DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E ARQUITECTURA SECÇÃO DE HIDRÁULICA E RECURSOS HÍDRICOS E AMBIENTAIS. Hidráulica Aplicada 2011/2012.

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1 DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E ARQUITECTURA SECÇÃO DE HIDRÁULICA E RECURSOS HÍDRICOS E AMBIENTAIS Hidráulica Aplicada 2011/2012 2º Semestre Enunciados dos problemas * * Problemas seleccionados dos Enunciados de Problemas de Hidráulica I e II, da Licenciatura em Engenharia Civil. 1

2 1 ANÁLISE DIMENSIONAL E TEORIA DA SEMELHANÇA PROBLEMA 1.1 Determinar as dimensões das seguintes grandezas nos sistemas MLT e FLT: massa volúmica; peso volúmico; viscosidade; viscosidade cinemática. Indicar os valores-padrão das grandezas anteriores para a água no sistema métrico gravitatório, MK p S, e no Sistema Internacional de Unidades, SI. Indicar ainda o valor da viscosidade em poise (dine s cm -2 ). Qual a diferença entre dimensão e unidade? NOTA: Viscosidade cinemática da água, = 1,31 x 10-6 m 2 s -1. PROBLEMA 1.2 Verificar a homogeneidade dimensional da equação que exprime o teorema de Bernoulli aplicável a fluidos reais ao longo de uma trajectória: 2 p 1 z J s 2g g t em que p é a pressão a que se processa o escoamento, é a sua velocidade, z é a cota geométrica, g é a aceleração da gravidade, é o peso volúmico do fluido, t é o tempo e J é o trabalho das forças resistentes por unidade de peso de fluido e por unidade de percurso. PROBLEMA 1.3 Na figura junta representa-se esquematicamente uma ponte sobre um curso de água. A capacidade de vazão na secção da ponte é função da velocidade do escoamento, V 0 da altura de água a montante, h, da contracção da secção, C, e do comprimento dos pilares da ponte, l p. Considerando que as forças da gravidade são predominantes e que as forças relacionadas com os efeitos da viscosidade podem ser desprezadas, determine uma expressão geral da lei de vazão, aplicando os conceitos da análise dimensional. 2

3 PROBLEMA 1.4 Para o ensaio em modelo reduzido de um fenómeno que dependa exclusivamente da gravidade, utilizando-se o mesmo líquido no modelo e no protótipo, determine as escalas das seguintes grandezas, em função da escala dos comprimentos: a) velocidade; b) tempo; c) aceleração; d) caudal; e) massa; f) força; g) energia; h) potência. PROBLEMA 1.5 A lei de resistência ao escoamento de água sob pressão em regime turbulento, no interior de uma tubagem circular, pode ser expressa pela fórmula de Manning-Strickler: em que 1, 486 U R n 2 / 3 J 1 / 2 3

4 U velocidade média do escoamento; n coeficiente que depende do material da tubagem; R raio hidráulico (quociente da secção líquida pelo perímetro molhado); J perda de carga unitária. Os valores de n, dependentes da rugosidade da tubagem, encontram-se numa tabela, devendo, para a sua aplicação, as grandezas da fórmula de Manning-Strickler ser expressas em unidades inglesas. Apresente esta fórmula de forma a manter-se válida para um sistema genérico, em que as unidades de comprimento e de tempo sejam respectivamente l e t, continuando a utilizar os valores de n da tabela referida. Particularize para o caso de aquelas unidades serem o metro e o segundo. PROBLEMA 1.6 Efectuaram-se experiências em laboratório para obter as características de resistência de um navio em relação à onda (depende somente da gravidade) que se vai opôr ao seu deslocamento. Calcule: a) a que velocidade se deverá fazer o ensaio no modelo à escala geométrica 1/25 para que a velocidade real correspondente seja de 40 kmh -1 ; b) a resistência para o protótipo se, no modelo reduzido, for medido o valor de 5 N; c) o período da vaga no protótipo sendo o seu valor de 3 s no modelo. PROBLEMA 1.7 Para estudar um escoamento variável construiu-se um modelo à escala geométrica de 1/10. Usa-se água no protótipo e sabe-se que as forças de viscosidade são dominantes. Determine a escala dos tempos e das forças em condições de semelhança hidráulica se: a) usar água no modelo; b) usar um óleo cinco vezes mais viscoso que a água e cuja massa volúmica é 80% da da água. 4

