HIDRÁULICA I. Enunciados dos problemas. Março de 2008

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1 DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E ARQUITECTURA SECÇÁO DE HIDRÁULICA E RECURSOS HÍDRICOS E AMBIENTAIS HIDRÁULICA I Enunciados dos problemas Março de 2008 HIDRÁULICA I 1

2 1 ANÁLISE DIMENSIONAL E PROPRIEDADES DOS FLUIDOS PROBLEMA 1.1 Determinar as dimensões das seguintes grandezas nos sistemas MLT e FLT: massa volúmica; peso volúmico; viscosidade; viscosidade cinemática. Indicar os valores-padrão das grandezas anteriores para a água no sistema métrico gravitatório, MKS, e no Sistema Internacional de Unidades, SI. Indicar ainda o valor da viscosidade em poise (dine s 2 cm ). Qual a diferença entre dimensão e unidade? NOTA: Viscosidade cinemática da água, v = 1, m s. PROBLEMA 1.2 Verificar a homogeneidade dimensional da equação que exprime o teorema de Bernoulli aplicável a fluidos reais ao longo de uma trajectória: 2 1 ν p ν + z + = J s 2g γ g t em que p é a pressão associada ao escoamento, v é a sua velocidade, z é a cota geométrica, g é a aceleração da gravidade, y é o peso volúmico do fluido, t é o tempo e J é o trabalho das forças resistentes por unidade de peso de fluido e por unidade de percurso. HIDRÁULICA I 2

3 2 HIDROSTÁTICA PROBLEMA 2.1 O tubo representado na figura está cheio de óleo de densidade 0,85. Determine as pressões nos pontos A e B e exprima-as em metros de coluna de água equivalente. PROBLEMA 2.2 Se for injectado gás sob pressão no reservatório representado na figura, a pressão do gás e os níveis dos líquidos variam. Determinar a variação de pressão do gás necessária para que o desnível x aumente 5cm sabendo que o tubo tem diâmetro constante. PROBLEMA 2.3 Considere o esquema representado na figura, em que existe ar sob pressão acima da superfície BD. A comporta ABCDE pode rodar sem atrito em tomo de E. HIDRÁULICA I 3

4 a) Trace os diagramas de pressão na face esquerda da comporta e calcule os valores da pressão nos pontos A, B, C, D e E. b) Qual deverá ser a altura de água a jusante, h j, de forma a que se estabeleça o equilíbrio, nas condições da figura, admitindo que o ponto de aplicação do peso da com porta é o ponto C. PROBLEMA 2.4 A comporta representada na figura é sustentada pelas barras AB espaçadas de 6m em 6m. Determinar a força de compressão a que fica sujeita cada barra desprezando o peso da comporta. HIDRÁULICA I 4

5 PROBLEMA 2.5 Na parede BC de um reservatório existe uma tampa metálica quadrada de 1m de lado, conforme se indica na figura. A aresta superior da tampa, de nível, dista 2m da superfície livre do líquido Determinar: a) A impulsão total sobre a tampa metálica e as suas componentes horizontal e vertical. b) A posição do centro de impulsão. PROBLEMA 2.6 Um recipiente de forma cúbica, fechado, de 1m de aresta, contém, até meia altura, um óleo de densidade 0,85, sendo de 7k Pa a pressão do ar na sua parte superior. Determinar: a) A impulsão total sobre uma das faces laterais do recipiente. b) A posição do centro de impulsão na mesma face. PROBLEMA 2.7 Qual o peso volúmico mínimo que deverá ter um corpo sólido homogéneo sobre o qual assenta uma membrana de impermeabilização com a forma indicada na figura, para resistir, sem escorregamento, à impulsão da água que represa? O coeficiente de atrito estático entre os materiais que constituem o corpo e a base onde este assenta é 0,7. HIDRÁULICA I 5

6 PROBLEMA 2.8 Na parede de um reservatório existe um visor semi-esférico com o peso de 5 kn, ligado à mesma conforme se indica na figura. Calcule as componentes horizontal e vertical da impulsão sobre o visor. PROBLEMA 2.9 Uma comporta cilíndrica com 2m de raio e 10m de comprimento, prolongada por uma placa plana AB, cria num canal um represamento nas condições indicadas na figura. A comporta encontra-se simplesmente apoiada nas extremos do seu eixo em dois pilares. Determinar: HIDRÁULICA I 6

