Mecânica dos Fluidos (MFL0001) Curso de Engenharia Civil 4ª fase Prof. Dr. Doalcey Antunes Ramos CAPÍTULO 3: FLUIDOS EM MOVIMENTO

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1 Mecânica dos Fluidos (MFL0001) Curso de Engenharia Civil 4ª fase Prof. Dr. Doalcey Antunes Ramos CAPÍTULO 3: FLUIDOS EM MOVIMENTO

2 3.1 Descrição do Movimento dos Fluidos O método de Lagrange descreve o movimento de cada partícula, acompanhando-a em sua trajetória total. O observador desloca-se simultaneamente como a partícula. As partículas individuais são observadas como uma função do tempo. A posição, a velocidade e a aceleração de cada partícula são apresentadas como: ),,, ( ),,, ( ),,, ( t z y x a t z y x V t z y x r o o o o o o o o o Descrição Lagrangeana e Euleriana do Movimento dos Fluidos

3 O método de Euler consiste em adotar um intervalo de tempo, escolher uma seção ou um volume de controle no espaço e considerar todas as partículas que passem por esse local. Na descrição Euleriana do movimento, as propriedades do escoamento são função do espaço (pontos de observação) e do tempo: ),,, ( ),,, ( ),,, ( t z y x a t z y x V t z y x r

4 A aceleração na descrição Euleriana é dada por: A aceleração na descrição Euleriana do movimento dos fluidos dt dv a O vetor velocidade é dado por: k w j v i u V dt t V dz z V dy y V dx x V dv A derivada de V é dada por: A aceleração será, portanto: t V z V w y V v x V u a

5 As equações escalares dos componentes da equação vetorial da aceleração na descrição Euleriana é dada por: z w w y w v x w u t w a z v w y v v x v u t v a z u w y u v x u u t u a z y x

6 O termo da derivada parcial no tempo é chamado de aceleração local: t V z V w y V v x V u a t V a L A soma dos termos da derivada parcial no espaço é chamada de aceleração convectiva: z V w y V v x V u a C

7 3.1.3 Linhas de Trajetória e Linhas de Corrente Linha de Trajetória é o lugar geométrico dos pontos ocupados por uma partícula em instantes sucessivos. É a linha traçada por dada partícula ao longo de seu deslocamento.

8 Linha de Corrente é a linha tangente aos vetores velocidades de diferentes partículas no mesmo instante. Note-se que, na equação de uma linha de corrente, o tempo não é uma variável, já que a noção se refere a um certo instante. Desse conceito decorre que duas linhas de corrente não podem interceptar-se.

9 Fonte: Bistafa, 2010

10 No interior de um fluido em escoamento existem infinitas linhas de corrente, definidas por suas partículas fluidas. Se considerarmos uma curva fechada, que não seja linha de corrente, no interior desse fluido, a superfície constituídas pelas linhas de corrente por ela interceptadas definirá o denominado tubo de corrente, ou veia líquida.

12 3.2 Classificação de Escoamentos Escoamentos em Regime Permanente e Não-Permanente Um escoamento se processa em regime permanente (ou estacionário) quando, ao observarmos, ao longo do tempo, um volume de controle previamente escolhido, as propriedades médias das partículas fluidas contidas nesse volume permanecerem constantes. a L V t 0 No regime permanente a aceleração local é nula. Nesse caso, as linhas de corrente e as trajetórias coincidem.

13 Exemplo prático de escoamento em regime permanente:

14 Exemplo prático de escoamento em regime não-permanente:

15 3.2.2 Escoamentos Uni, Bi e Tridimensionais Escoamentos Tridimensionais: Todos os escoamentos que ocorrem na natureza são tridimensionais. As grandezas que nele interferem, em cada seção transversal de um filamento ou tubo de corrente, variam em três dimensões.

16 Escoamentos Bidimensionais: Se as grandezas do escoamento variarem em 2 dimensões, isto é, se o escoamento puder definir-se, completamente, por linhas de corrente contidas em um plano, o escoamento será bidimensional. É o caso de um vertedor de uma barragem.

17 Escoamentos Unidimensionais: O escoamento é dito unidimensional quando uma única coordenada é suficiente para descrever as propriedades do fluido. Para que isso aconteça é necessário que as propriedades sejam constantes em cada seção.

18 3.2.3 Escoamentos Viscosos e Não-viscosos Um escoamento não-viscoso é aquele no qual os efeitos da viscosidade não influenciam significativamente o escoamento e são, portanto, desprezados. Pode ser também chamado de escoamento de fluido ideal ou perfeito. Um escoamento viscoso é aquele no qual os efeitos da viscosidade são importantes e não podem ser desprezados. Pode ser chamado também de escoamento de fluido real.