5 2 LEIS DE RESISTÊNCIA DOS ESCOAMENTOS UNIFORMES PROBLEMA 2.1 Pretende-se elevar o caudal de 4 1s -1 de um reservatório A para um reservatório B, por uma conduta elevatória com 250 m de comprimento e 150 mm de diâmetro. O líquido a elevar é um óleo com densidade de 0,9 e viscosidade cinemática igual a = 3 x 10-4 m 2 s -1. A potência da bomba é de 2,2 kw e o rendimento é de 0,70. O reservatório B, de grandes dimensões, é fechado e contém ar sob pressão, situando-se a superfície do óleo à cota 8 m. Calcule a pressão do ar no reservatório B. PROBLEMA 2.2 Numa conduta circular com 1,0 m de diâmetro e com a rugosidade absoluta k = 0,5 mm escoa-se o caudal de 3 m 3 s -1. Sendo a viscosidade cinemática do líquido = 10-5 m 2 s -1, determine a perda de carga unitária. PROBLEMA 2.3 Numa conduta circular com a rugosidade absoluta k = 1,5 mm, escoa-se o caudal de 2 m 3 s -1. Sendo a viscosidade cinemática do líquido = 10-6 m 2 s -1 e a perda de carga unitária J = 0,008, determine o diâmetro da conduta. 5

6 3 ESCOAMENTOS SOB PRESSÃO PROBLEMA 3.1 Dois reservatórios estão ligados por uma tubagem com os acidentes e a disposição indicados na figura. Proceda ao traçado qualitativo das linhas de energia e piezométrica atendendo a todas as irregularidades. PROBLEMA 3.2 Numa conduta de fibrocimento com o diâmetro de 0,45 m escoa-se água, em regime uniforme, com a perda de carga unitária de 0,003. Calcule o caudal transportado, supondo a conduta nova e utilizando a fórmula de Chézy (com C calculado pela fórmula de Bazin) e o ábaco de Scimemi. PROBLEMA 3.3 Dois reservatórios A e C com as respectivas superfícies livres apresentando uma diferença de cotas de 20 m estão ligados ente si por uma tubagem de fibrocimento constituída por dois trechos: trecho AB, com um comprimento l 1 = 1000 m e diâmetro D 1, e trecho BC, com um comprimento l 2 = 1000 m e diâmetro D 2 tal que D 2 = 1,1D 1. Determine os diâmetros D 1 e D 2 de modo que o caudal escoado seja 200 ls -1. Para o efeito utilize a fórmula de Manning-Strickler (K = 95 m 1/3 s -1 ). 6

7 PROBLEMA 3.4 Dois reservatórios, A e C, estão ligados por uma tubagem de ferro fundido ABCD que apresenta um ponto alto B cuja cota é 105 m. Em D está instalada uma turbina que absorve o caudal de 0,1 m 3 s -1 (rendimento = 0,85). Determine o diâmetro mínimo da conduta para a altura piezométrica não ser, em B, inferior a 1 m. Qual é a potência da turbina? PROBLEMA 3.5 Uma bomba B eleva água do reservatório A para um sistema com os reservatórios D e E. Ao reservatório D chega um caudal de 250 Is -1. Sabendo que as cotas dos reservatórios e as dimensões das condutas são as indicadas no esquema junto, que o rendimento da bomba é = 0,75 e que as condutas são em ferro fundido, calcule o caudal elevado e a potência da bomba. 7

