Capítulo 3. Introdução ao Movimento dos Fluidos

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1 3 Capítulo 3 Introdução ao Movimento dos Fluidos

2 3.1 Descrição do Movimento dos Fluidos D escrição Lagrangeana e E uleriana do Movimento dos Fluidos O método de Lagrange descreve o movimento de cada partícula, acompanhando-a em sua trajetória total. O observador desloca-se simultaneamente como a partícula. As partículas individuais são observadas como uma função do tempo. A posição, a velocidade e a aceleração de cada partícula são apresentadas como: r( x o V ( x a( x o o,,, y y y o, z o o, z, z o o, t) o, t), t) 3-2

3 3.1 Descrição do Movimento dos Fluidos D escrição Lagrangeana e E uleriana do Movimento dos Fluidos O método de Euler consiste em adotar um intervalo de tempo, escolher uma seção ou um volume de controle no espaço e considerar todas as partículas que passem por esse local. Na descrição Euleriana do movimento, as propriedades do escoamento são função do espaço (pontos de observação) e do tempo: r( x, y, z, t) V ( x, y, z, t) a( x, y, z, t) 3-3

4 3.1 Descrição do Movimento dos Fluidos A aceleração na descrição E uleriana do movimento dos fluidos A aceleração na descrição Euleriana é dada por: a = O vetor velocidade é dado por: V = u i v j w k dv dt A derivada de V é dada por: dv = V x dx V y dy V z dz V t dt A aceleração será, portanto: a = u V x v V y w V z V t 3-4

5 Descrição do Movimento dos Fluidos As equações escalares dos componentes da equação vetorial da aceleração na descrição Euleriana é dada por: z w w y w v x w u t w a z v w y v v x v u t v a z u w y u v x u u t u a z y x = = = A aceleração na descrição E uleriana do movimento dos fluidos

6 Descrição do Movimento dos Fluidos A aceleração na descrição E uleriana do movimento dos fluidos O termo da derivada parcial no tempo é chamado de aceleração local: t V z V w y V v x V u a = t V a L = A soma dos termos da derivada parcial no espaço é chamada de aceleração convectiva: z V w y V v x V u a C =

7 3.1 Descrição do Movimento dos Fluidos Linhas de Trajetória e Linhas de C orrente Linha de Trajetória é o lugar geométrico dos pontos ocupados por uma partícula em instantes sucessivos. É a linha traçada por dada partícula ao longo de seu deslocamento. 3-7

8 3.1 Descrição do Movimento dos Fluidos Linhas de Trajetória e Linhas de C orrente Linha de Corrente é a linha tangente aos vetores velocidades de diferentes partículas no mesmo instante. Note-se que, na equação de uma linha de corrente, o tempo não é uma variável, já que a noção se refere a um certo instante. Desse conceito decorre que duas linhas de corrente não podem interceptar-se. 3-8

9 3.1 Descrição do Movimento dos Fluidos Linhas de Trajetória e Linhas de C orrente No interior de um fluido em escoamento existem infinitas linhas de corrente, definidas por suas partículas fluidas. Se considerarmos uma curva fechada, que não seja linha de corrente, no interior desse fluido, a superfície constituídas pelas linhas de corrente por ela interceptadas definirá o denominado tubo de corrente, ou veia líquida. 3-9

10 3.2 Classif icação de Escoamentos E scoamentos em R egime P ermanente e Não-P ermanente Um escoamento se processa em regime permanente (ou estacionário) quando, ao observarmos, ao longo do tempo, um volume de controle previamente escolhido, as propriedades médias das partículas fluidas contidas nesse volume permanecerem constantes. a L = V t = 0 No regime permanente a aceleração local é nula. Nesse caso, as linhas de corrente e as trajetórias coincidem. 3-10

11 3.2 Classif icação de Escoamentos E scoamentos em R egime P ermanente e Não-P ermanente Exemplo prático de escoamento em regime permanente: 3-11

12 3.2 Classif icação de Escoamentos E scoamentos em R egime P ermanente e Não-P ermanente Exemplo prático de escoamento em regime não-permanente: 3-12