7 a) A componente horizontal da força transmitida a cada pilar quando a comporta está na posição de fechada, admitindo que é nula a reacção em B. b) O peso mínimo que deverá ter a comporta para não ser levantada, supondo possível tal deslocamento e desprezando o atrito. PROBLEMA 2.10 Considere-se uma comporta de segmento, com 5m de largura, instalada na descarga de fundo de uma albufeira, nas condições da figura junta. A comporta pode ser manobrada, para abertura, por dois cabos verticais fixados às suas extremidades laterais. Admite-se que os dispositivos de vedação impedem a passagem da água para a zona que se situa superiormente à comporta. G = 50 kn a) Determinar a.1) As reacções de apoio em A e B, supondo esta última vertical. a.2) A força, F, necessária para iniciar o levantamento da comporta. b) Considere o caso de a comporta ser plana em vez de cilíndrica. b.1) Indicar se a força necessária ao levantamento da comporta aumenta ou diminui em relação à da alínea a.2. b.2) Calcular o valor dessa força em cada cabo. b.3) Indicar se essa força aumenta ou diminui depois de iniciado o movimento de abertura, sabendo que o escoamento a jusante da comporta se fazem superfície livre. HIDRÁULICA I 7

8 PROBLEMA 2.11 Num canto de um reservatório paralelepipédico encontra-se colocada uma peça com a forma de 1/8 de esfera de raio R. Calcular a impulsão total do líquido sobre esta peça e a inclinação daquela impulsão, sabendo que a altura do líquido no reservatório é h. PROBLEMA 2.12 Uma esfera homogénea de peso volúmico y flutua entre dois líquidos de densidades diferentes, de tal maneira que o plano de separação dos líquidos passa pelo centro da esfera, conforme se ilustra na figura. Determinar a relação entre os três pesos volúmicos. PROBLEMA 2.13 Um camião sobe uma rampa de 10 graus de declive com velocidade constante, transportando líquido, de acordo com o representado na figura. Determinar a máxima aceleração que se pode imprimir ao camião sem que o líquido se entorne. PROBLEMA 2.14 Para medir a aceleração de um corpo móvel, usou-se um tubo de vidro ABCD de secção uniforme e pequena, parcialmente preenchido com um líquido, com a forma e as dimensões indicadas na figura, onde também se caracteriza a posição do líquido na situação de repouso. HIDRÁULICA I 8

9 O tubo foi fixado ao corpo móvel num plano vertical; o sentido do movimento do corpo é de B para C. Desprezando os efeitos da capilaridade e da tensão superficial, qual é a máxima aceleração do corpo que pode ser medida com este dispositivo? HIDRÁULICA I 9

10 3 HIDROCINEMÁTICA PROBLEMA 3.1 Soldados marcham em quatro colunas com uma velocidade de 1, 0ms distanciados entre si de 1, 0m. No instante t = 4s, viram todos à esquerda e continuam a marchar. Fazendo uma analogia com a hidrocinemática, desenhe: a) Algumas trajectórias. b) Algumas linhas de corrente (antes e depois do esquerda volver ). c) A linha de filamento no instante t = 8s para a posição inicial do primeiro soldado (linha 1; coluna 1). 1 PROBLEMA 3.2 Seja o escoamento bidimensional definido pelo seguinte campo de velocidades: Determine as equações: ( 1 2 ) u = x + t v = y w = 0 a) Da linha de corrente que passa pelo ponto (1;1) para t = 0s. b) Da trajectória que passa pelo ponto (1;1) no instante t = 0s. c) Da linha de filamento que passa pelo ponto (1:1) no instante t = 0s. PROBLEMA 3.3 O escoamento plano de um fluido incompressível entre um diedro recto e uma superfície cilíndrica de directriz xy = A, tem o seguinte campo de velocidades: V = 2axi 2ayj HIDRÁULICA I 10

