A apresentação foi elaborada com base na bibliografia básica do curso.

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1 Informações A apresentação foi elaborada com base na bibliografia básica do curso. BEER, F. P; JOHNSTON JR, E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Dinâmica. São Paulo: TECMED. 010 HIBBELER, R. C.. Mecânica para a engenharia -Dinâmica. São Paulo: Prentice Hall. 013 Estas apresentações não devem ser utilizadas como fonte mas sim como referência. Para estudas utilize os livros livros.

2 Introdução Dinâmica é o ramo da mecânica que estuda o movimento, sendo dividida em cinemática e cinética. Cinemática: Trata apenas dos aspectos geométricos do movimento não preocupando-se com suas causas. Cinética: Estuda o movimento e suas cauas, tem como base a Lei de Newton A dinâmica é mais abrangente do que a estática. Neste caso, tanto as forças quanto a posição são função do tempo. De maneira geral, álgebra e trigonometria não são suficientes para resolver os problemas, sendo necessário a aplicação do cálculo para a solução.

3 CINEMÁTICA DE UMA PARTÍCULA

4 Conceitos básicos Antes de proceder a análise dos problemas, é importante apresentar algumas definições básicas Posição: É o local no espaço ocupado por uma partícula. Devemos, portanto, definir sempre uma origem para o sistema de coordenadas. Deslocamento: É a variação da posição. Em outras palavras, é a diferença entre a posição final e a posição inicial

5 Conceitos Básicos Deve-se atentar para o detalhe que distância e deslocamento são conceitos totalmente diferentes. O deslocamento está relacionado com a variação da posição. É uma grandeza vetorial, podendo possuir tanto valores positivos quanto negativos. A distância está relacionada com o caminho percorrido. É uma grandeza escalar e pode assumir apenas valores positivos Deslocamento Distância (S T ou d)

6 Movimento retilíneo Inicialmente faremos a análise do deslocamento de uma partícula em uma linha reta onde sua posição, velocidade e aceleração são definidas em função do tempo. Devemos entender como partícula algo que tem massa, porém, dimensões desprezíveis ao problema. Velocidade: Se uma partícula move-se com um deslocamento S em um intervalo de tempo t, dizemos que ela possui uma velocidade média v m = s t

7 Movimento retilíneo Velocidade instantânea: Se conhecemos a função posição da partícula, podemos aplicar o limite com t 0 v = Velocidade escalar média (v m ): É um escalar, sempre positivo, definido como sendo a distância percorrida em um intervalo de tempo. ds v m = S t T

8 Movimento retilíneo Aceleração média (a): A aceleração representa a variação da velocidade em um intervalo de tempo. a = v t Aceleração instantânea: É o valor da aceleração em um tempo especifico. É dada por: a = dv

9 Movimento retilíneo É possível ainda determinar a velocidade em função da posição, ou seja, trabalhar de forma independente do tempo. Neste caso, temos a. v = a. v a. ds = dv. v a. ds = v. dv

10 Caso da aceleração constante Para os casos onde a aceleração é constante, as integrais podem ser solucionadas determinando assim equações que relacionam posição, velocidade, aceleração e tempo Temos, portanto, três situações Velocidade como função do tempo -v (t) Posição como função do tempo -s (t) Velocidade como função da posição -v (s) As equações apresentadas a seguir são validas apenas para casos onde a aceleração é constante

11 Velocidade em função do tempo Para o caso de a=cte, podemos facilmente determinar a velocidade em função do tempo integrando

12 Posição em função do tempo Integrando a função da velocidade chega-se a função posição em função do tempo

13 Velocidade em função da posição Em alguns casos é conveniente expressar a velocidade em função da posição de modo que a função seja independente do tempo. Fazendo a igualdade a.v=a.v e substituindo um dos termos em cada lado pela sua derivada temporal, podemos remover a variável tempo chegando a seguinte conclusão Integrando em ambos os lados, temos

14 Exemplo 1 Durante um teste, um foguete sobe a 75 m/s quando seu motor falha a 40m do solo. Determine: a) A altura máxima que ele alcança (s B ) b) A velocidade imediatamente antes de atingir o solo. (v C )

15 Exemplo 1 Um dos pontos mais importantes nestes casos é definir a origem do sistema de coordenadas que, neste caso, será o solo. Como a aceleração é constante após a falha do motor (g=9,81 m/s para baixo) temos