13 3.2 Classif icação de Escoamentos E scoamentos Uni, Bi e Tridimensionais Escoamentos Tridimensionais: Todos os escoamentos que ocorrem na natureza são tridimensionais. As grandezas que nele interferem, em cada seção transversal de um filamento ou tubo de corrente, variam em três dimensões. 3-13

14 3.2 Classif icação de Escoamentos E scoamentos Uni, Bi e Tridimensionais Escoamentos Bidimensionais: Se as grandezas do escoamento variarem em 2 dimensões, isto é, se o escoamento puder definir-se, completamente, por linhas de corrente contidas em um plano, o escoamento será bidimensional. É o caso de um vertedor de uma barragem. 3-14

15 3.2 Classif icação de Escoamentos E scoamentos Uni, Bi e Tridimensionais Escoamentos Unidimensionais: O escoamento é dito unidimensional quando uma única coordenada é suficiente para descrever as propriedades do fluido. Para que isso aconteça é necessário que as propriedades sejam constantes em cada seção. 3-15

16 3.2 Classif icação de Escoamentos E scoamentos Viscosos e Não-viscosos Um escoamento não-viscoso é aquele no qual os efeitos da viscosidade não influenciam significativamente o escoamento e são, portanto, desprezados. Pode ser também chamado de escoamento de fluido ideal ou perfeito. Um escoamento viscoso é aquele no qual os efeitos da viscosidade são importantes e não podem ser desprezados. Pode ser chamado também de escoamento de fluido real. 3-16

17 3.2 Classif icação de Escoamentos E s coamentos Laminares e Turbulentos EXPERIÊNCIAS DE REYNOLDS 3-17

18 3.2 Classif icação de Escoamentos E s coamentos Laminares e Turbulentos EXPERIÊNCIAS DE REYNOLDS Re = ρ V µ D = V D ν Re < 2000 : ESCOAMENTO LAMINAR 2000 < Re < 2400 (*) : Escoamento de Transição Re > 2400 : ESCOAMENTO TURBULENTO 3-18

19 3.2 Classif icação de Escoamentos E scoamentos de Fluidos C ompressíveis e Incompres s íveis Um escoamento incompressível existe se a massa específica de cada partícula de fluido permanece relativamente constante enquanto a partícula se move através do campo de escoamento: Dρ Dt = Isso não exige que a massa específica seja constante em todo lugar. Se a massa específica é constante em todo lugar, então, obviamente, o escoamento é incompressível, mas isso seria uma condição mais restrita. O escoamento atmosférico, no qual ρ = ρ(z), em que z é vertical, assim como os escoamentos que envolvem camadas adjacentes de água doce e salgada, são exemplos de escoamentos incompressíveis nos quais a massa específica varia

20 3.2 Classif icação de Escoamentos E scoamentos de Fluidos C ompressíveis e Incompres s íveis Além de escoamentos de líquidos, escoamentos de gás com baixa velocidade, tais como o escoamento atmosférico mencionado anteriormente, são também considerados como escoamentos incompressíveis. O Número de Mach é definido como: M = V c Onde: V é a velocidade do gás e c = (k.r.t) 1/2 é a velocidade do som. 3-20

21 3.2 Classif icação de Escoamentos E scoamentos de Fluidos C ompressíveis e Incompres s íveis O número de Mach é útil para decidir se determinado escoamento de gás pode ou não ser estudado como um escoamento incompressível. Se M < 0,3, as variações de massa específica são no máximo de 3% e o escoamento é assumido como incompressível. Para o ar padrão, isso corresponde a uma velocidade abaixo de 100 m/s. Escoamentos incompressíveis de gases incluem: escoamentos atmosféricos, a aerodinâmica de aterrissagem e decolagem de aviões comerciais, os escoamentos de ar em sistemas de ar condicionado e de aquecimento, os escoamentos em torno de automóveis e através de radiadores e ventiladores, e o escoamento de ar em volta de edifícios, por exemplo. Escoamentos compressíveis incluem: a aerodinâmica de aeronaves de alta velocidade, o escoamento de ar através de turbinas de jatos, o escoamento de vapor através de turbina em usinas termoelétricas, o escoamento de ar em um compressor, e o escoamento de mistura de ar-gasolina no motor de combustão interna. 3-21

