QUESTÃO 18. Cada um dos cartões abaixo tem de um lado um número e do outro uma letra.

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1 Nome: N.º: endereço: data: Telefone: Colégio PARA QUEM CURSA A ạ SÉRIE DO ENSINO MÉDIO EM 04 Disciplina: MaTeMÁTiCa Prova: desafio nota: QUESTÃO = a) 8 b) 9 c) 8 d) 9 e) = 3 = 3 = 3 = 3 7 = ( 9 ) 3 = 9 Resposta: D QUESTÃO 7 A diferença entre o cubo da soma de dois números inteiros e a soma de seus cubos pode ser: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 Sendo a Œ e b Œ, temos a. b Œ e a + b Œ, assim: (a + b) 3 (a 3 + b 3 ) = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 a 3 b 3 = 3a b + 3ab = 3. ab. (a + b) é múltiplo de 3, podendo ser igual a 6. MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE

2 QUESTÃO 8 Cada um dos cartões abaixo tem de um lado um número e do outro uma letra. Alguém afirmou que todos os cartões que têm uma vogal numa face têm um número par na outra. Para verificar se tal afirmação é verdadeira: a) é necessário virar todos os cartões. b) é suficiente virar os dois primeiros cartões. c) é suficiente virar os dois últimos cartões. d) é suficiente virar os dois cartões do meio. e) é suficiente virar o primeiro e o último cartão. Para confirmar a afirmação todos os cartões que têm uma vogal numa face têm um número par na outra, basta virar o primeiro (pois como A é vogal deve aparecer um número par na outra face), e o último (para confirmar que não há vogal na outra face do 3 que é ímpar). Observe que, no caso de haver uma consoante, pode aparecer qualquer número na outra face, já que a afirmação não cita este fato. Reposta: E QUESTÃO 9 Uma caixa contém 0 bolas apenas. Destas, 30 são brancas, 30 são verdes, 30 são azuis e, entre as restantes, algumas são pretas e outras vermelhas. O menor número de bolas que devemos tirar da caixa, sem lhes ver a cor, para termos certeza de que, pelo menos, delas são da mesma cor, é: a) b) c) 33 d) 38 e) 48 Retirando-se 9 bolas brancas, 9 verdes, 9 azuis e as restantes entre pretas e vermelhas, num total de 37 bolas, ainda não temos a garantia de serem da mesma cor, o que ocorrerá a partir da retirada da 38 ạ bola. Resposta: D MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE

3 QUESTÃO 0 Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem o número de irmãos igual ao número de irmãs. Cada filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número de irmãs. Qual é o total de filhos e filhas do casal? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 Sendo m e h, respectivamente, o número de filhas e de filhos do casal, temos: m = h h =. (m ) h = 4 fi h + m = = 7 m = 3 Resposta: E m h = h m = h m = h = m h + m = m = 3 QUESTÃO Na equação ax + bx + c = 0, com a. b. c 0 e 3b = 6ac, tem-se: a) as raízes são reais e iguais b) as raízes não têm mesmo sinal c) uma raiz é o triplo da outra d) V = Ø e) V = {; } Na equação ax + bx + c = 0, tem-se 3b = 6ac 3b 4 = 4ac, então: I) = b 4ac = b 3b 4b = 3b = 4 4 b 4 b b ± b b ± b ± b ± b II) x = = = = a a a 4a b 3b x = ou x = fi x = 3. x 4a 4a 3 MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE

4 QUESTÃO Para dar R$,80 de troco a um cliente, o caixa de um supermercado pretende usar exatamente 0 moedas. Se ele dispõe apenas de moedas de 5 centavos, centavos e 5 centavos, de quantos modos distintos ele pode compor tal quantia? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 Sendo x, y e z as quantidades de moedas de R$ 0,05, R$ 0, e R$ 0,5, respectivamente, tem-se 0,05x + 0,y + 0,5z =,80, com x, y e z Œ. Assim, x + y + 5z = 36 x + y + z = 0 fi x + y + z = 0 x = 4 + 3z y + 4z = 6 fi y = 6 4z Como y Œ, devemos ter 6 4z 0 z 4. Desta forma, as soluções do sistema são (4; 6; 0), (7; ; ), (; 8; ), (3; 4; 3) e (6; 0; 4). Portanto, existem 5 modos distintos de compor R$,80 com moedas de R$ 0,05, R$ 0, e R$ 0,5, usando exatamente 0 moe das. QUESTÃO 3 Num grupo de es tudantes, 80% estudam inglês, 40% estudam francês e % não estudam nenhuma destas duas línguas. Nesse grupo, a por centagem de alunos que estudam ambas as línguas é: a) 5% b) 50% c) 5% d) 33% e) 30% I) Representando num diagrama, tem-se: I F 80% - x x 40% - x II) 80% x + x + 40% x + % = 0% x = 30% Resposta: E MAT-0037-apb % 4 MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE

