Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1.

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1 CONCEITO DE FUNÇÃO... 2 IMAGEM DE UMA FUNÇÃO... 8 IMAGEM A PARTIR DE UM GRÁFICO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO DETERMIAÇÃO DO DOMÍNIO DOMÍNIO A PARTIR DE UM GRÁFICO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO FUNÇÃO CONSTANTE RESPOSTAS REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA No final das séries de exercícios podem aparecer sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a exercícios do livro Matemática de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG Campus Ouro Preto durante o triênio Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. O fato de apenas alguns exercícios estarem indicados não significa que os demais devam ser ignorados. Ao contrário, quanto mais exercícios você fizer mais hábil você pode ficar. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÕES

2 CONCEITO DE FUNÇÃO Dados dois conjuntos não vazios A e B *, uma relação f de A em B recebe a denominação de função de A em B se, e somente para todo x A existe um único (x; y) f. f é uma função de A em B ( x A, y B (x; y) f) Vamos considerar os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = { -1, 0, 1, 2, 3} e as seguintes relações binárias: R = {(x; y) A x B y = x + 1} S = {(x; y) A x B y 2 = x 2 } T = {(x; y) A x B y = x} V = {(x; y) A x B y = (x -1) 2-1} W = {(x; y) A x B y = s} Começaremos pela relação R: É importante notar que: Todo elemento de A deve ser associado a um elemento de B; Para um dado elemento de A associamos um único elemento de B. Usando o conceito de domínio e imagem que já estudamos em relações, podemos dizer também, que: f : A B é uma função se todo elemento do domínio possui somente uma imagem. Veja, a seguir, alguns exemplos que ilustram relações de A em B. Note que algumas delas expressam função e outras não. Desta forma temos: R = { (0; 1), (1; 2), (2; 3) } Para cada elemento x A com exceção do 3, existe um só elemento y B tal que (x; y) R. Para o elemento 3 A, não existe y B tal que (3; y) R. Neste caso, como existe elemento de A que não possui imagem, R NÃO é uma função de A em B. * Em todo nosso estudo de funções, fica estabelecido que A e B são conjuntos formados por números reais, ou seja, A e B estão contidos em. CÁSSIO VIDIGAL 2 IFMG CAMPUS OURO PRETO

3 Vejamos agora a relação S que associa x e y em pares de números que possuem o mesmo quadrado. Veja a relação V agora: S = { (0; 0), (1; -1), (1; 1), (2; 2), (3; 3)} Para cada elemento x A, com exceção do 1, existe um só elemento y B tal que (x; y) S. Para o elemento 1, existem dois elementos de B, o 1 e o -1, tais que (1, -1) S e (1, 1) S. Assim, S NÃO é uma função pois existe elemento do domínio que possui mais de uma imagem. V = { (0; 0), (1; -1), (2; 0), (3; 3) } Para todo elemento x A sem exceção, existe um só elemento y B tal que (x; y) V. B. Então S É UMA FUNÇÃO de A em Vamos encerrar esta série com a relação W.: Agora, a relação T: W = { (0; 2), (1; 2), (2; 2), (3; 2) } T = { (0; 0), (1; 1), (2; 2), )3; 3) } Para todo elemento x A sem exceção, existe um só elemento y B tal que (x; y) T. Para todo elemento x A sem exceção, existe um só elemento y B tal que (x; y) W. Então W É UMA FUNÇÃO de A em B. B. Então T É UMA FUNÇÃO de A em MATEMÁTICA I 3 FUNÇÕES

4 Estas três últimas relações: T, V e W que apresentam a particularidade: Para todo elemento x A sem exceção, existe um só elemento y B tal que (x; y) pertence à relação, logo são funções de A em B. Quando analisamos uma relação a partir da representação por diagrama de flechas em dois conjuntos A e B, devemos observar duas condições para que a relação de A em B seja uma função de A em B: 1. Deve sair flecha de TODOS os elementos de A. 2. Deve sair apenas uma flecha de cada elemento de A. Estas duas condições apenas afirmam o que foi dito no início da página 2 desta apostila. Lá está afirmando que f: A B é uma função se todo elemento de A possui uma (condição 1) e somente uma (condição 2) imagem. b) c) d) Função? Justifique: Função? Justifique: Função? Justifique: Vamos identificar, nos diagramas a seguir, onde está e onde não está representada uma função de A em B justificando, quando for o caso. a) Função? e) Função? Justifique: Justifique: CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG CAMPUS OURO PRETO

