equação segundo o eixo x do conduto, orientado conforme mostrado na Figura acima. Lembrando ainda que pela Equação: v 1 = v = cte Logo: F s = -p 1 A 1 + p A + G senα Como as pressões agem perpendicularmente à parede lateral, a força de pressões não terá componente segundo o eixo x, de forma que a Força F x será composta somente da resultante das tensões de cisalhamento que agem na parede lateral do conduto. Essa parede tem uma área dada por σ X. Assim, supondo as tensões com distribuição uniforme, já que o regime é dinamicamente estabelecido e a rugosidade é uniforme, tem-se: F s = -τσ x O sinal negativo resulta do fato de que a força se opõe ao movimento e, portanto, tem sentido contrario ao eixo. Logo: -τσ x = (p - p 1 )A + G senα G = γv = γ x A Ou -τσ x = (p - p 1 )A + γ x A senα Note-se que: x senα = z -z 1 Dividindo por γa e lembrando que A/σ = R H, tem-se: 10

11 z P z P R H x Então temos: 1 1 4, 1 z P z P H f D x h Dessa equação conclui-se que a linha piezométrica é uma reta, pois sendo τ, γ, RH constantes, podese escrever kx z P, que é a equação de uma reta. Pode-se concluir, ainda, que a perda de carga distribuída é diretamente proporcional ao comprimento x = L do conduto e inversamente proporcional ao diâmetro hidráulico. Se o calculo da tensão de cisalhamento na parede do conduto não fosse de difícil determinação, a expressão serviria para o calculo da perda de carga distribuída. Devido aquela dificuldade, será determinada outra expressão de maior utilizada de pratica. H f D L h 4, Formula da Perda de Carga distribuída Para o calculo da perda de carga distribuída adota-se a seguinte formula: g v D L f h H f Sendo: f = coeficiente da perda de carga distribuída; L = comprimento do conduto;

12 D H = Diâmetro hidráulico ( diâmetro interno da Tubulação); v = velocidade média do escoamento; g = é a aceleração gravitacional; Note-se que, com essa equação, dados L, D H e a vazão ( ou velocidade), pode-se determinar h f, conhecendo o valor de f que é função do número de Reynolds e da rugosidade relativa. A obtenção do valor de f que é função do número dos valores de Re e D H /ε, será realizada experimentalmente, pela construção de um diagrama universal, já que f, Re e D H /ε, são adimensionais. A rugosidade da parede da tubulação, ε, pode ser definida como a altura média das saliências da superfície interna do duto. A rugosidade relativa é o quociente entre a rugosidade e o diâmetro interno do duto, expressos nas mesmas unidades. Os fatores de atrito f, são obtidos do Diagrama de Moody apresentado na Figura abaixo. Observe que o fator de atrito f é adimensional. Para a determinação da rugosidade relativa ε/d, com o conhecimento do diâmetro do duto e do material do que ele é construído, também utiliza-se o diagrama abaixo. Para a determinação da perda de carga num escoamento totalmente desenvolvido, em uma tubulação de seção circular de diâmetro constante quando se conhece a vazão ( velocidade média), o comprimento considerado e o diâmetro interno do duto,primeiro calcula-se o número de Reynolds (Re) do escoamento. O valor da rugosidade relativa (ε/d) é obtido do diagrama mostrada abaixo. Com os valores de ε/d e de Re, determina-se o fator de atrito f do diagrama de Moody. Com o fator de atrito f obtido, calcula-se a perda de carga distribuída por meio da equação de perda de carga distribuída, mostrada acima. Para o caso de escoamentos laminares totalmente desenvolvidos em tubulação de seção circular, o fator de atrito f é função somente do numero de Reynolds do escoamento. Para os escoamentos turbulentos, em dutos de seção circular, os fatores de atrito, que são funções do número de Reynolds e da Rugosidade relativa do duto, são determinados experimentalmente e obtidos pelo Diagrama de Moody. 1

13 Diagrama de Moody para os fatores de atrito para escoamentos em dutos de seção circular 13

14 Diagrama de Moddy para rugosidade relativa de dutos de seção circular. OBSERVAÇÃO: 1 milímetro = 0,0394 polegadas 1 centímetro = 0,394 polegadas 1 metro = 39,40 polegadas 14

15 5.3 Formula da Perda de Carga localizada Já foi visto que a perda de carga é localizada quando é produzida por uma perturbação brusca no escoamento do fluido. Viu-se também que tais perturbações são produzidas nas singularidades, como válvulas, registros, alargamentos bruscos, etc. As perdas de cargas localizadas também são calculadas por uma expressão obtida pela análise dimensional, como se segue. A perda de carga localizada ( ou acidental), hs, pode ser obtida por meio da equação: v h s K g Onde K é o coeficiente de perda de carga localizada determinado experimentalmente para a situação em estudo. Os valores do coeficiente de perda de carga localizada K podem ser encontrados em tabelas apresentadas em manuais e livros de hidráulica. O acessório tem sua perda de carga localizada calculada pelo produto de um coeficiente característico pela carga cinética que o atravessa. Cada tipo de acessório tem um coeficiente de perda de carga característico, normalmente indicado pela letra k. A perda causada pelo acessório é calculada pela expressão mostrada abaixo. 15