5 QUESTÃO 4 Numa função f tal que f(x + ) = 3f(x) para todo x real, sabe-se que f() + f(4) = 60. Então f(0) vale: a) b) 4 c) 5 d) 6 e) 8 Se f(x + ) = 3. f(x) e f() + f(4) = 60, tem-se: I) Para x = fi f( + ) = 3. f() f(4) = 3. f() II) f() + f(4) = 60 fi f() + 3. f() = f() = 60 f() = 5 III) Para x = 0 fi f(0 + ) = 3. f(0) f() = 3. f(0) 5 = 3. f(0) f(0) = 5 QUESTÃO 5 Sabe-se que o número de bactérias num meio, sob certas condições, duplica a cada minu - tos. No instante inicial, o número de bactérias era Qual a ex pressão que descreve cor - retamente como varia o número de bactérias, N, em função do tempo, t, em minutos? a) N = t b) N = t c) N = t d) N = t e) N = t Se o número de bactérias dobra a cada minutos, tem-se: I) Número inicial de bactérias: 5000 II) Após. minutos: III) Após. minutos: Assim, após t minutos, o número de bactérias é dado por N = Resposta: B t 5 MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE

6 QUESTÃO 6 Considere a função invertível f : definida por f(x) = x + b, em que b é uma constante. Sendo f a sua inversa, qual o valor de b, sabendo-se que o gráfico de f passa pelo ponto A (, )? a) b) c) d) 3 e) 5 I) (m, n) Œ f (n; m) Œ f, assim, se A(; ) Œ f, então, A ( ; ) Œ f II) A ( ; ) Œ f f( ) =, assim, para f(x) = x + b tem-se,. ( ) + b = 4 + b = b = 5 Resposta: E QUESTÃO 7 x 3 O número de soluções inteiras da inequação é: x a) 0 b) c) d) 3 e) 4 x 3 x x 3 (x 3) (x ) x 3 x x (x ) x x 0 ( x ).(x ) 0 e x x As raízes são e e o gráfico é do tipo x Logo, x As soluções inteiras são e 0. MAT-0006-apb 6 MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE

7 QUESTÃO 8 Em um terreno de formato trian gular, deseja-se cons truir uma casa com formato retangular. Determine x e y de modo que a área construída seja máxima a) x =,5 e y = 7,5 b) x = 3 e y = 9 c) x = 4,5 e y =,5 d) x = 5 e y = 5 e) x = 3 e y = I) Por semelhança de triângulos, podemos afirmar que x 5 y = 3x = 5 y y = 5 3x 5 5 II) A área do retângulo é dada por A = x. y = x. (5 3x) = 3x + 5x III) A área é uma função do ọ grau cujo gráfico é uma pará bola com concavidade para baixo (a < 0). Portanto, a área máxima ocorre para b 5 x v = = =,5 a 6 IV) Para x =,5, temos: y = 5 3. (,5) = 5 7,5 = 7,5 Resposta: A QUESTÃO 9 Ao preço de R$ 30,00 por caixa, uma fábrica de sorvete vende 400 caixas por semana. Cada vez que essa fábrica reduz o preço da caixa em R$,00, a venda semanal aumenta em 0 cai - xas. Se a fábrica vender cada caixa por R$ 5,00, sua receita semanal será de a) R$ 4.000,00 b) R$ 3.00,00 c) R$.500,00 d) R$.600,00 e) R$.0,00 I) Seja x o preço unitário da caixa e y a quantidade de caixas vendidas por semana. receita = x. y fi receita = = 000 reais II) Como a cada real de redução no preço há um aumento de 0 caixas, então na redução de 5 reais no preço teremos um aumento de 0 caixas. III) Se o preço da caixa for 5 reais, a quantidade de caixas vendidas será de 500 uni - dades. Logo, a nova receita pas sará a ser = 500 reais. 7 MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE

8 QUESTÃO 30 Uma função real f do ọ grau é tal que f(0) = + f() e f( ) = f(0). Então f(3) é igual a: 5 7 a) 3 b) - c) d) 0 e) - f(x) é do ọ grau, logo f(x) = ax + b. I) f(0) = + f() fi a. 0 + b = + a. + b a = II) f( ) = f(0) fi a. ( ) + b = (a. 0 + b) a + b = b b = + a fi b = + ( ) b = De I e II, temos: f(x) = x + Então, f(3) = 3 + = Resposta: B 5 8 MATEMÁTICA DESAFIO. a SÉRIE