11 a) Defina as equações das linhas de corrente e das trajectórias. b) Verifique a continuidade do escoamento com base na equação de conservação da massa na forma integral e calcule o caudal escoado na secção 1. PROBLEMA 3.4 O princípio da conservação da massa, aplicado a um sistema material, corresponde à seguinte identidade: dm dt = 0 Com base neste princípio e nas figuras juntas, e tendo em conta o Teorema de Reynolds e a técnica do volume de controlo, determine: a) A velocidade u 1 (cf. Fig. a), usando como volume de controlo o volume inicial do tanque, mantendo-o fixo no tempo. Indique um outro volume de controlo que seja mais conveniente para a resolução deste problema (volume móvel). Fig. a b) A lei da variação da área da secção da superfície livre S 1 (h) de modo que u 1 seja constante (cf. Fig. b). HIDRÁULICA I 11

12 Fig. b c) A massa volúmica do gás, ρ(t), de modo que q e seja constante (cf. Fig. c). Fig. c HIDRÁULICA I 12

13 4 HIDRODINÂMICA. PRINCÍPIOS DE CONSERVAÇÃO. FORMA INTEGRAL PROBLEMA 4.1 Um motor a jacto que se desloca com velocidade uniforme queima 2,3 kg de combustível por segundo. O combustível entra no motor verticalmente, conforme se indica na figura. Na secção de admissão ou de entrada de ar, a velocidade relativa do ar (em relação ao motor) é de 90 ms -1. Nesta secção, a área de entrada é de 0,4 m 2 e a massa volúmica do ar é de 1 kgm -3. Na secção de saída, a área é de 0,2 m 2 e a velocidade relativa do gás é de 550 ms -1. Determinar: a) A massa volúmica do gás à saída do motor. b) A força motriz desenvolvida pelo motor e que actua na asa do avião. PROBLEMA 4.2 Uma tubagem horizontal com 30cm de diâmetro conduz água. A velocidade média do 1 escoamento na secção 1 é de 0, 5ms. Dois pequenos tubos verticais introduzem, na tubagem principal, um caudal de 1 10 ls cada, conforme figura. Ache a diferença de pressões p1 p2 desprezando o efeito das tensões tangenciais nas paredes da tubagem e tendo em conta que a secção 2 está suficientemente afastada dos tubos verticais. HIDRÁULICA I 13

14 PROBLEMA 4.3 Um caudal Q entra verticalmente num pequeno canal de secção rectangular com fundo horizontal e largura B, conforme se mostra na figura. A altura da água à saída é h 2. Determinar a altura a montante, h 1, admitindo que a distribuição de pressões é hidrostática em todas as secções transversais. PROBLEMA 4.4 Um jacto horizontal de água, na atmosfera, incide num deflector fixado num corpo sólido com peso P (Figura) assente num plano horizontal. Por acção do jacto, o corpo desloca-se na direcção do jacto incidente estando sujeito a uma força de atrito resultante da força vertical total que actua na respectiva base. Conhecida a velocidade do jacto, V j, num referencial em repouso e a respectiva área transversal, A j, pretende-se determinar a velocidade final (constante) do corpo sólido. Nota: o deflector provoca o desvio do jacto em ângulo recto, sendo desprezáveis as tensões tangenciais actuantes no jacto e a resistência do ar. Considere constante o coeficiente de atrito na base do corpo ( C a ). Jacto de água atmosfera A j, V j P HIDRÁULICA I 14

15 PROBLEMA 4.5 Considere o depósito munido de rodas representado na Figura o qual se desloca com a velocidade W ( t ) relativamente a um referencial em repouso (inercial). O reservatório contém um líquido com massa volúmica ρ (constante). Do orifício existente na parede do reservatório sai um jacto com caudal Q. Desprezando todas as forças de resistência e atrito deduza a equação do movimento do depósito segundo a direcção horizontal e a expressão do valor da velocidade W. Q W (t) z x PROBLEMA 4.6 Numa tubagem convergente de eixo horizontal existem duas secções, com áreas de 1, 0m e 2 0, 5m onde para o escoamento de um dado líquido se têm alturas piezométricas no eixo de 15, 0m e 5, 0m, respectivamente. Calcular: a) O caudal escoado, supondo nula a perda de carga ente as secções e admitindo que o coeficiente de Coriolis, α, tem o valor de 1,1. b) O coeficiente de quantidade de movimento. 2 PROBLEMA 4.7 Num trecho, de comprimento L = 2m de uma conduta cilíndrica de eixo horizontal está inserida uma mudança de direcção de 90. Na conduta escoa-se um fluido compressível. O diâmetro da 1 conduta é D = 0, 2m. A velocidade média do escoamento em cada secção é u = 0, 25ms. As pressões nas secções 1 e 2 são, respectivamente, 1, 5 10 Pa e 0, 9 10 Pa. As densidades nas secções 1 e 2 são respectivamente, 1, 5d m e 0, 5d m em que trecho de conduta. 5 5 d m é a densidade média no HIDRÁULICA I 15