8 PROBLEMA 3.6 Os reservatórios A e B estão ligados à conduta CD, a qual tem um orifício em contacto com a atmosfera na extremidade D. A secção S 0 em D tem o valor de 0,02 m 2. Determine o caudal proveniente dos reservatórios A e B, considerando que o material das condutas é fibrocimento e desprezando as perdas de carga em singularidades e a contracção no orifício de saída. PROBLEMA 3.7 Uma conduta eleva água de um reservatório A para um reservatório B, através de uma conduta de betão liso e novo, com 1000 m de comprimento e com 0,60 m de diâmetro. A relação entre a altura de elevação (H t ) e o caudal (Q) da bomba, acoplada a um motor de velocidade de rotação constante (relação denominada curva característica da bomba), exprime- -se por: H t = 28 20Q 2 com H t expresso em m e Q em m 3 s -1. Desprezando as perdas de carga localizadas, determine o caudal na conduta e a potência da bomba (rendimento = 0,70): a) nas condições indicadas; b) quando uma bomba igual é instalada em paralelo com a primeira; c) quando uma bomba igual é instalada em série com a primeira. 8

9 PROBLEMA 3.8 A um reservatório A, de grandes dimensões, está ligada uma conduta ABC com um ponto B onde se colocou um tubo piezométrico. A conduta, de aço soldado, tem o diâmetro de 0,50 m e a sua extremidade C está equipada com um órgão obturador cujo eixo está à cota 20 m. Supondo nulas a contracção no obturador e as perdas de carga em singularidades: a) Determine o caudal escoado quando a abertura do obturador for de 0,01 m 2. b) O caudal crescerá com a abertura do obturador até um certo limite desta. Qual é a abertura e o caudal escoado nestas condições, desprezando a altura cinética no interior das condutas? c) Represente as linhas de energia e piezométrica nos dois casos de funcionamento indicados. 9

10 PROBLEMA 3.9 O reservatório A alimenta os reservatórios B e C através do sistema de tubagens em aço soldado representado na figura. A água é bombada pela bomba D e os comprimentos e diâmetros das tubagens são os indicados na figura. a) Supondo a tubagem CE obturada, determine o caudal fornecido ao reservatório B tendo a bomba a potência de 1700 kw e o rendimento de 0,70. b) Determine a cota X para que o caudal admitido no reservatório C seja nulo, sendo o caudal admitido em B igual a 2,0 m 3 s -1. Calcule a potência da bomba admitindo que esta tem o rendimento de 0,70. c) Para X = 100 m e funcionando a bomba com a potência de kw e o rendimento de 0,70, determine os caudais admitidos nos reservatórios B e C. d) Trace qualitativa, mas cuidadosamente, as linhas de energia e piezométricas correspondentes às alíneas b) e c). NOTAS: As alíneas a), b) e c), em relação às quais se podem desprezar as perdas de carga em singularidades, são independentes. Na alínea d), considere as transições dos reservatórios em aresta viva. 10

11 PROBLEMA 3.10 Um reservatório abastece uma conduta de 2000 m de comprimento e 0,20 m de diâmetro, de fibrocimento, a qual, tendo exclusivamente serviço uniforme de percurso, consome o caudal de 8640 m 3 por dia. A conduta é horizontal e o respectivo eixo está localizado a uma cota inferior em 30 m ao nível da água no reservatório. Numa dada altura, e no intuito de melhorar as condições de pressão, fez-se funcionar, na extremidade B da conduta uma bomba com 30 kw de potência e o rendimento de 0,75. A bomba absorve água do reservatório C, em que o nível se apresenta 30 m abaixo do de A. Supondo invariável o consumo, indique a melhoria de pressão, no ponto de cota piezométrica mínima, para o caso de a bomba se encontrar em funcionamento, relativamente à pressão que no mesmo ponto existia sem bomba. NOTAS: Estabeleça primeiro o sistema resolvente. Despreze as perdas de carga em singularidades e a altura cinética. 11