16 Exemplo 1 De forma análoga é possível determinar a velocidade logo antes de atingir o solo no ponto C. O mesmo resultado seria obtido analisando os pontos A e C

17 Movimento Retilíneo Movimento Variado

18 Movimento Retilíneo Movimento Variado Em muitos casos, o movimento apresenta um comportamento errático, de modo que é impossível definir uma única função contínua para analisar a posição, velocidade e aceleração. Nestes casos, a melhor forma de resolver o problema é através da utilização de gráficos. Se tomarmos como exemplo a figura ao lado, observa-se que ela representa graficamente a posição em função do tempo. Neste caso, nos primeiros 6 segundos, temos s=0.5.t 3. È fácil observar que aos 6s a partícula parou em108epermaneceualiatéos10s

19 Movimento Retilíneo Movimento Variado Desta forma, é possível analisar o movimento derivando ou integrando cada uma das funções definidas em um intervalo. Derivando a posição, determina-se a função velocidade para os diferentes intervalos. Uma vez levantada as funções, basta traçar o gráfico para cada intervalo. O mesmo é feito com as funções da aceleração que são obtidas a partir da derivada das funções da velocidade.

20 Exemplo Uma bicicleta movimenta-se ao longo de uma linha reta cuja posição é descrita pelo gráfico dado. Construa o gráfico v-t a a-t para o intervalo 0 t 30s

21 Exemplo Para o intervalo 0 t<10 s = t ds v = v =. t = d ( t ) v =. t dv a = = m a = s d (. t ) Para o intervalo 10 t<30 s = t0. t 100 ds v = = v = 0 d(0. t 100) v = 0 dv a = = a = 0 d(0)

22 Exemplo 3 Um dragster parte do repouso e acelere em linha reta com aceleração igual a10m/s nosprimeiros10seentãocomeçaadesaceleraram/s atéparar. Determine o tempo t até ele parar. Qual a distância percorrida?

23 Exemplo 3 Partindo da aceleração é possível determinar a velocidade Para o intervalo 0 t<10 Para o intervalo 10 t<t a = v 0 dv dv = t 0 v 0 = a( t 0) v = 10. t a. v v (0) (10) = 0 m / s = 100 m / s a = v 100 dv dv = 10 a. v 100 = a( t 10) v =. t + 10 t v (10) = 100 m / s v( t ) = 0 m / s t = 60 s

24 Exemplo 3 Com a velocidade é possível levantar as funções da posição Para o intervalo 0 t<10 Para o intervalo 10 t<60 v = s 0 s 0 ds ds = ds = s = 5. t t 0 t 0 v. (10. t). s s (0) (10) = 0 m = 500 m v = s 500 s 500 ds ds = ds = s = t t 10 t 10 v. (. t + 10) t 600 s s (10) (60) = 500 m = 3000 m

25 Exemplo 4 Uma moto movimenta-se conforme o grafico apresentado. a)represente o gráfico a-s b)determine o tempo necessário para a moto alcançar 400 ft

26 Exemplo 4 Para o intervalo 0 s<00 a. ds = v. dv dv a = v ds a = (0,. s + 10).(0,) a = 0,04. s + a a (0) (00) = = 10 ft / s ft / s Para o intervalo 00 s<400 a. ds = v. dv dv a = v ds a = 50.(0) a = 0

27 Exemplo 4 Para o intervalo 0 s<00 Para o intervalo 00 s<400 ds v = ds = v t 0 t = = s 0 0,. ds s + 10 [ 5.ln( 0,. s + 10) 5.ln( 10) ] 0,. s + 10 t = 5.ln 10 t t (0) (00) = 0 s = 8,05 s ds v = ds = v t s Logo, t ds (400) = 50 8, t = + 4,05 s t 8,05 = t = 1,05 s s t = + 4,05 50

28 Movimento de um Projétil

29 Movimento de um projétil Um projétil deslocando-se em um espaço plano pode ter seu movimento analisado de modo independente em cada um dos eixos. Considere um projétil lançado com uma velocidade v 0 em x o, y 0 Se a resistência do ar for desprezada, a aceleração no movimento horizontal será nula, enquanto que na vertical será a própria aceleração da gravidade. Logo, Horizontal vx = v x = x ox 0 + v 0x. t v v Vertical y y = y = v y 0 oy = v g. t + v 0 y 0 y. t 1 g. t. g.( y y 0 )

30 Movimento de um projétil Para realizar a análise é necessário, primeiramente definir os eixos de coordenadas fixo, estabelecendo assim um referencial. Estabelecido o referencial, esboça-se a trajetória, levantado as informações disponíveis (velocidade, aceleração, coordenadas, etc...) Selecionar e aplicar as equações adequadas analisando o movimento de forma independente.