16 L/2 1 y x L/2 2 Figura 2 No instante inicial ( t = 0s ), a densidade média no trecho de conduta é d = 1, 0. Calcule: a) A lei de variação da massa no trecho em função do tempo e a massa em t = 3s ; b) A força que o escoamento exerce sobre o trecho de conduta quando t = 3s. PROBLEMA 4.8 Calcular as forças a que estaria sujeito o maciço de amarração da bifurcação representada em planta na figura, m D = 1, 20m D = D = D = D = 0, 50m p = p = p = p = p = 500 kpa A B C D E A B C D E nas seguintes condições: a) Quando as válvulas instaladas em B, C, D e E se encontram fechadas. b) Quando as válvulas em B e E se encontram fechadas e por cada uma das secções C e D se escoa um caudal de 3 1 3m s. c) Quando as válvulas em B e C se encontram fechadas e por cada uma das secções D e E se escoa um caudal de 3 1 3m s. d) Quando por cada uma das secções B, C, D e E se escoa um caudal de 1, 5m s. Considere o coeficiente de Coriolis α = 1. Os eixos da conduta e da bifurcação são horizontais. 3 1 HIDRÁULICA I 16

17 PROBLEMA 4.9 Numa galeria circular em pressão, com 3, 0m de diâmetro, escoa-se um caudal de m s. Aquela galeria tem inserida uma curva com eixo horizontal, de raio igual a 10m e ângulo ao centro de 60, em que a altura piezométrica se pode considerar constantemente igual a 100m. Determinar a força sobre o troço curvo da galeria nos seguintes casos: a) Quando se dá o escoamento atrás referido. b) Quando não há escoamento em virtude de a galeria ter sido obturada por uma comporta muito afastada da curva. c) Quando a obturação se faz imediatamente a jusante da curva por uma comporta. PROBLEMA 4.10 Determine a pressão que deverá ter o escoamento na secção A para que a tubagem representada na figura fique em equilíbrio no apoio B. 2 2 A C D S = 0, 50m S = S = 0, 10m G = 10kN Despreze as perdas de carga, as diferenças de cota das secções, o peso da tubagem e a contracção nas secções C e D. HIDRÁULICA I 17

18 PROBLEMA 4.11 Um torniquete hidráulico roda à velocidade de 10rpm sobre um pivot de 20mm de diâmetro e de 50mm de altura, com uma folga de 0, 10mm, preenchida por um lubrificante de viscosidade cinemática v = 6 10 m s. Os eixos dos jactos do torniquete, normais ao respectivo braço, distam 150mm do eixo de rotação vertical, sendo os orifícios de saída circulares, com 10mm de diâmetro. Supondo nula a contracção do jacto e conhecendo a densidade relativa do lubrificante que é igual à unidade, calcular o caudal de água que deverá escoar-se para manter o movimento em regime permanente. PROBLEMA 4.12 Uma pequena turbina de água, conforme esquema da figura, fornece uma potência de 7, 7kW. Determine a força horizontal provocada pelo escoamento no túnel, desprezando o aumento de energia devida ao atrito e as transferências de calor (turbina termicamente estanque). PROBLEMA 4.13 Determine a diferença entre as potências do escoamento nas secções A e C da tubagem 3 1 indicada na figura, quando se escoa o caudal de 2, 0m s. HIDRÁULICA I 18

19 Despreze as perdas de carga localizadas e considere uniforme a distribuição de velocidades nas secções A e C. PROBLEMA 4.14 Considere o esquema indicado na figura seguinte. A conduta entre os reservatórios A e B tem 3km de comprimento e apresenta uma perda de carga unitária H = 0, 0005 para o caudal 3 1 turbinado de 2, 0m s. Determine: a) A potência da turbina para um rendimento de η = 0, 80. b) A potência que deveria ter uma bomba instalada em vez da turbina para, com um rendimento η = 0, 60, elevar de B para A o mesmo caudal. Desprezar todas as perdas de carga localizadas e a velocidade no interior dos reservatórios PROBLEMA 4.15 Numa conduta de eixo horizontal em que se escoa um caudal de 0, 1m s de água, existe um estreitamento brusco, como se indica na figura. 3 1 HIDRÁULICA I 19