12 4 ESCOAMENTOS COM SUPERFÍCIE LIVRE PROBLEMA 4.1 Trace as curvas representativas das funções geométricas S(h), B(h), P(h). R(h) e da capacidade de transporte de um canal de secção trapezoidal, revestido de betão liso e com taludes a 2/3 (V/H) e 5,00 m de largura de rasto. Obtenha as referidas curvas até à altura h = 3,00 m. PROBLEMA 4.2 Calcule a altura do escoamento uniforme no canal do problema anterior, para um caudal de 25 m 3 s -1 e declives do fundo de 0,001 e 0,0002. PROBLEMA 4.3 Calcule a altura do escoamento uniforme nas condições do Problema 4.1, supondo que o rasto do canal é de terra irregular com vegetação rasteira e que o caudal e o declive do canal são, respectivamente, 25 m 3 s -1 e 0,0002. PROBLEMA 4.4 Um canal de secção dupla apresenta as seguintes características: declive: 0,0012, largura do rasto do leito menor: 5,00 m, taludes a 2/3 (V/H), altura do leito menor: 2,00 m, largura do rasto do leito maior: 20,00 m, revestimento de asfalto rugoso. Determine o caudal transportado em regime uniforme no leito menor e a altura do escoamento uniforme para o caudal de 250 m 3 s

13 PROBLEMA 4.5 Calcule o caudal escoado em regime uniforme num canal de secção transversal circular, de betão, com 2,00 m de diâmetro e declive 0,001, para as seguintes alturas de água: 1,00 m; 1,60 m; 1,64 m; 1,88 m; 2,00 m. Considere K = 75 m 1/3 s -1 e utilize as seguintes funções ( em rad): S 2 D θ senθ 8 R D θ senθ 4 θ h θ 2arcos 1 2 D PROBLEMA 4.6 Determine, para o transporte do caudal de 25 m 3 s -1 no canal do Problema 4.1, as seguintes grandezas: a) altura crítica, b) velocidade crítica, c) energia específica crítica, d) declive crítico. Classifique os escoamentos uniformes obtidos no Problema

14 PROBLEMA 4.7 Para uma secção rectangular de largura 3,00 m e coeficiente de Strickler K = 75 m 1/3 s -1 trace: a) a curva da energia específica em função da altura, para o caudal constante de 10 m 3 s -1 ; b) a curva do caudal em função da altura, para a energia específica constante de 4,00 m; c) as curvas das velocidades, caudais e energias específicas, em função da altura do escoamento em regime uniforme, para o declive de 0,04; d) a curva da quantidade de movimento total em função da altura, para o caudal de 10 m 3 s -1 ; e) as curvas H/Hc e M/Mc em função de h/hc, para o caudal de 10 m 3 s -1 ; f) as curvas M = M(H) para o caudal de 10 m 3 s -1. Analise a posição dos pontos a montante e a jusante de uma comporta ou de um ressalto. PROBLEMA 4.8 Considere o canal prismático representado na figura, em que os trechos 1 a 3 são suficientemente compridos para que neles se estabeleça praticamente o regime uniforme. Trace o andamento qualitativo da superfície livre da água, considerando as alterações que possam resultar de diversos comprimentos do trecho 4. Represente qualitativamente o escoamento nos diagramas H = H(h) e M = M (h). 14

15 PROBLEMA 4.9 O canal AD, de secção transversal rectangular com 4,00 m de largura, de betão (K = 75 m 1/3 s -1 ), liga dois reservatórios, estando a superfície da água à cota 53,00 no de montante. As passagens entre o canal e os reservatórios fazem-se directamente, sem transições, estando a soleira da secção de entrada (A) à cota 50,00. Determine: a) o caudal que percorre o canal, sabendo que para esse caudal o declive do trecho AB é forte; b) o perfil qualitativo da superfície livre, para as condições indicadas na figura; discuta as alterações do referido perfil com as cotas da superfície da água no reservatório a jusante; c) o caudal que o canal AD transportaria se tivesse o declive constante de 0,0001, supondo não haver influência do nível da superfície livre da água no reservatório de jusante. Considere nas alíneas a) e b) os trechos AB e CD suficientemente compridos para que neles se estabeleça praticamente o regime uniforme. 15

