Física. Física Módulo 1 Energia Potencial e Conservação da Energia

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1 Física Módulo 1 Energia Potencial e Conservação da Energia

2 No capitulo anterior: Trabalho, Energia Cinética, Potência O trabalho das forças resultantes que agem sobre um corpo é dado por: W res = F x ou ainda W res = x x 1 F( x) dx A energia cinética é dada por res = x = W F x K K = 1 mv e sua variação, K, Trabalho é a variação da energia cinética A potência é a taxa com que o trabalho é realizado num determinado tempo W dw P = t dt

3 Um outro tipo de energia Bloco preso por um fio Força gravitacional Um fio prende um corpo com a mola comprimida Força Elástica O que acontece quando cortamos o fio vermelho?

4 Energia Potencial Em ambos os casos anteriores o bloco realizará trabalho, pois existe uma energia armazenada devido a sua posição no sistema. Esta energia, que depende da posição da partícula (configuração do sistema), é chamada de Energia Potencial (U). Se a configuração do sistema mudar, a energia potencial também pode mudar. Relação entre energia potencial e trabalho: U = W O sinal negativo (- U) indica que o trabalho efetuado por uma força conservativa é igual a diminuição da função energia potencial

5 Forças conservativas e energia potencial A energia potencial existe apenas para forças conservativas. Uma força é conservativa se o trabalho total que ela efetua sobre uma partícula, quando ela se desloca num percurso fechado e retorna a origem, for nulo. y O trabalho efetuado por uma força conservativa sobre uma partícula não depende da trajetória da partícula ao passar de um ponto para outro. Exemplos: - Força da gravidade - Força elástica de uma mola O x

6 Energia potencial: definição Variação de energia potencial s s W = F d s = U 0 s 0 define uma configuração de referência e s uma configuração geral U = U U s s 0 Energia potencial para uma dada configuração s: U = U + U = U W = U d s s0 s0 s F s 0 s s 0

7 Energia potencial: definição (cont.) Do ponto de vista físico, apenas as variações de energia potencial são relevantes. Pode-se sempre atribuir o valor zero à configuração de referência: U = s 0 0 Agora podemos aplicar esse conceito a alguns tipos de força: Força gravitacional (perto da superfície terrestre) Força elástica

8 Energia potencial gravitacional U = W = F( x) dx x x 0 Neste caso, a força F que age sobre o bloco é a força da gravidade, F=-mg, a qual não varia com a distância (x) perto da terra. Assim, U = W = F cosθ x h h 0 Logo, a energia potencial gravitacional será dada por U g = mgh para h 0 = 0

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10 Energia potencial elástica Neste caso, a Força da mola varia linearmente com a posição (x): F ( x) = kx Configuração de referência: x 0 = 0 1. x Integrando du = u + c x 0 U( x ) = x Teremos que 0 ( k 0 )xdx Uel = 1 kx n u du n+ 1 u = + n + 1 c

11 Conservação da energia mecânica Se a única força a efetuar trabalho sobre uma partícula for conservativa, o trabalho é igual a diminuição da energia potencial do sistema e também igual ao aumento da energia cinética do sistema Portanto, Wtotal = F d s = U = + K K + U = ( K + U ) = 0 A soma da energia cinética com a energia potencial do sistema é a energia mecânica total E Emec = K + U = constante (a energia mecânica total de uma sistema não varia).

12 Energia potencial gravitacional (campo uniforme) Próximos da Terra a força gravitacional pode ser aproximada por y U ( y) = 0 ( mg) dy = mgy 0 F = mg. Tomando como referência para U o ponto y = 0 (U(0)=0): U ( y) = mgy Conservação da energia: 1 = + = E mv mgy constante

13 Força elástica e energia potencial elástica Configuração de referência: x 0 = E mv kx = + = x 1 U ( x) = 0 ( k) xdx = kx constante 1 v = 0 e x = A E = ka 1 v = vmax e x = 0 E = mv 1 v = 0 e x = A E = ka 1 v = vmax e x = 0 E = mv 1 v = 0 e x = A E = ka 0 max max

14 Conservação de energia mecânica 1 1 mv + kx = E

15 Exemplo Qual é a mínima altura h para que o corpo deslizando do ponto atinja o ponto b e complete o loop? No alto do loop (b), a força peso deve ser igual a força centrípeta... vb mg = m vb = gr r b r m a h Por conservação de energia mecânica: E a = E b U + K = U + K a a b b N mg No limiar: N = 0

16 Exemplo (continuação) E a = E b U + K = U + K a a b b m a 1 mghmin + 0 = mgr + mv b b r h Substituindo vb = gr 1 mghmin = mgr + mgr 1 5 hmin = r + r = r =,5r h =,5r min Logo, a altura mínima para se completar o loop é de,5 vezes o raio do loop.

17 Trabalho de forças conservativas d A B L θ C Trabalho realizado pela força gravitacional ao longo do circuito fechado indicado: A B C WA + WB + WC = mgd + mglsenθ + 0 = 0

18 Trabalho de Forças não-conservativas Forças não-conservativas: seu trabalho depende da trajetória. Exemplos: força de atrito e força de arraste. W atr ( A B) = f atr ds= f atr LA CC µ cmgd reta = µ cmgπ d / semi-círculo B = Nesse caso, não é possível definir uma energia potencial porque o trabalho da força de atrito depende da trajetória descrita pelo corpo.

19 Conservação do Trabalho-Energia Num sistema onde existem forças não-conservativas (F nc ) e forças conservativas (F 1, F,...), a energia mecânica total do sistema não permanece constante. Considere um sistema com as forças abaixo F = F + F + F res nc 1 O trabalho destas forças será igual a variação da energia cinética ( K) W = W + W + W = K total nc 1

20 Conservação do Trabalho-Energia Para cada forças conservativas (F i ) podemos definir que W i = (- U i ) Logo, temos que W U U = K nc 1 Assim, W = U + U + K = E nc 1 mec Teorema da conservação do trabalho-energia mecânica O trabalho efetuado por uma força não-conservativa que atua sobre uma partícula é igual à variação da energia mecânica total do sistema.

21 Conservação do Trabalho-Energia No caso de forças como de atrito e de arraste, o trabalho é sempre negativo (a força é sempre no sentido oposto ao deslocamento): W = f L < 0 E < 0 atrito atrito mec Como o trabalho forças dissipativas é sempre negativo, a energia mecânica do sistema sempre diminui na presença delas.

22 A Conservação da Energia A energia total de um sistema pode incluir outros tipos de energia, como a energia térmica ou energia química, além da energia mecânica. O trabalho das forças dissipativas (e a consequente diminuição da energia mecânica) é acompanhado de um aumento da temperatura dos corpos em contato (aumento da agitação térmica das moléculas): variação da energia interna = - trabalho das forças dissipativas E = E + E = total int mec constante A energia total de um sistema isolado, mecânica mais interna, é conservada. Em geral, há outras formas adicionais de energia (elétrica, magnética,...) que, uma vez adicionadas acima, fornecem uma quantidade que se conserva.

23 Exemplo: O bloco de massa m é solto de x = d. Qual é sua velocidade em x = 0? 1 K = mv 0 a) Sem atrito K = U 1 F U = 0 kd d 1 1 k m mv = kd v = d b) Com atrito d F f a E = K + U = W = µ mgd 1 1 µ mv = kd cmgd kd v = µ cgd m atr c

24 Exemplo: Um trenó de 5 kg escorrega com a velocidade inicial de 4 m/s. Sendo 0,14 o coeficiente de atrito entre e a neve, qual a distância que o trenó percorrerá antes de ficar em repouso?

25 Exemplo (cont):