Instituto Federal Fluminense Campus Campos Centro Programa Tecnologia Comunicação Educação (PTCE)

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1 Instituto Federal Fluminense Campus Campos Centro Programa Tecnologia Comunicação Educação (PTCE) Apostila Organizada por: Ludmilla Rangel Cardoso Silva Kamila Gomes Carmem Lúcia Vieira Rodrigues Azevedo Silvia Cristina Freitas Batista Campos dos Goytacazes/RJ Julho/2014 1

2 1. Como uma função pode ser representada? Quando conhecemos uma função, temos algum tipo de descrição da maneira como uma grandeza varia dependendo da variação de outra. Há diversas formas de descrever como essa correspondência é feita. Essa descrição pode ser: por meio de um texto que explica como as variáveis se relacionam; por meio de uma tabela, mostrando alguns valores significativos que a variável dependente assume conforme o valor da variável independente; visualmente, por meio de gráficos ou de diagramas; algebricamente utilizando-se uma fórmula matemática Diagrama de flechas Uma forma de representar uma função é por meio de um diagrama de flechas. Trata-se de uma representação gráfica em que cada flecha parte de um elemento do domínio da função e chega na imagem correspondente a ele. Exemplo 1 Em um posto de combustível, o litro da gasolina custa R$ 3,20. Podemos representar por meio de um digrama de flechas a relação entre as duas grandezas: o preço a pagar pela gasolina que está em função da quantidade de litros. Para fazermos a representação, utilizaremos alguns valores da grandeza quantidade de litros e relacionaremos com os respectivos valores da grandeza preço a pagar. Exemplo 2 Observe as relações entre duas grandezas representadas nos diagramas de flecha a seguir. Quais delas representam funções? Justifique. 2

3 Solução É função de A B, pois cada elemento do conjunto A tem uma única imagem no conjunto B. É função de C D, pois cada elemento do conjunto C tem uma única imagem no conjunto D. 3

4 Não é função de E F, pois existe elemento do conjunto E que não tem imagem no conjunto F. É função de G H, pois todo elemento do conjunto G tem uma única imagem no conjunto H. Não é função de I J, pois existe elemento do conjunto I que tem mais de uma imagem no conjunto J Tabela Tabela é uma forma de apresentar informações de determinados fenômenos, por meio de dados específicos. Na matemática são mais utilizados dados numéricos. Retomando ao exemplo 1, podemos representar por meio de uma tabela a relação entre as duas grandezas: o preço a ser pago pela gasolina e a quantidade de litros. Quantidade de litros (l) Preço a pagar (R$) ,50 5,00 10,00 17,50 25,00 32,50 50,00 4

5 Exemplo 3 A tabela a seguir dá a previsão de cinco dias de temperaturas máximas e mínimas em graus Celsius (ºC) em um determinado local. SEGUNDA TERÇA QUARTA QUINTA SEXTA MÁXIMA MÍNIMA a) Suponha que x e y denotem, respectivamente, as previsões de temperaturas máxima e mínima para cada um dos cinco dias. Será y uma função de x neste período? Se for, dê o domínio e o conjunto imagem dessa função. Solução Para verificar se a temperatura mínima (y) é função da temperatura máxima (x), é necessário observar se para cada x existe um único y correspondente. Para facilitar a visualização, vamos fazer um diagrama de flechas. Como podemos observar, todos os elementos do domínio (x) têm uma única imagem correspondente. Então, y é uma função de x, e o domínio é D = {15, 19, 21, 23, 25} e o conjunto imagem é Im = {14, 15, 16, 18}. b) Suponha que x e y denotem, respectivamente, as previsões de temperaturas mínima e máxima para cada um dos cinco dias. Será y uma função de x neste período? Se for, dê o domínio e o conjunto imagem dessa função. Solução Do mesmo modo que fizemos no item a, faremos aqui para verificar se y é uma função de x, na qual as variáveis x e y representam, respectivamente, as temperaturas mínima e máxima. 5

6 Assim, podemos observar que o elemento 16 do domínio possui duas imagens distintas correspondentes, então y não é função de x Gráfico no plano cartesiano Uma função real f determina um conjunto de pares ordenados de números reais da forma ( ( )), em que x pertence ao conjunto do domínio da função e ( ) é o número real associado a x pela função f. Então, esse conjunto é denominado gráfico de ( ). Os pares ordenados da função são formados de tal forma que os números do domínio de f são identificados com os pontos do eixo Ox (eixo das abscissas) e os valores da imagem de f com os pontos no eixo Oy (eixo das ordenadas). Para que um gráfico represente uma função, cada número x do domínio de f deve possuir uma única imagem. Podemos, então, verificar geometricamente se um gráfico cartesiano representa uma função utilizando retas paralelas ao eixo Oy, que devem conter no máximo um ponto do gráfico em todo domínio desta função. Exemplo 4 Dados os gráficos a seguir, verifique se representam uma função y = f(x) de. em a) 6