16 PROBLEMA 4.10 O canal representado na figura transporta o caudal de 11,5 m 3 s -1 e contém a transição BC, na qual o canal estreita de 4,00 m para 2,00 m, ao longo de 10,00 m. Para esse caudal as alturas uniformes nos trechos AB e CD, com o mesmo declive, são, respectivamente, 0,55 m e 1,00 m. Determine: a) as alturas de água em B e C. para uma subida do fundo, entre essas secções, de 0,50 m; b) as alturas de água em B e C, para uma descida do fundo, entre aquelas secções, de 0,50 m. Trace qualitativamente o perfil da superfície livre para os casos das alíneas a) e b). Na resolução do problema despreze as perdas de carga na transição. PROBLEMA 4.11 O canal AD, rectangular e de 5,00 m de largura, apresenta nos trechos AB e CD alturas de escoamento uniforme iguais a 2,50 m, quando transporta o caudal de 20 m 3 s -1. Entre B e C existe uma transição curta onde o canal sofre um rebaixamento. Desprezando as perdas de carga na transição, determine: a) as cotas da superfície da água em B e C, se o rebaixamento for de 1,80 m; b) as cotas da superfície da água em B e C, se o rebaixamento for de 0,80 m. 16

17 PROBLEMA 4.12 O canal AC, de betão liso (K = 75 m 1/3 s -1 ) tem secção rectangular, de 3,00 m de largura, e transporta o caudal de 10 m 3 s -1. Na secção B o canal tem instalada uma comporta com um coeficiente de contracção de 0,60. O troço BC é suficientemente comprido para que nele se estabeleça praticamente o regime uniforme. Determine: a) a altura de água em C; b) a distância de C a que se situa a secção do canal na qual a altura de água é de 1,80 m (despreze o efeito da curvatura das linhas decorrente próximo de C); c) a maior abertura da comporta compatível com a existência de um ressalto livre a jusante; d) a altura de água a montante da comporta pala uma abertura desta de 0,80 m. 17

18 PROBLEMA 4.13 O canal colector AB recebe uniformemente 10 m 3 s -1 ao longo do seu comprimento de 10,00 m. A secção transversal do canal é rectangular, de 4,00 m de largura. O caudal é transportado até F pelo canal BF, com a mesma secção rectangular. O declive do trecho BC, igual ao de AB, é tal que a altura uniforme do escoamento do referido caudal é de 1,50 m. Entre C e D o canal desce bruscamente 15,00 m. Determine: a) as alturas do escoamento em B e A; b) a altura do escoamento em D, supondo nulas as perdas de carga entre C e D e livre o ressalto que se forma a jusante; c) a altura do escoamento a jusante do ressalto, supondo que o degrau EF provoca um grau de submersão igual a 1,3. Admita que no troço AB a perda de carga contínua é igual ao declive do fundo do canal. 18

19 5 ESCOAMENTOS EM ORIFÍCIOS E DESCARREGADORES PROBLEMA 5.1 Determine o diâmetro que deverá ter um orifício circular praticado no fundo de um reservatório para escoar o caudal de 0,50 m 3 s -1 considerando ou não a existência de um tubo adicional exterior e uma carga sobre o eixo do orifício de: a) 10,00 m; b) 20,00 m. PROBLEMA 5.2 Dois reservatórios com a superfície livre à cota 10,00 e 3,00 m, respectivamente, estão separados por uma parede onde se praticou um orifício quadrado de base horizontal com 1,00 m de lado e centro de massa à cota 5,00 m. Determine o caudal escoado pelo orifício, desprezando a velocidade da água nos reservatórios, nas condições anteriores e para o caso de o segundo reservatório ter o nível à cota 5,00 m. PROBLEMA 5.3 Calcule o caudal escoado sobre um descarregador Bazin de largura igual a 3,00 m e altura de 2,00 m, sendo a carga sobre a crista de 0,50 m. O descarregador está montado a toda a largura de um canal horizontal. 19