5 f) Função? Justifique: Vamos identificar, nos gráficos a seguir, onde está e onde não está representada uma função de A em B ficando atentos para o domínio determinado e justificando, quando for o caso. a) A = [-1; 2] e B = Função? Justifique: b) A = [-2; 2] e B = Função? Justifique: Podemos verificar também se uma relação é ou não função a partir de sua representação gráfica. Para tal, basta verificarmos se todas as retas paralelas ao eixo das ordenadas que podemos traçar dentro do domínio da relação toca o gráfico em um e somente um ponto, veja nos exemplos que seguem. c) A = [0; 4] e B = Função? Justifique: MATEMÁTICA I 5 FUNÇÕES

6 c) EXEMPLOS COMPLEMENTARES Ver R.6 e R7 das Páginas 123 e 124 1) Assim como foi feito no exemplo da página 4, identifique cada uma das relações de A em B abaixo, apresentadas sob forma de diagrama, como função ou não e a seguir, justifique. a) d) b) e) CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG CAMPUS OURO PRETO

7 f) c) D = [-7; 7] d) D = [-4; 4] 2) Dentre os gráficos abaixo, identifique aquele que apresenta e aquele que não apresenta função justificando sua resposta ficando sempre atento ao domínio apresentado. a)d = [1; 4] e) D = b) D = [-4; 3] MATEMÁTICA I 7 FUNÇÕES

8 f) D = IMAGEM DE UMA FUNÇÃO Dada uma função f: A B sendo f = {(x, y) A x B}, assim como vimos nas relações, os valores que a ordenada y admite, formam o conjunto chamado IMAGEM. Veja, nos dois exemplos a seguir, a determinação da imagem de uma função. g) D = Ex.: Dado A = {1, 2, 3, 4}, consideremos a função f: A definida por f(x) = 2x, temos: Para x = 1, f Para x = 2, f Para x = 3, f Para x = 4, f h) D = A imagem desta função é Im(f) = {2; 4; 6; 8} CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG CAMPUS OURO PRETO

9 Ex.: Determinar a imagem da função f: D definida por f(x) = x 3 x + 10, sendo D = { -2; -1; 0; 1; 2}. Para x = -2 f Para x = -1 f Observe que três elementos do domínio (-1, 0 e 1) possuem a mesma imagem (10). Isto é permitido no conceito de função, pois ele exige que cada elemento do domínio tenha somente uma imagem. Nada impede que um mesmo elemento do contra-domínio tenha mais de uma contra-imagem. Lembre-se que, para que f: A B seja uma função o que não pode ocorrer é um dado elemento de A não ter imagem ou ter mais de uma imagem. Para x = 0 3 f Para x = 1 3 f ) Determine o conjunto imagem em cada uma das funções a seguir apresentadas sob forma de diagrama de flechas. a) Para x = 2 3 f Logo, Im(f) = {4; 10; 16} MATEMÁTICA I 9 FUNÇÕES

10 b) 5) Seja f: a função definida por 2 fx. Calcule: x 2 1 a) f 1 b) 1 f 2 c) c) f 2 4) Sendo f: A, uma função definida por f(x) = 3x 2 + 1, determine a imagem de f sabendo que 2 A 5; 5; ; 3; d) f1 2 CÁSSIO VIDIGAL 10 IFMG CAMPUS OURO PRETO

11 1 1 6) Se fx, qual é o valor de x x 1 f(1) + f(2) + f(3)? x 1 e b) f: D dada por 1 D 2; 1; 0; 1; 2 f x 7) Determine a imagem de cada função: 1 a) f: A dada por fx x e x 1 1 A ; ; 1; 2; ) Na função f: definida por f(x) = 7x 3, para que valor de x tem-se f(x) = 18? MATEMÁTICA I 11 FUNÇÕES