19 3.2.4 Escoamentos Laminares e Turbulentos EXPERIÊNCIAS DE REYNOLDS (1883) Fonte: Bistafa, 2010

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22 NÚMERO DE REYNOLDS Re V D V D Re < 2300 : ESCOAMENTO LAMINAR 2300 < Re < 4000 : Escoamento de Transição Re > 4000 : ESCOAMENTO TURBULENTO Fonte: Bistafa, 2010

24 Perfil de Velocidades Fonte: Bistafa, 2010

25 O perfil de velocidades no escoamento laminar é dado por: r² v( r) V 1 max R² Onde V max é a velocidade no eixo do duto O perfil de velocidades no escoamento turbulento segue aproximadamente a relação: v r ( ) max 1 r V R 1 7

26 Tensão de Cisalhamento Turbulenta No movimento turbulento não nos referimos mais a lâminas e sim a camadas, uma vez que nesse movimento as lâminas perdem sua identidade devido à intensa troca de partículas entre as camadas. Ocorre que não há somente troca de massa entre as camadas, mas também troca de quantidade de movimento. Fonte: Bistafa, 2010

27 O resultado desse processo de troca de quantidade de movimento entre as partículas fluidas de camadas com diferentes velocidades é uma tendência à uniformização do perfil de velocidades do movimento turbulento, comparativamente ao movimento laminar. De acordo com a 2ª Lei de Newton, a variação da quantidade de movimento na camada dá origem a uma força que, por unidade de área transversal atravessada pelas partículas fluidas, resulta numa tensão de cisalhamento denominada de TENSÃO DE CISALHAMENTO TURBULENTA, expressa por: turb t dv dy Onde t é chamada de viscosidade turbulenta, e não é uma propriedade do fluido, sendo que seu valor depende das condições do escoamento. Fonte: Bistafa, 2010

28 A tensão de cisalhamento total total no escoamento turbulento é dada pela soma da tensão viscosa v com a tensão turbulenta turb total v turb t dv dy Fonte: Bistafa, 2010

29 3.2.5 Escoamentos de Fluidos Compressíveis e Incompressíveis Um escoamento incompressível existe se a massa específica de cada partícula de fluido permanece relativamente constante enquanto a partícula se move através do campo de escoamento: D 0 Dt Isso não exige que a massa específica seja constante em todo lugar. Se a massa específica é constante em todo lugar, então, obviamente, o escoamento é incompressível, mas isso seria uma condição mais restrita. O escoamento atmosférico, no qual = (z), em que z é vertical, assim como os escoamentos que envolvem camadas adjacentes de água doce e salgada, são exemplos de escoamentos incompressíveis nos quais a massa específica varia.

30 Além de escoamentos de líquidos, escoamentos de gás com baixa velocidade, tais como o escoamento atmosférico mencionado anteriormente, são também considerados como escoamentos incompressíveis. O Número de Mach é definido como: M V c Onde: V é a velocidade do gás c = (k.r.t) 1/2 é a velocidade do som.

31 O número de Mach é útil para decidir se determinado escoamento de gás pode ou não ser estudado como um escoamento incompressível. Se M < 0,3, as variações de massa específica são no máximo de 3% e o escoamento é assumido como incompressível. Para o ar padrão, isso corresponde a uma velocidade abaixo de 100 m/s.

32 Escoamentos incompressíveis de gases incluem: escoamentos atmosféricos, a aerodinâmica de aterrissagem e decolagem de aviões comerciais, os escoamentos de ar em sistemas de ar condicionado e de aquecimento, os escoamentos em torno de automóveis e através de radiadores e ventiladores, e o escoamento de ar em volta de edifícios, por exemplo.

33 Escoamentos compressíveis incluem: a aerodinâmica de aeronaves de alta velocidade, o escoamento de ar através de turbinas de jatos, o escoamento de vapor através de turbina em usinas termoelétricas, o escoamento de ar em um compressor, e o escoamento de mistura de ar-gasolina no motor de combustão interna.

34 3.2.6 Escoamentos em Regime Uniforme e Variado Um escoamento de um fluido é UNIFORME, do ponto de vista cinemático, quando o campo de vetores velocidade, no instante considerado, é constante ao longo do escoamento. No escoamento uniforme as trajetórias são retas paralelas e, ao longo de cada trajetória, no mesmo instante, todas as partículas têm igual velocidade.

