CAPÍTULO 3 DINÂMICA DA PARTÍCULA: TRABALHO E ENERGIA

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1 CAPÍLO 3 DINÂMICA DA PARÍCLA: RABALHO E ENERGIA Neste capítulo será analisada a lei de Newton numa de suas formas integrais, aplicada ao movimento de partículas. Define-se o conceito de trabalho e energia cinética e através da integração da lei de Newton ao longo da trajetória do movimento podemos relacionar as forças aplicadas num intervalo de tempo com a variação da velocidade. 3. RABALHO REALIZADO POR MA FORÇA O conceito de trabalho como definido na Mecânica da partícula está relacionado à ação de forças aplicadas na direção do movimento. Numa forma diferencial, o trabalho de uma força F é dado por d F (3.) A Figura 3. ilustra as grandezas envolvidas nesta definição. Logo d F cos ds (3.) Podemos observar que d F cos ds 0 quando 0 90 d F cos ds 0 quando 90 d F cos ds 0 quando 90 80

2 F r ds P r S Figura 3. - Elementos da definição de trabalho de uma força. Logo, a partir de (3.) e (3.), o trabalho de uma força F durante o movimento que vai da posição r até a posição r é uma grandeza escala dada por r s F cos ds r s F (3.3) Observe que o trabalho de uma força constante F C, ao longo de uma trajetória retilínea, é dado por r s s r s F C FC cos ds FC cos ( s ) (3.4) F C s s s s Figura 3. - rabalho de uma força constante. O trabalho da força peso W, sendo y a direção vertical, é dado por ou seja r r r r F ( W j) ( dx i dy j dz k) (3.5)

3 y Wdy W ( y y) W y (3.6) y 3 y P r r W x z Figura rabalho da força-peso W. O trabalho da força de uma mola linear aplicada a uma partícula P que se desloca ao longo do eixo x pode ser obtido a partir de: x m d x F r (3.7) O modelo linear de força de mola estabelece que sua intensidade é proporcional ao seu deslocamento x, quando x = 0 corresponde à posição de mola livre. Assim a força sobre uma mola de constante elástica k possui a forma kx. Aplicada sobre a partícula P esta força tem sinal contrário ao deslocamento x. Portanto, a força de mola sobre a partícula P é dada por F m k x (3.8) Logo x k x dx k ( x x x ) (3.9) 3. PRINCÍPIO DO RABALHO E ENERGIA Considere agora a lei de Newton dada pela equação do movimento, aplicada a uma partícula P de massa m:

4 F m a (3.0) 4 Vamos calcular o trabalho da força resultante, num movimento desta partícula entre duas posições r e r, com t > t : r r r F ma (3.) r Nesta equação, como o processo de integração é linear, então: ou seja r r r F ma (3.) r r r ma (3.3) Aplicando a relação cinemática diferencial a d r v dv em (3.3) obtemos v v mv dv (3.4) Realizando a integração do lado direito da igualdade (3.4) obtemos v mv dv mv mv v Definindo a energia cinética de uma partícula de massa m como (3.5) mv (3.6) e aplicando em (3.5), obtemos o princípio do trabalho e energia para uma partícula P, da seguinte forma ou (3.7) (3.8)

5 5 3.3 PRINCÍPIO DO RABALHO E ENERGIA: SISEMAS DE PARÍCLAS Vamos estender o princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas. Seja um sistema formado por n partículas, cada uma de massa m i. Aplicando (3.8) para a i-ésima partícula i ) i i ( (3.9) Somando para todas a i partículas do sistema resulta: i ) i i ( (3.0) ou, de forma compacta (3.) onde mivi é a energia cinética do sistema no instante mivi é a energia cinética do sistema no instante ri ri i i Fi i ri ri f é o trabalho do sistema. Para a definição do trabalho do sistema entre as posições iniciais e finais, foi usada a notação f para forças internas e F para forças externas ao sistema. Deve-se notar que em determinadas condições, o trabalho total das forças internas é nulo: isto ocorre quando todas as partículas têm igual deslocamento (translação) e as conexões entre elas são rígidas. Estas condições são satisfeitas, por exemplo, para o caso de corpos rígidos em translação. Observamos que a equação (3.) é igual a (3.8), mas cada um de seus termos tem definição diferente, como visto nesta seção.

6 6 3.4 POÊNCIA E EFICIÊNCIA A potência é definida com a taxa de variação do trabalho por unidade de tempo, ou seja d P (3.) dt Aplicando (3.) em (3.), resulta F P F v (3.3) dt m conceito prático utilizado em engenharia é o da eficiência, às vezes denominado rendimento. Define-se, num sistema mecânico, a eficiência mecânica como o quociente entre a potência de saída e a potência de entrada. PS P E (3.4) A potência de entrada, em geral, é aquela fornecida pelos motores que acionam o sistema. Podem ter várias fontes de energia, sendo a energia elétrica muito utilizada. A potência de saída é a responsável pelo trabalho que se deseja realizar com o sistema. Se o sistema for considerado ideal, este quociente é igual a, pois não há perda de energia. Entretanto, nos sistemas reais a eficiência é sempre menor que, pois sempre há perda de energia mecânica ao se realizar um trabalho. 3.5 FORÇAS CONSERVAIVAS E ENERGIA POENCIAL Chamamos forças conservativas aquelas cujo trabalho realizado entre duas posições não depende da trajetória do movimento. Para a aplicação neste curso vamos destacar duas forças conservativas: a força peso e a força de mola. Como visto anteriormente em (3.6), o trabalho da força peso é dado por ) W( y y W y (3.5)

7 7 Definimos a energia potencial gravitacional como V g W y (3.6) onde y é a posição vertical da partícula em relação a um plano referencial escolhido arbitrariamente como plano de potencial nulo. Neste caso, podemos calcular o trabalho realizado pela força peso, qualquer que seja a trajetória entre as posições e, através de (3.7) Vg Vg De forma semelhante, como visto em (3.9), o trabalho da força de mola é dado por k ( x x ) (3.8) Definimos a energia potencial elástica como V e k x (3.9) onde x é a deformação mola em relação à posição de força nula. Neste caso, podemos calcular o trabalho realizado pela força de mola, qualquer que seja a trajetória entre as posições e, através de (3.30) Ve Ve Podemos definir a energia potencial como V V g V e (3.3) Há outras forças conservativas, geradas por campos elétricos, energia química, etc. Entretanto para os estudos que faremos neste texto, a definição dada

8 em (3.3) é suficiente. Portanto o trabalho total realizado por forças conservativas pode ser calculado por 8 (3.3) V V 3.6 PRINCÍPIO DO RABALHO E ENERGIA: SISEMAS CONSERVAIVOS O princípio do trabalho e energia, dado em (3.8), pode ser modificado quando todas as forças atuantes numa partícula são forças conservativas. Neste caso, combinando (3.8) e (3.3), obtemos ou (3.33) V V (3.34) V V Esta igualdade é conhecida como a conservação da energia mecânica. È uma forma particular do princípio do trabalho e energia para sistemas conservativos. Nestes casos a soma das energias cinética e potencial é constante ao longo do tempo, ou V C d( V ) ou 0 (3.35) dt onde C é uma constante. Observe-se que, para casos gerais onde há forças conservativas e forças não conservativas, o princípio geral dado por (3.8) pode ser escrito como onde nc (3.36) V V nc é a soma de todos os trabalhos das forças não conservativas. Para um sistema de partículas sujeito apenas à atuação de forças conservativas, uma extensão de (3.34) pode ser escrita como (3.37) V V