7 b) c) Solução a) Para verificarmos se o gráfico representa uma função de, devemos traçar retas paralelas ao eixo y em todo domínio e observar se, cada reta intersecta a curva em apenas um ponto do gráfico. 7

8 Após traçar as retas paralelas ao eixo y em toda extensão do domínio, podemos observar que algumas destas intersectam o gráfico em dois pontos e outras retas não intersectam o gráfico, logo o mesmo não representa uma função. b) Para verificarmos se o gráfico representa uma função de em, faremos da mesma forma que fizemos no exemplo anterior, traçando retas verticais em todo domínio. Após traçarmos as retas, podemos verificar que o gráfico representa função de, pois cada reta intersecta o gráfico em um único ponto, em todo o domínio. em c) De modo análogo, traçaremos retas verticais em todo domínio para verificar se o gráfico é uma função de em. Após traçar as retas verticais em toda extensão do domínio, podemos observar que algumas destas intersectam o gráfico em um ponto e outras retas não intersectam o gráfico, logo o mesmo não representa uma função de em. 8

9 Mas, se modificarmos o domínio dessa relação, a mesma poderá se tornar uma função. Ou seja, se restringirmos o domínio para, o gráfico representará uma função, pois nesse intervalo cada reta paralela ao eixo y intersecta o gráfico em apenas um ponto. Sendo assim, podemos verificar que o gráfico representa função de em. 9

10 Exercícios 1) Os conjuntos A e B possuem, respectivamente, 3 e 4 elementos. Quantas funções de A em B têm o conjunto imagem igual a B? 2) (UFMG) Dos gráficos, o único que representa uma função de imagem * + e domínio * + é: 3) Os gráficos abaixo representam funções. Com base neles, determine o domínio e o conjunto imagem de cada função: a) c) b) d) 4) (U.FORTALEZA Adaptada) A figura abaixo representa uma função de f: [a, b]? Justifique. 10

11 5) Considere uma função definida de que a cada elemento do seu domínio associa ao seu dobro. Represente esta função por meio de um diagrama de flechas, lei de formação, tabela e gráfico. 6) (PAIVA, 2009, p. 97 Adaptada) Um ônibus de 40 lugares foi fretado sob as seguintes condições: cada passageiro deve pagar R$ 50,00 mais uma taxa de R$ 2,00 por lugar que ficar vago. Complete a tabela abaixo com uma previsão do custo da viagem em função do número de passageiros que forem viajar, admitindo as possibilidades apresentadas na primeira coluna. Número de Número de Valor pago Valor do passageiros lugares vagos por frete do passageiro ônibus a) Escreva a lei que expressa o valor y do frete em função do número x de passageiros que forem viajar. b) Usando a lei obtida no item a, calcule o valor do frete no caso em que sejam ocupados apenas 25 lugares no ônibus. c) Para que o valor do frete seja R$ 2088,00, quantos passageiros deverão viajar? 11

12 7) Os diagramas de flecha a seguir representam relações. Considerando os conjuntos dados em cada item, verifique se cada relação é uma função de A em B e, em caso afirmativo, determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem da mesma. 8) A figura ABCD é um retângulo tal que: = 10 cm, = 6 cm, E é um ponto do lado e = x. a) Seja A a área do triângulo BDE. Determine a lei que expressa A como função de x. b) Encontre o domínio de A. 12

13 Gabarito Questão 1 Nenhuma, pois como cada elemento de A só pode se relacionar com um elemento de B então o máximo elemento de B que poderemos associar com os de A são 3. Questão 2 Letra b. Questão 3 a) D = * + ou D =, - Im = * + ou Im =, - b) D = * + ou D =, - Im = * + ou Im =, - c) D = * + ou D =, - Im = * + ou Im =, - d) D = * + ou D = - - * + Im = * + ou Im = ] - * + Questão 4 Não representa uma função de [a, b] em porque existe elemento x [a, b] com mais de uma imagem. 13

14 Questão 5 Lei de Formação f: f(x) = x Tabela x f(x) = x Gráfico da função f(x) = x 1 2 Diagrama de flechas Questão 6 Número de passageiros Número de lugares vagos Valor pago por passageiro Valor do frete do ônibus a) y = 130x 2x² b) R$ 2000,00 c) 29 ou 36 passageiros. Questão 7 a) f não é função. 14

15 b) g não é função. c) h é função. D( f ) = {1, 2, 3}, CD( f ) = {1, 2, 3, 4, 5} e Im( f ) = {1, 2, 3}. d) i é função. D( f ) = {1, 2, 3}, CD( f ) = Im( f ) = {1, 2}. e) j é função. D( f ) = {1, 2, 3}, CD( f ) = Im( f ) = {0}. f) Não é função. Questão 8 a) A = 24 3x b) D = * + ou D =,, Referências PAIVA, M. Matemática. v. 1. São Paulo: Moderna,