20 A montante do estreitamento estão montados piezómetros em que se lêem alturas de 5, 65m e 5, 00m, respectivamente, medidas em relação ao eixo da conduta. Calcular a perda de carga provocada pelo estreitamento. Considere uniforme a distribuição de velocidades nas secções. HIDRÁULICA I 20

21 5 HIDRODINÂMICA. FORMA DIFERENCIAL. FLUIDO PERFEITO E ESCOAMENTOS IRROTACIONAIS PROBLEMA 5.1 Considere o seguinte campo de velocidades: V = 2axi 2ayj Admitindo que o fluido é incompressível, verifique a continuidade do escoamento com base na equação de conservação da massa na forma diferencial. PROBLEMA 5.2 Considere as duas seguintes hipóteses de campos de velocidade de escoamentos permanentes planos de um fluido incompressível: a) 2 u = 2x + y b) u = 9xy + y v = 4xy v = 8xy + 2x Utilizando a forma diferencial do princípio da conservação, verifique, para ambos os casos, se há conservação da massa. Represente graficamente os vectores velocidade plausíveis nos pontos (0,0); (2,2) e ( 3,3). PROBLEMA 5.3 Para recolher contaminantes superficiais indesejáveis, como é o caso do óleo derramado na superfície do mar, pode utilizar-se um dispositivo do tipo tapete rolante, que os recolhe para um navio apropriado. HIDRÁULICA I 21

22 Quando o tapete opera em regime permanente, com velocidade U, a espessura da película de óleo é uniforme e igual a a. Admitindo que a velocidade do óleo é só motivada pelo tapete (velocidade da água do mar nula), determinar: a) O perfil da velocidade na película de óleo em função de U, a, θ e das propriedades do óleo γ e µ. b) O caudal de óleo transportado pelo tapete por unidade de largura. c) A espessura da película, a, para a qual o caudal é máximo. PROBLEMA 5.4 O recipiente cilíndrico de raio R 0 representado na figura junta, apresenta um tubo inserido radialmente e dobrado em L. O trecho vertical do tubo está a uma distância R 1 do eixo do recipiente. Sabendo que, quando em repouso, o recipiente contém um líquido até à altura a determine a altura h 1 atingida pelo líquido no tubo quando se imprime ao recipiente um movimento de rotação em torno do seu eixo, de velocidade angular ω. Despreze o volume de líquido no tubo. PROBLEMA 5.5 Numa tubagem com 2 m 2 de secção que transporta um caudal de 2 m 3 s -1 de água, insere-se um estreitamento localizado, a montante do qual a pressão absoluta é de 0,15 MPa. Indicar qual a pressão mínima teórica do estreitamento para o qual não se verifique perturbação do escoamento. Considere nulas as perdas de carga no estreitamento, uniforme a distribuição de velocidades em qualquer secção e admita que a temperatura do líquido é 20 C. HIDRÁULICA I 22

23 PROBLEMA 5.6 Considere uma albufeira com o volume R de água e secção transversal média A R. A barragem está munida com uma descarga de fundo com secção transversal A estando o respectivo eixo à distância H 0 da superfície livre da albufeira. Determine o tempo de esvaziamento da albufeira no caso de se abrir totalmente a descarga de fundo. Despreze as perdas de carga (fluido perfeito) e as forças de inércia. Z R H 0 R descarga de fundo PROBLEMA 5.7 Admitindo a aproximação do fluido perfeito, determine a expressão matemática que permite determinar o peso P de um corpo equilibrado, na atmosfera, por um jacto de água vertical à distância h 1 da saída do bocal com secção S 0. Considere a carga H 0 à saída do jacto para a atmosfera. atmosfera H 0 P h 1 HIDRÁULICA I 23

24 PROBLEMA 5.8 Para a instalação representada na figura, obtenha a expressão que relaciona o caudal escoado com as variáveis assinaladas na mesma figura, desprezando as perdas de carga entre as secções 1 e 2. PROBLEMA 5.9 Numa secção a montante do descarregador representado na figura junta, a velocidade do escoamento é 1 ms 1 e a altura de água sobre o fundo é 2,0 m. Considerando irrotacional o escoamento na vizinhança do descarregador e que a pressão no ponto P é a atmosférica, determine a velocidade nesse ponto. PROBLEMA 5.10 Através do difusor de uma turbina, com a forma e dimensões indicadas na figura, escoa-se um caudal de 20 m 3 s -1. HIDRÁULICA I 24