16 Tabela: Coeficiente cinético para acessórios de tubulação 16

17 Tabela: Comprimento Equivalente Adimensionais Representativos ( L e /D) para Válvulas e Acessórios) Tipos de Acessórios Comprimento Equivalente (L e /D) Válvulas de gaveta 8 Válvula Globo 340 Válvula angular 150 Válvulas Complementares (Completamente Abertas) Válvula de esfera 3 Globo 600 Válvula de retenção: Angular 55 Válvula de pé de crivo Disco solto 40 Disco articulado 75 Cotovelo-padrão: 90º 30 45º 16 Curva de retorno( 180º ) modelo estreito 50 Te-padrão Escoamento principal 0 Escoamento Lateral ( ramal) 60 Sua determinação pode ser feita da seguinte forma: Singularidade: v h s K g Tubo Fictício: h feq f Leq D H v g 17

18 Igualando as duas expressões ( pela definição de comprimento equivalente ( Leq), obtém-se: f Leq v v K s D g g H Cancelando v e g, temos: Leq D H f K s Na pratica, os comprimentos equivalentes são tabelados, de forma que numa instalação todas as singularidades possam ser reduzidas a comprimentos imaginários de condutos, e o calculo da perda total é dado por Hp = Σh f + Σh s Hp f Lreal v Leq v f D g D g H H Hp f Lreal D Leq v H g 18

19 Exercícios 1) Determinação da perda de carga distribuída em um escoamento de água ( viscosidade µ = 0,001 Pa.s e massa especifica ρ = 1000 Kg/m 3 ) com vazão Q = 0,0m 3 /s num duto, com parede de ferro fundido, de seção circular com diâmetro D = 10 cm e comprimento L = 300 m. ( Resp. h f =3, m) ) Determinar a perda de carga por Km de comprimento de uma tubulação de aço de seção circular de diâmetro 45 cm. O fluido é óleo ( ν = 1,06x10-5 m /s) e a vazão é 190 L/s. ( Resp. h f =3,30m) 3) Considere um escoamento de água, com vazão Q = 0,04 m 3 /s num duto horizontal de ferro galvanizado de seção transversal circular com diâmetro d=10 cm.o duto tem comprimento de 100m. Considerando que ρ HO = 1000 Kg/m 3 e µ = 0,001 Pa.s. Determine a perda de carga distribuída e a queda de pressão no duto. (Resp. h f = 7,0 m; P -P 1 = 7 KPa). 4) Na instalação da Figura a bomba B recalca água do reservatório R1 para o reservatório R, ambos em nível constante. Desprezando as perdas de carga singulares, determinar: a) a perda de carga distribuída; ( Resp. hf = 3,90m) b) A potencia da bomba em Kw se o rendimento é 75%. ( Resp. N B = 3,81 KW) Dados: d = 10 cm; L = 50 m; Tubos de ferro fundido; g = 10m/s ; ν = 10-6 m /s; γ = 10 4 N/m 3 ; v =,55 m/s 5) Tem-se um reservatório com altura de água disponível de 15m alimentando um reservatório enterrado através de uma tubulação de aço galvanizado de 10m de comprimento. Sendo necessária uma vazão de 5L/s, determine o diâmetro dessa tubulação para realizar a tarefa. D = 0,040 m. Calcule a perda de carga distribuída. 6) Calcule a perda de carga em um tubo de aço galvanizado de 5mm de diâmetro e 160m de comprimento que transporta água a uma vazão de 30 litros por minuto. A massa específica da água é 1000kg/m 3 e sua viscosidade é 1, Pa.s e a perda de pressão. (Resp. : hf = 11,857m e p = 11603, 4 Pa) 19

20 7) No trecho (1)-(5) de uma instalação existem: uma válvula de gaveta (), uma válvula tipo globo (3) e um cotovelo (4). Sendo a tubulação de aço de diâmetro = (5 cm), determinar a perda de carga entre (1) e (5), sabendo que a vazão é L/s e que o comprimento da tubulação entre (1) e (5) é 30 cm (ν=10-6 m /s). 8) Escoamento de água a 0,01 m3/s através de um tubo de 75 mm de diâmetro, com L=100m, ligado a um reservatório de nível constante. Considerar entrada de borda viva ( K=0,5). Calcule a profundidade d, para manter o escoamento. Considere, tubo estirado. ( ν = 10-6 m /s). (Resp. d = 5,83 m) 9) Na instalação da Figura, deseja-se conhecer o desnível h entre os dois reservatórios de água. Dados: Potência fornecida ao fluido N = 0,75 KW. Diâmetro do duto: 3 cm; Q = 3L/s; L 1, = m; L 3,6 = 10m; K s1 = 1; K s4 =K s5 =1,; K s6 = 1,6; ν = 10-6 m /s; f = 0,0; γ = 10 4 N/m 3. Determinar também a rugosidade do conduto. ( Resp. h = 13,3m; ε/d H = 0,001) (Resp. h = 13,30m e ε/d H = 0,0005) 0