12 9) Na função f: definida por f(x) = x 2 2x, para que valor de x tem-se f(x) = 3? E f(x) = 0? 11) Dada fx x 1, calcule o valor de x para o qual se tem f(x) = 2. x 1 10) Uma função definida por fx 2x 1 tem imagem Im(f) = {-3; -1; 1; 3; 5}. Qual o domínio de x? ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 123 Exercícios 17 a 22 IMAGEM A PARTIR DE UM GRÁFICO Para determinar a imagem de uma função a partir do seu gráfico, devemos observar quais são os valores do eixo vertical que possuem uma contraimagem no eixo OX. De forma prática, entretanto, basta traçar-mos retas horizontais. Todas aquelas que tocarem o gráfico em pelo menos um ponto determinam, no eixo OY a imagem. Veja nos exemplos a seguir. Vamos determinar a imagem de cada uma das funções abaixo apresentadas pelos seus gráficos. CÁSSIO VIDIGAL 12 IFMG CAMPUS OURO PRETO

13 a) e) b) Im = [a; b] Im = {1; 3} c) Im = [a; b] 12) Seguem 12 gráficos montados em uma malha quadriculada. Sabendo que cada quadrinho representa uma unidade, determine a imagem da função em cada caso. a) d) Im = [a; b[ - {0} b) Im = [-2; 0[ ]1; 3[ MATEMÁTICA I 13 FUNÇÕES

14 c) d) g) e) h) f) CÁSSIO VIDIGAL 14 IFMG CAMPUS OURO PRETO

15 i) l) j) DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO Considerando que toda função de A em B é uma relação binária então f tem uma imagem, como já vimos, e também um domínio. k) Chamamos de domínio o conjunto D dos elementos x A para os quais existe y B tal que (x; y) f. Como pela definição de função, todo elemento de A tem essa propriedades, temos, nas funções: Domínio = conjunto de partida É importante ressaltar que os elementos que formam o domínio são aqueles assumidos pela abscissa, desta forma, no plano cartesiano, o domínio são os valores neste eixo. DETERMIAÇÃO DO DOMÍNIO Tomemos algumas funções e determinemos o seu domínio: MATEMÁTICA I 15 FUNÇÕES

16 Ex.: 1 f(x) = 2x Notemos que 2x para todo x, temos, então: D = 13) Determine o domínio de cada uma das funções reais a seguir: a) fx 3x 2 Ex.: 2 f(x) = x 2 Notemos que x 2 para todo x, temos, então: D = b) fx 1 x 2 Ex.: 3 Notemos que 1 x x f 1 x se, e somente se, x é real diferente de zero, temos, então,: D = * c) fx x 1 x 2 4 Ex.: 4 x f x Notemos que x se, e somente se, x é real e não negativo, então: D = + d) fx x 1 Ex.: 5 Notando que temos: x f 3 x 3 x para todo x, D = CÁSSIO VIDIGAL 16 IFMG CAMPUS OURO PRETO

17 e) fx 1 x 1 i) fx 3 x 2 x 3 f) fx x 2 x 2 g) 3 f x h) fx 3 2x 1 1 2x 3 DOMÍNIO A PARTIR DE UM GRÁFICO Para determinar o domínio de uma função a partir do seu gráfico, devemos observar quais são os valores do eixo horizontal que possuem uma imagem no eixo OY. De forma prática, entretanto, basta traçar-mos retas verticais. Todas aquelas que tocarem o gráfico determinam, no eixo OX, o domínio. Lembre-se que nenhuma destas retas verticais podem tocar o gráfico em mais de um ponto. Caso isto ocorra, o gráfico não representa uma função. Ex.: 1 Veja nos exemplos a seguir. D = [a; b] MATEMÁTICA I 17 FUNÇÕES