22 3.2 Classif icação de Escoamentos E scoamentos em R egime Uniforme e Variado Um escoamento de um fluido é UNIFORME, do ponto de vista cinemático, quando o campo de vetores velocidade, no instante considerado, é constante ao longo do escoamento. No escoamento uniforme as trajetórias são retas paralelas e, ao longo de cada trajetória, no mesmo instante, todas as partículas têm igual velocidade. A definição de escoamento uniforme obriga a constância da velocidade ao longo do escoamento, e não transversalmente, isto é, as velocidades em trajetórias distintas, no mesmo instante, podem diferir. Nos escoamentos uniformes, em virtudes das trajetórias serem retilíneas, coincidem as trajetórias e as linhas de corrente. A velocidade média torna o escoamento uniforme na seção: 3-22

23 3.2 Classif icação de Escoamentos E scoamentos em R egime Uniforme e Variado Escoamentos variados: 3-23

24 3.2 Classif icação de Escoamentos E scoamentos C onservativos e Não-C onservativos Um escoamento de um fluido é CONSERVATIVO, quando a massa permanece constante ao longo do escoamento do fluido. Este caso, de ocorrência freqüente, verifica-se nos encanamentos onde não há adição nem subtração de matéria ao longo da parede sólida que contorna o fluido em movimento. Quando houver acréscimo (fontes) ou subtração de massa (poços) à corrente de matéria, o escoamento é dito NÃO-CONSERVATIVO. 3-24

25 3 Capítulo 4 EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS

26 4.1 As Leis Básicas EQUAÇÃO DA CONSERVAÇÃO DA MASSA: a massa de um sistema deve ser conservada, isto é, permanecer constante. EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO: a força resultante agindo sobre um sistema é igual à taxa com a qual a quantidade de movimento do sistema está mudando. É a segunda lei de Newton. PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA: A taxa de transmissão de calor para um sistema menos a taxa com a qual o sistema realiza trabalho é igual à taxa pela qual a energia do sistema está variando. É a lei que relaciona taxa de transmissão de calor, a taxa de realização de trabalho e a taxa de variação da energia de um sistema. 3-26

27 4.2 Equação da Conservação de Massa (ou Equação da Continuidade) para Regime Permanente Seja o escoamento de um fluido por um tubo de corrente: Seja a vazão em massa na seção de entrada do sistema Q m1 e na saída Q m

28 4.2 Equação da Conservação de Massa (ou Equação da Continuidade) para Regime Permanente Para que o regime seja permanente é necessário que não haja variação de propriedades, em nenhum ponto do fluido, com o tempo. Se, por absurdo, Q m1 Q m2, então em algum ponto interno ao tubo de corrente haveria ou acúmulo ou redução de massa. Dessa forma, a massa específica nesse ponto variaria com o tempo, o que iria contrariar a hipótese de regime permanente. 3-28

29 Assim: 4.2 Equação da Conservação de Massa (ou Equação da Continuidade) para Regime Permanente Q m1 = Q m2 ou ρ 1 Q 1 = ρ 2 Q 2 ou ρ 1 A 1 V 1 = ρ 2 A 2 V 2 Então a EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE PARA UM FLUIDO QUALQUER EM REGIME PERMANENTE pode ser resumida como: Q m = ρq = ρ. A. V = constante 3-29

30 4.2 Equação da Conservação de Massa (ou Equação da Continuidade) para Regime Permanente Se o fluido for incompressível, então a massa específica na entrada e na saída do volume de controle deverá ser a mesma. Então: ρq 1 = ρq 2 ou Q 1 = Q 2 ou A 1 V 1 = A 2 V 2 Logo, a vazão de fluido incompressível é a mesma em qualquer seção do escoamento. A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE PARA UM FLUIDO INCOMPRESSÍVEL EM REGIME PERMANENTE é: Q = A. V = constante 3-30

31 4.2 Equação da Conservação de Massa (ou Equação da Continuidade) para Regime Permanente Para o caso de diversas entradas (e) e saídas (s) de fluido do sistema, a equação da continuidade pode ser generalizada por uma somatória de vazões na entrada e outra na saída, isto é: Q = m Q e s m para fluidos quaisquer. Q = e s Q para fluidos incompressíveis. 3-31