25 Calcular a pressão existente na secção 1, em atmosferas, sabendo que na secção 3, em que o difusor descarrega para um lago de grandes dimensões, se dá uma perda de energia igual à energia cinética nesse ponto. Admitindo que o escoamento no difusor é irrotacional, calcular a pressão na soleira na secção 2. Considerar a distribuição de velocidades uniforme nas diferentes secções do difusor. PROBLEMA 5.11 Sabendo que um ciclone pode ser tratado como um vórtice potencial rectilíneo e que, num dado ciclone, a velocidade do vento a 50 km do centro é de 20 kmh -1, determinar o valor da componente radial do gradiente da pressão nesse ponto. Qual a diferença de pressão entre tal ponto e outro situado a 5 km do centro, à mesma cota? PROBLEMA 5.12 O escoamento irrotacional, num canal munido de uma comporta com abertura inferior, tem a rede isométrica (rede de escoamento) que se representa na figura. Efectuar uma análise qualitativa da distribuição de pressões na soleira e no plano vertical da comporta. HIDRÁULICA I 25

26 6 TEORIA DA SEMELHANÇA PROBLEMA 6.1 Na figura junta representa-se esquematicamente uma ponte sobre um curso de água. A capacidade de vazão na secção da ponte é função da velocidade do escoamento, V 0 da altura de água a montante, h, da contracção da secção, C, e do comprimento dos pilares da ponte, l p. Considerando que as forças da gravidade são predominantes e que as forças relacionadas com os efeitos da viscosidade podem ser desprezadas, determine uma expressão geral da lei de vazão, aplicando os conceitos da análise dimensional. PROBLEMA 6.2 Para o ensaio em modelo reduzido de um fenómeno que dependa exclusivamente da gravidade, utilizando-se o mesmo líquido no modelo e no protótipo, determine as escalas das seguintes grandezas, em função da escala dos comprimentos: a) velocidade; b) tempo; c) aceleração; d) caudal; e) massa; f) força; HIDRÁULICA I 26

27 g) energia; h) potência. PROBLEMA 6.3 Efectuaram-se experiências em laboratório para obter as características de resistência de um navio em relação à onda (depende somente da gravidade) que se vai opôr ao seu deslocamento. Calcule: a) A que velocidade se deverá fazer o ensaio na escala 1/25 para que a velocidade real correspondente seja de 40 kmh -1. b) A resistência para o protótipo se, no modelo reduzido, for medido o valor de 5 N. c) O período da vaga no protótipo sendo o seu valor de 3 s no modelo. PROBLEMA 6.4 Para estudar um escoamento variável construiu-se um modelo à escala linear de 1/10. Usa-se água no protótipo e sabe-se que as forças de viscosidade são dominantes. Determinar a escala dos tempos e forças em condições de semelhança hidráulica se: a) usar água no modelo; b) usar um óleo cinco vezes mais viscoso que a água e cuja massa volúmica é 80% da da água. HIDRÁULICA I 27

28 7 LEIS DE RESISTÊNCIA E ESCOAMENTO EM PRESSÃO PROBLEMA 7.1 Pretende-se elevar o caudal de 4 1s -1 de um reservatório A para um reservatório B, por uma conduta elevatória com 250 m de comprimento e 150 mm de diâmetro. O líquido a elevar é um óleo com uma densidade relativa de 0,9 e com a viscosidade cinemática ν = 3 x 10-4 m 2 s -1. A potência da bomba é de 2,2 kw e o rendimento é de 0,70. O reservatório B, de grandes dimensões, é fechado e contém ar sob pressão, situando-se a superfície do óleo à cota 8 m. Calcular a pressão do ar no reservatório B. PROBLEMA 7.2 Numa conduta circular com 1,0 m de diâmetro e com a rugosidade absoluta k = 0,5 mm escoase o caudal de 3 m 3 s -1. Sendo a viscosidade cinemática do líquido ν = 10-5 m 2 s -1, determine a perda de carga unitária. PROBLEMA 7.3 Numa conduta circular com a rugosidade absoluta k = 1,5 mm, escoa-se o caudal de 2 m 3 s -1. Sendo a viscosidade cinemática do líquido ν = 10-6 m 2 s -1 e a perda de carga unitária J = 0,008, determine o diâmetro da conduta. PROBLEMA 7.4 Considere o escoamento bidimensional com superfície livre e leito móvel num canal largo com fundo hidraulicamente rugoso com rugosidade absoluta k = 6,5 mm. Obteve-se o perfil de velocidades longitudinais médias temporais, u, exibido na figura 1 e resumido na tabela 1. Tabela 1 y(m) Ln(y/k) u (ms-1) 0,0076 0, ,3619 0,0096 0, ,3917 0,0126 0, ,4120 0,0156 0, ,4364 0,0236 1, ,4805 HIDRÁULICA I 28