18 Ex.: 2 14) Todos os gráficos a seguir representam funções. Determine o domínio de cada uma delas. a) D = [a; b] Ex.: 3 b) D = Ex.: 4 c) D = * CÁSSIO VIDIGAL 18 IFMG CAMPUS OURO PRETO

19 d) y f Para x = 1 y f Para x = 2 y f ATIVIDADES COMPLEMENTARES Pág. 127 Exercícios 24, 25 e 26 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO Quando o domínio e o contradomínio de uma função f são subconjuntos de, dizemos que f é uma função real de variável real. Neste caso, podemos fazer uma representação geométrica da função assinalando num sistema de coordenadas cartesianas os pontos (x; y) com x D e y = f(x). Estes pontos formam o que chamamos de gráfico de f. Para x = 3 y f 3 Para x = 4 y f Para x = 5 y f O gráfico de f é formado pelos pontos A(0; -3), B(-1; 1), C(2; 1), D(3; 3), E(4; 5) e F(5; 7). Ex.: 1 Fazer o gráfico da função f(x) = definida no domínio D(f) = {0; 1; 2; 3; 4; 5}. Resolução: Para cada x D(f), calculamos y = f(x) e obtemos um ponto (x; y) do gráfico. Temos: Para x = 0, MATEMÁTICA I 19 FUNÇÕES

20 Ex.: 2 Fazer o gráfico da função f(x) = 2x 3 definida no domínio D(f) = {x 0 x 5}. Resolução Neste caso temos a mesma lei do exemplo anterior, y = f(x) = 2x 3, porém o intervalo do domínio é [0; 5]. Assim, além dos pontos A,B C, D, E e F, devemos, também, considerar os pontos situados entre eles, no segmento de reta AF. Veja, por exemplo: Para x = 0,5 y f0,5 20,5 3 2 Para x = 2,25 y f 2,25 22,25 3 1, 5 Ex.: 3 Fazer o gráfico da função f(x) = 2x 3 definida no domínio D(f) =. Resolução Temos, mais uma vez, a mesma lei dos exemplos anteriores, y = f(x) = 2x 3, mas o domínio é formado por todos os números reais. Assim, além do segmento, devemos considerar pontos À direita, com abscissa x > 5 e pontos à esquerda com x < 0. Veja, por exemplo: AF Para x = 6 y f Para x = -1 y f O gráfico é, neste caso, a reta AF que não tem fim de um lado nem de outro. CÁSSIO VIDIGAL 20 IFMG CAMPUS OURO PRETO

21 b) sendo D = {x 1 x 5} c) sendo D = 15) Faça o gráfico da função f(x) = 6 x nos casos: a) sendo o domínio D = {1; 2; 3; 4; 5} 16) Faça o gráfico da função x x f nos 2 casos. a) sendo o domínio D = {-2; -1; 0; 1; 2} MATEMÁTICA I 21 FUNÇÕES

22 b) sendo D = {x -2 x 2} c) sendo D = b) sendo D = {x -2 x 2} 2 17) Faça o gráfico da função fx x nos casos. a) sendo o domínio D = {-2; -1; 0; 1; 2} Para x = -2, y = Para x = -1, y = Para x = 0, y = Para x = 1, y = Para x = 2, y = CÁSSIO VIDIGAL 22 IFMG CAMPUS OURO PRETO

23 c) sendo D = x 1 19) Faça o gráfico da função fx 2 com domínio D =. (Obtenha pontos do gráfico escolhendo valores para x e calculando y = f(x)) 18) Faça o gráfico da função nos casos. a) sendo o domínio D = {0; 1; 2; 3; 4} f x x b) sendo D = +. MATEMÁTICA I 23 FUNÇÕES

24 20) Faça o gráfico de f(x) = 2x + 1 com domínio D = [0; 3[ 21) Faça o gráfico de f: [-1; 5], 5 x definida por fx. 2 CÁSSIO VIDIGAL 24 IFMG CAMPUS OURO PRETO