35 A definição de escoamento uniforme obriga a constância da velocidade ao longo do escoamento, e não transversalmente, isto é, as velocidades em trajetórias distintas, no mesmo instante, podem diferir. Nos escoamentos uniformes, em virtudes das trajetórias serem retilíneas, coincidem as trajetórias e as linhas de corrente. A velocidade média torna o escoamento uniforme na seção:

36 Escoamentos variados:

37 3.2.7 Escoamentos Conservativos e Não-Conservativos Um escoamento de um fluido é CONSERVATIVO, quando a massa permanece constante ao longo do escoamento do fluido. Este caso, de ocorrência freqüente, verifica-se nos encanamentos onde não há adição nem subtração de matéria ao longo da parede sólida que contorna o fluido em movimento. Quando houver acréscimo (fontes) ou subtração de massa (poços) à corrente de matéria, o escoamento é dito NÃO-CONSERVATIVO.

38 3.3 Vazão em Volume Define-se FLUXO DE VOLUME ou VAZÃO EM VOLUME, ou simplesmente VAZÃO (ou ainda, Descarga), o volume de fluido que atravessa a seção do escoamento na unidade do tempo. Q v s ds Dimensão: [Q] = L 3. T -1 Unidades: m³/s ; l/s

39 Velocidade Média na Seção A velocidade média na seção de escoamento é uma velocidade fictícia uniforme na seção que, quando substitui o perfil real de velocidades na seção, produz a mesma vazão em volume. V Q S Fonte: Bistafa, 2010

40 Q coletado t Q W t coletado Fonte: Bistafa, 2010

41 3.4 Integral Generalizada de Fluxo Define-se Fluxo ou Vazão de F através de A à integral: S f v ds sendo: f F Onde F é uma grandeza associada à partícula, que pode ser: o volume: a massa: m o peso: W a energia potencial: W.z a energia cinética: m. v²/2 a energia de pressão: p. a quantidade de movimento: m v Fonte: Bistafa, 2010

42 Vazão em Massa Q m S v ds Sendo a massa específica homogênea na seção do escoamento: Q m vds Q S Dimensão: [Q m ] = M. T -1 Unidades: kg/s Fonte: Bistafa, 2010

43 Vazão em Peso Q G S v ds Sendo o peso específico homogêneo na seção do escoamento: Q G vds Q S Dimensão: [Q G ] = F. T -1 Unidades: N/s; kgf/s Fonte: Bistafa, 2010

44 Vazão de Energia Potencial Q Pot S W z v ds S z v ds Sendo o peso específico homogêneo na seção do escoamento e z a altura do centro de gravidade da seção do escoamento em relação a um plano horizontal de referência: Q Pot z vds S z Q z Q W Dimensão: [Q Pot ] = F. L.T -1 = M. L². T -3 Unidades: J/s; Watt Fonte: Bistafa, 2010

45 Vazão de Energia Cinética Q cin S mv 2 2 v ds S v² 2 v ds Sendo a massa específica homogênea na seção do escoamento : Q cin 3 v ds 2 Dimensão: [Q cin ] = F. L.T -1 = M. L². T -3 Unidades: J/s; Watt S Deve-se observar que a vazão de energia cinética não pode ser simplesmente expressa em função da vazão em volume, requerendo o conhecimento do perfil de velocidades na seção de escoamento. Fonte: Bistafa, 2010

46 Coeficiente de Energia Cinética : Q cin V ³ S QV 2 2 ² V 1 ³ S 3 v S ds Para escoamento laminar: = 2 Para escoamento turbulento: 1 Fonte: Bistafa, 2010

47 Vazão de Energia de Pressão d p df l pds l pd p pd p F p Fonte: Bistafa, 2010

48 Q pre S p v ds S p v ds Sendo a pressão uniforme na seção do escoamento : Q pre p S v ds p Q Dimensão: [Q pre ] = F. L.T -1 = M. L². T -3 Unidades: J/s; Watt Fonte: Bistafa, 2010

49 Vazão de Quantidade de Movimento Q QMov mv vds vvds vvds n v² ds S S S S n Também a vazão de energia cinética não pode ser simplesmente expressa em função da vazão em volume, requerendo o conhecimento do perfil de velocidades na seção de escoamento. Dimensão: [Q QMov ] = F = M. L. T -2 Unidades: N; kgf Fonte: Bistafa, 2010

50 Coeficiente de Quantidade de Movimento: Q QMov V ² S n QV n V 1 ² S S v 2 ds Para escoamento laminar: = 4/3 Para escoamento turbulento: 1 Fonte: Bistafa, 2010

52 Referências Bibliográficas: Bistafa, Sylvio R. Mecânica dos Fluidos: noções e aplicações. Edit. Edgard Blucher, São Paulo, Feghali, J. P. Mecânica dos Fluidos.Vol. 1 e 2. Livro Tec. Cient. Edit., Rio de Janeiro, Brunetti, F. Mecânica dos Fluidos. Prentice-Hall, São Paulo, 2005.