31 Exemplo 5 Um saco desliza da rampa mostrada na figura sendo lançado horizontalmentecomumavelocidadede1m/s.seaalturadaramaéde 6m a partir do piso,determine o tempo necessário e o alcance Ronde os sacos começão a se empilhar. v x = 1 m / s v = y 0 x A = 0 ya = 0 x C = R yc = 6 m

32 Exemplo 5 Cálculo do tempo de queda t AB y B = y A + v 1 0 y. t AB g. t AB 1 6 = 0 + (0). t AB (9,81). t AB t AB = 1,11 s

33 Exemplo 5 Cálculo do alcance R x = x + v. t B A Ax AB R = 0 + (1).1,11 R = 13,3 m

34 Exemplo 6 Um carpinteiro joga uma pequena ferramenta para o chão. Qual é o menor módulov 0 da velocidade horizontal necessário para que a ferramenta não toque na ponta do telhadob? Determine também a distância d.

35 Exemplo 6 Cálculo da velocidade v 0 Devemos,primeiramente, determinar o tempo de queda até o ponto B y B = y A + v 1 1 (9,81). t 0 y. t AB g. t AB,1 = AB t AB = 0,65 s Conhecendo o tempo dequeda até o ponto B é possível determinar a velocidade mínima v0 x = x + v. t B A Ax AB,4 = 0 + v0.(0,65) v = 3,69 0 m / s

36 Exemplo 6 Cálculo da distância d Para determinar a distânciad, devemos calcular primeiramente o tempo de queda y C = y A + v 1 0 y. t AC g. t AC 1 5,1 = (9,81). t AC t AC = 1,0 s Conhecendo o tempo de queda, determina-se a distância d x = x + v. t C A 0 AC,4 + d = 0 + 3,69.(1,0) d =1,34 m

37 Exemplo 7 Uma máquina utilizada para triturar madeira é projetada para ejetar lascas aumavelocidadev0=7,5m/s.seobocaléorientadoa30 comrelaçãoa horizontal,determineaalturahqueapilhadedetritosteráaumadistância de6m.

38 Exemplo 7 Determinação das velocidades noseixosxey v = 7,5.cos(30 ) = 6,50 m / s v 0x 0 y = 7,5. sen(30 ) = 3,75 m / s Do movimento horizontal determina-se o tempo t oa x = x + v. t A O 6 = x OA 6,50.t OA t OA = 0,931 s Do movimento vertical determina-se o a altura h y A = y o + v 1 0 y. toa g. toa (,1 h) = 0 + 3,75.0,931 h = 1,38 m 1 (9,81).0,931

39 Movimento de uma partícula: Componentes retangulares

40 Mecânica Geral II Movimento absoluto dependente de duas partículas Edmundo Sahd Neto

41 Movimento absoluto dependente de duas partículas Existe situações em que duas partículas estão unidas de modo que o movimento de uma depende da outra Considerando os dois blocos unidos por uma corda mostrado na figura, observa-se que, caso o bloco B desloque-se para baixo, o bloco A irá se deslocar para cima. O inverso também é valido. Devemos, nesse caso, definir dois eixos de referência. Ambos seguemdecparaaededpara B

42 Movimento absoluto dependente de duas partículas Neste caso, temos s = A + l CD + s B l T Ondel CD é o comprimento sobre a polia e l T é o comprimento total da corda. Derivando no tempo, temos: s l sb A CD + + = lt v = B v A

43 Movimento absoluto dependente de duas partículas Derivando a velocidade no tempo, obtem-se a aceleração a = B a A

44 Exemplo 1 Sabendo que o bloco B desloca-se para cima com uma velocidade de m/s, determine a velocidade do bloco A. Definindo a referência em C e D, temos: sa + 3sB = Derivando no tempo, l v A + 3 vb = 0 v A = 6 m / s