29 y (m) u (m/s) Figura 1 Perfil da velocidade longitudinal média no tempo a) Determine o valor da velocidade de atrito, u * = τ0 ρ, e do coeficiente B da expressão do perfil de velocidades longitudinais médias válido para as regiões logarítmica e de transição u( y) 1 y = ln + B u κ k * (1) em que κ = 0,4 é a constante de Von Kármán. b) Assumindo que a lei logarítmica (equação 1) é válida para a totalidade do escoamento e 2 u* sabendo que o factor de Darcy-Weisbach se define como, determine a lei f = 8 U lim εln ε = 0. de resistência válida para este escoamento. Note que ( ) ε 0 c) Calcule a perda de carga unitária quando h = 0,0745 m, Q = 13,2 l/s e B = 0,4 m. PROBLEMA 7.5 A lei de resistência ao escoamento de água sob pressão em regime turbulento, no interior de uma tubagem circular, pode ser expressa pela fórmula de Manning: 1, 486 U = R n 2 / 3 J 1/ 2 HIDRÁULICA I 29

30 em que, U velocidade média do escoamento; n coeficiente que depende do material da tubagem; R raio hidráulico (quociente da secção líquida pelo perímetro molhado); J perda de carga unitária. Os valores de n, dependentes da rugosidade da tubagem, encontram-se numa tabela, devendo, para a sua aplicação, as grandezas da fórmula de Manning ser expressas em unidades inglesas. Apresentar esta fórmula de forma a manter-se válida para um sistema genérico, em que as unidades de comprimento e de tempo sejam respectivamente l e t, continuando a utilizar os valores de n da tabela referida. Particularizar para o caso de aquelas unidades serem o metro e o segundo. PROBLEMA 7.6 Dois reservatórios estão ligados por uma tubagem com os acidentes e a disposição indicados na figura. Proceda ao traçado qualitativo das linhas de energia e piezométrica atendendo a todas as irregularidades. PROBLEMA 7.7 Numa conduta de fibrocimento com o diâmetro de 0,45 m escoa-se água, em regime uniforme, com a perda de carga unitária de 0,003. Calcular o caudal transportado, supondo a conduta nova e utilizando a fórmula de Chézy (com C calculado pela fórmula de Bazin) e o ábaco de Scimemi. PROBLEMA 7.8 Dois reservatórios A e C com as respectivas superfícies livres apresentando uma diferença de cotas de 20 m estão ligados ente si por uma tubagem de fibrocimento constituída por dois HIDRÁULICA I 30

31 trechos: trecho AB, com um comprimento l 1 = 1000 m e diâmetro D 1, e trecho BC, com um comprimento l 2 = 1000 m e diâmetro D 2 tal que D 2 = 1,1D 1. Determinar os diâmetros D 1 e D 2 de modo que o caudal escoado seja 200 ls -1. Usar a fórmula de Manning-Strickler (K = 95 m 1/3 s -1 ). PROBLEMA 7.9 Dois reservatórios, A e C, estão ligados por uma tubagem de ferro fundido ABCD que apresenta um ponto alto B cuja cota é 105 m. Em D está instalada uma turbina que absorve o caudal de 0,1 m 3 s -1 (rendimento, η = 0,85). Determine o diâmetro mínimo da conduta para a altura piezométrica não ser, em B, inferior a 1 m. Qual é a potência da turbina. PROBLEMA 7.10 Uma bomba B eleva água do reservatório A para um sistema com os reservatórios D e E. Ao reservatório D chega um caudal de 250 Is -1. Sabendo que as cotas dos reservatórios e as dimensões das condutas são as indicadas no esquema junto, que o rendimento da bomba é η = 0,75 e que as condutas são em ferro fundido, calcule o caudal elevado e a potência da bomba. HIDRÁULICA I 31