20 6 BOMBAS HIDRÁULICAS PROBLEMA 6.1 Uma bomba cujo diagrama em colina é o da figura anexa foi projectada para, com o rendimento máximo de 0,90, elevar o caudal de 10,00 m 3 s -1 à altura total de 100,00 m, quando acoplada a um motor de 500 r.p.m. Por modificação posterior das condições de bombagem, torna-se necessário passar para uma altura total de elevação de 140,00 m, pretendendo-se utilizar a mesma bomba. Indique o procedimento mais conveniente para conseguir aquele objectivo e calcule a potência absorvida pela bomba nestas condições. PROBLEMA 6.2 Um depósito de regulação hidráulica, onde o nível da água varia entre as cotas 40,00 e 60,00 m, é alimentado a partir de um rio, onde a superfície da água está constantemente à cota 10,00 m, por meio duma conduta de aço soldado com 800,00 m de comprimento e 0,50 m de diâmetro. Na conduta está instalada uma bomba centrífuga dimensionada para as seguintes condições óptimas de funcionamento: 60,00 m de altura de elevação total, caudal 0,50 m 3 s -1 rendimento 0,70, número de rotações do motor acoplado 1000 r.p.m. O diagrama em colina da bomba é o da figura anexa. Determine: a) o caudal elevado, a potência pedida ao motor e a energia consumida por m 3 de água elevado, quando o nível da água no depósito se situa à cota 60,00 m; b) os valores das mesmas grandezas, quando o nível da água no depósito se situa à cota 40,00 m; c) o consumo de energia por m 3 de água elevado, nas condições da alínea b), se por meio de uma válvula se regular o caudal para 0,50 m 3 s -1 ; d) o caudal elevado nas condições da alínea a) se se instalar uma bomba de iguais características em paralelo com a primeira. 20

21 PROBLEMA 6.3 Uma determinada bomba hidráulica deverá ser ligada a um reservatório por uma conduta de aspiração em fibrocimento com 0,50 m de diâmetro e 100 m de comprimento. A superfície da água no reservatório encontra-se sujeita à pressão absoluta de 10 5 Pa e a sua temperatura é de 20 C. Sabendo que a bomba deverá elevar um caudal de 1,0 m 3 s -1 e que, para esse caudal, o NPSH exigido é de 2,5 m, determine a máxima altura, acima do nível da superfície da água no reservatório, a que se poderá colocar o eixo da flange de aspiração da referida bomba. ANEXO 21

22 PROBLEMA 6.4 Dois reservatórios, de grandes dimensões, estão ligados por uma conduta de aço com 900,00 m de comprimento total e um diâmetro de 0,20 m. A diferença de cotas das superfícies livres dos dois reservatórios é de 18,00 m. As perdas de carga contínuas podem ser representadas pela seguinte fórmula monómia 2, 59 0, 55 Q 36, 4D J. Na conduta está instalada, a 10,00 m do reservatório de montante, uma bomba centrífuga caracterizada pelo diagrama em colina junto. a) Determine o número de rotações do motor e a potência da bomba na situação de se escoar um caudal de 70 l/s. b) Determine a altura máxima, acima da superfície livre do reservatório de alimentação, a que pode ser colocado o eixo da flange de aspiração. (p a = 1, N/m 2 ; t v = 3234 N/m 2 ) NOTA: Considere desprezáveis as perdas de carga singulares. 22

23 PROBLEMA 6.5 Uma bomba centrífuga, caracterizada pelo diagrama em colina da figura junta, é utilizada para bombar água de um poço para um reservatório elevado, através duma conduta de aço com 48,00 m de comprimento total e diâmetro de 0,10 m. A diferença de cotas entre a superfície da água no poço e a superfície livre do reservatório elevado é de 6,00 m. A bomba está instalada a 30,0 m do reservatório de montante. a) Escolha o menor diâmetro comercial da roda (D) compatível com a elevação do caudal de 0,015 m 3 s -1, quando este valor é regulado por meio duma válvula, e calcule a potência da bomba. Para aquele caudal, considere que o factor de resistência, f, é igual a 0,013. b) Determine, para a situação da alínea anterior, a altura máxima, acima da superfície da água no poço, a que pode ser colocado o eixo da secção da flange de aspiração da bomba. (p a = 1, Nm -2 ; t v = 3234 Nm -2 ). c) Determine a potência da bomba quando o caudal for regulado para aquela funcionar no ponto de rendimento mais elevado para a roda da alínea a). NOTA: Na resolução das alíneas a) e b) despreze as perdas de carga localizadas na entrada e na saída da conduta. 23