25 22) Faça o gráfico de f: [-2; 2], definida por f x 2 x 2. FUNÇÃO CONSTANTE Dado um número real k, podemos considerar uma função que a todo número real x faz corresponder o número k: f:, com f(x) = k ( x ) Esta função é denominada função constante. O gráfico é uma reta paralela ao eixo das abscissas passado por todos os pontos de ordenada y = k. Observe que o domínio é D(f) = e a imagem é Im(f) = { k }. Ex.: 1 Construir o gráfico da função f: dado por f(x) = 2. Resolução Para qualquer x, temos y = 2, então o gráfico será formado por todos os pontos do tipo (x; 2), veja: MATEMÁTICA I 25 FUNÇÕES

26 Ex.: 2 Construir o gráfico da função f: + dado por f(x) = 2. Resolução Para qualquer x, temos y = 2, então o gráfico será formado por todos os pontos do tipo (x; 2), mas agora há uma restrição no domínio. Veja: 23) Faça o gráfico da função f: dado por f(x) = ) Faça o gráfico da função 1, sex 0 f: dado por f x. -1 sex 0 CÁSSIO VIDIGAL 26 IFMG CAMPUS OURO PRETO

27 RESPOSTAS 1) a) Não é função pois existe elemento no domínio que não possui imagem. b) É função pois todos os elementos do domínio possuem uma e somente uma imagem. c) Não é função pois existe elemento no domínio que não possui imagem. d) Não é função pois existe elemento no domínio que não possui imagem além de elemento que possui mais de uma imagem. e) É função pois todos os elementos do domínio possuem uma e somente uma imagem. f) Não é função pois existe elemento no domínio que não possui imagem além de elemento que possui mais de uma imagem. 2) a) Não é função, pois existe elemento do domínio com mais de uma imagem. b) Função c) Função d) Não é função, pois existe elemento do domínio com mais de uma imagem. e) Função f) Função g) Não é função pois existem elementos do domínio que não possuem imagem. h) Não é função, pois existe elemento do domínio com mais de uma imagem. 3) a) Im = {-1; 0; 1} b) Im = {-1} c) Im = {-1, 2} 4) Im f 7 ; 10; ; ) a) 1 b) 6) c) ) a) Im f d) ; ; b) Imf 1; 2; 3; 4 8) Resolução: f x 7x 3 e 7x x 21 x 3 f x 18 9) f(x) = 3 para x = 3 ou x = -1 f(x) = 0 para x = 0 ou x = 2 10) D f 11) x = 3 2 ; 7 12) a) Im = {-2, 0, 2} b) Im = 0; 2; 4 ; c) Im = [-2; 2] d) Im = {y -4 x -2 ou -1 < x 4} e) Im = {y x -1} f) Im = {y x > 2 ou x = 1} g) Im = {-2; -1; 0; 2; 3; 4} h) Im = [1; 4[ i) Im = [-4; 3[ MATEMÁTICA I 27 FUNÇÕES

28 j) Im = {-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3} k) Im = [-2; 3] 13) a) D b) D D 2 ou D x x 2 c) Resolução x 1 fx 2 x 4 2 x 4 0 x 2 4 x 2 x x 2 e x 2 d) D x x 1 e) D x x 1 f) D x x 2 e x 2 g) D 3 h) D 2 i) D 3 14) a) [-3; 4[ 15) a) b) [-3; 3] - {-1; 1} c) * d) * b) c) 16) a) b) CÁSSIO VIDIGAL 28 IFMG CAMPUS OURO PRETO

29 c) 18) a) b) 17) a) 19) b) 20) c) MATEMÁTICA I 29 FUNÇÕES

30 21) 22) 23) REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA DANTE, Luiz Roberto; Matemática. São Paulo, Ática, 2004 MACHADO, Antônio dos Santos; Matemática, Temas e Metas. São Paulo, Atual, 1988 IEZZI, Gelson e outros; Matemática, Volume único. São Paulo, Atual, 2002 PAIVA, Manoel; Matemática Ensino Médio, Volume 1. 2.ed. São Paulo. Moderna, ) CÁSSIO VIDIGAL 30 IFMG CAMPUS OURO PRETO