32 PROBLEMA 7.11 Os reservatórios A e B estão ligados à conduta CD, a qual tem um orifício em contacto com a atmosfera na extremidade D. A secção S 0 em D tem o valor de 0,02 m 2. Determine o caudal proveniente dos reservatórios A e B, considerando que o material das condutas é fibrocimento e desprezando as perdas de carga em singularidades e a contracção no orifício de saída PROBLEMA 7.12 Uma conduta eleva água de um reservatório A para um reservatório B, através de uma conduta de betão liso e novo, com 1000 m de comprimento e com 0,60 m de diâmetro. HIDRÁULICA I 32

33 A relação entre a altura de elevação (H t ) e o caudal (Q) da bomba, acoplada a um motor de velocidade de rotação constante (relação denominada curva característica da bomba), exprimese por: H t = 28 20Q 2 com H t expresso em m e Q em m 3 s -1. Desprezando as perdas de carga localizadas, determinar o caudal na conduta e a potência da bomba (rendimento η = 0,70): a) nas condições indicadas; b) quando uma bomba igual é instalada em paralelo com a primeira; c) quando uma bomba igual é instalada em série com a primeira. PROBLEMA 7.13 A um reservatório A, de grandes dimensões, está ligada uma conduta ABC com um ponto B onde se colocou um tubo piezométrico. HIDRÁULICA I 33

34 A conduta, de aço soldado, tem o diâmetro de 0,50 m e a sua extremidade C está equipa da com um órgão obturador cujo eixo está à cota 20 m. Supondo nulas a contracção no obturador e as perdas de carga em singularidades. a) Determine o caudal escoado quando a abertura do obturador for de 0,01 m 2. b) O caudal crescerá com a abertura do obturador até um certo limite desta. Qual é a abertura e o caudal escoado nestas condições, desprezando a altura cinética no interior das condutas? c) Represente as linhas de energia e piezométrica nos dois casos de funcionamento indicados. PROBLEMA 7.14 O reservatório A alimenta os reservatórios B e C através do sistema de tubagens em aço soldado representado na figura; a água é bombada pela bomba D e os comprimentos e diâmetros das tubagens são os indicados. a) Supondo a tubagem CE obturada, determine o caudal fornecido ao reservatório B tendo a bomba a potência de 1700 kw e o rendimento de 0,70. b) Determine a cota X para que o caudal admitido no reservatório C seja nulo, sendo o caudal admitido em B igual a 2,0 m 3 s -1. Calcule também a potência da bomba admitindo que tem o rendimento de 0,70. c) Para X = 100 m e funcionando a bomba com a potência de kw e o rendimento de 0,70, determine os caudais admitidos nos reservatórios B e C. d) Trace qualitativa, mas cuidadosamente, as linhas de energia e piezométricas correspondentes às alíneas b) e c). HIDRÁULICA I 34

35 NOTAS: As alíneas a), b) e c), em relação às quais se podem desprezar as perdas de carga em singularidades, são independentes. Na alínea d), considere as transições dos reservatórios em aresta viva. PROBLEMA 7.15 Um reservatório abastece uma conduta de 2000 m de comprimento e 0,20 m de diâmetro, de fibrocimento, a qual, tendo exclusivamente serviço uniforme de percurso, consome o caudal de 8640 m 3 por dia. A conduta é horizontal e o respectivo eixo está localizado a uma cota inferior em 30 m ao nível da água no reservatório. Numa dada altura, e no intuito de melhorar as condições de pressão, fez-se funcionar, na extremidade B da conduta uma bomba com 30 kw de potência e o rendimento de 0,75. A bomba absorve água do reservatório C, em que o nível se apresenta 30 m abaixo do de A. Supondo invariável o consumo, calcule a distância, ao reservatório A, do ponto em que se regista a cota piezométrica mínima. NOTAS: Estabeleça primeiro o sistema resolvente; Despreze as perdas de carga em singularidades e a altura cinética. HIDRÁULICA I 35