1ªAula do Cap. 07 Energia Cinética e Trabalho

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1 ªAula do Cap. 07 Energia Cinética e Trabalho Introdução Trabalho Mecânico e Produto Escalar Energia Cinética Teorema do Trabalho-Energia Cinética Trabalho Realizado por força variável (Integral) Referência: Halliday, David; Resnick, Robert & Walker, Jearl. Fundamentos de Física, Vol. Cap. 07 da 7 a. ed. Rio de Janeiro: LTC. James Prescott Joule (88-889)

2 Energia As leis de Newton permitem analisar vários movimentos. Essa análise pode ser bastante complea, necessitando de detalhes do movimento simplesmente inacessíveis. Eemplo: qual é a velocidade final de um carrinho na chegada de um percurso de montanha russa? Despreze a resistência do ar e o atrito, mas resolva o problema usando as leis de Newton. v 0 v r?

3 Energia Aos poucos cientistas e engenheiros desenvolveram uma técnica muitas vezes mais poderosa para analisar o movimento. Essa maneira acabou sendo estendida a outras situações, tais como: reações químicas, processos geológicos e funções biológicas. Essa técnica alternativa envolve o conceito de energia, que aparece em várias formas e tipos. Energia: grandeza escalar associada a um estado de um ou mais corpos. Essa definição é muito vaga e para chegar a algum lugar vamos nos concentrar inicialmente em uma forma apenas de energia.

4 Energia Cinética Relação entre forças agindo sobre um corpo e a energia cinética: ) A abordagem a partir do conceito de energia representa um bom atalho para resolução de problemas, ) A idéia de energia revelar-se-á de fato fundamental na Física. Problema D: corpo sob ação de uma força resultante constante: F m F a v v aδ Δ m 0 FΔ mv mv Se um objeto está sujeito a uma força resultante constante, esta está relacionada com a variação de velocidade. 0

5 Energia cinética A energia cinética não pode assumir valores negativos e é uma grandeza escalar. K mv O trabalho também é uma grandeza escalar e pode assumir valores negativos Unidades: ΔK k f k i mv mv 0

6 K,0.0 8 J

7 Trabalho mecânico & produto escalar: Trabalho: "É o produto da força ou componente da força na direção do deslocamento, pelo deslocamento". Epressão: W F. d cosθ Observe que o trabalho é uma grandeza escalar porque é decorrente do produto escalar de duas grandezas vetoriais F e d. W F.d cosθ W + ou -

8 Trabalho mecânico & produto escalar: W F.d cosθ W N ou W P F.d cos90º 0 Quando um corpo é deslocado horizontalmente sobre uma mesa plana, a força normal n e a força peso mg não realizam trabalho, θ 90º.

9 Trabalho Mecânico Trabalho realizado pelo guindaste ao erguer a escultura: m 000kg W 000 g,5 J Δy, 5m W 3,0 0 4 J Instalação de uma escultura de Henry Moore Para manter a escultura erguida o guindaste não realiza trabalho

10 Trabalho Mecânico Eemplo: Para empurrar um caiote de 5,0 kg, numa rampa que faz um ângulo de 5º, conforme figura abaio, um operário eerce uma força de 09 N paralela a rampa. Se o caiote se desloca de,5 m. (despreze o atrito entre o caiote e a rampa) Determine: a) O trabalho realizado pelo operário. b) O trabalho realizado pelo peso do caiote durante este deslocamento? Δy, 5m c) O trabalho eecutado pela força normal. d) O trabalho total eecutado sobre o caiote? 5º

11 Teorema Trabalho - Energia Cinética O trabalho da força resultante é dado por: W Fres FΔ FΔ W Fres mv mv 0 ΔK O trabalho realizado pela resultante das forças F R para deslocar um corpo de um ponto A a um ponto B, é a diferença de energia cinética do corpo nos pontos B e A.

12 Demonstração do teorema Trabalho Energia cinética Em dimensão: F F() ma f f dv X W F()d m d i i dt W FR v m v f i vdv ( ) v ΔK m v f i

13 Teorema Trabalho - Energia Cinética Modelo para resolver o problema: N F f a mg Δ Trabalho realizado pelo cão: W c FΔ Trabalho realizado pela força de atrito: W atr f Δ μ mgδ atr c

14 continuação do mesmo eemplo: Se o carrinho se desloca com velocidade constante: ΔK 0 Consistente com o fato de que o trabalho total ser nulo: W + W c atr 0 A força resultante é nula: F F + f a 0

15 Δ Δ y F W K K K res i f F mg < Δ < < > Δ K W F y > Δ > < < Δ K W F y Eemplo para o trabalho da força peso F -mg Teorema Trabalho - Energia Cinética Δ Δ F W K K K res i f

16 Teorema Trabalho - Energia Cinética Força peso: cálculo do trabalho de uma força constante em dimensão m 0, kg W y y f i m ( g) dy mg y y ) W 00J ( f i

17 Trabalho em ou 3 dimensões (eemplo para uma força constante) Trabalho devido a uma força F em mais de uma dimensão: W r F r Δ FΔr cosθ F θ Δr

18 Trabalho Realizado por força variável Eemplo: Uma força F varia co conforme a figura abaio. Calcular o trabalho feito pela força sobre o corpo que se desloca, sob a sua ação, de 0 até 6 m. W área no gráfico F() versus

19 Trabalho Realizado por força variável Uma força F varia co conforme a figura abaio. Calcular o trabalho feito pela força sobre o corpo que se desloca, sob a sua ação, de 0 até 6 m.

20 Trabalho Realizado por força variável Em dimensão F():

21 Eemplo: Trabalho Realizado por força variável O gráfico a seguir é uma reta e representa a variação da força resultante que atua em um corpo de, kg em função do deslocamento. Sabe-se que a velocidade na posição m é de 4 m/s. Qual é a velocidade do corpo na posição 4 m?

22 Eemplo: Trabalho Realizado por força variável m, kg, m v 4 m/s. Qual é a velocidade do corpo em 4 m? F k Δ 4 8 4

23 Trabalho Realizado por força variável m, kg, m v 4 m/s. Qual é a velocidade do corpo em 4 m? J 4 J W J Δ K 4

24 Trabalho Realizado por força variável F Δ A área sob a curva entre os pontos i e f, será dada pela soma das áreas dos retângulos.

25 Trabalho Realizado por força variável A área sob a curva entre os pontos e, será dada pela soma das áreas dos retângulos. FΔ

26 Conceito de integral W limδ FΔ f i F() d A área sob a curva entre os pontos i e f, será dada pela soma das áreas dos retângulos. Quando o número de retângulos é muito grande, a soma passa à integral, no limite que o intervalo Δ, se torna um infinitésimo. A área sob a curva, é a integral da função nos limites considerados.

27 Trabalho Realizado por força variável F() W limδ 0 FΔ f i F() d F() i f W f F() d i i f A área sob a curva entre os pontos i e f, será dada pela soma das áreas dos retângulos. Quando o número de retângulos é muito grande, a soma passa à integral, no limite que o intervalo Δ, se torna um infinitésimo. A área sob a curva, é a integral da função nos limites considerados.

28 Trabalho Realizado por força variável W lim Δ 0 f i F Δ n n+ d n + d + + f i F() d 3 3

29 Trabalho Realizado por força variável n n+ d n+ d n 4 ( )d Integral indefinida

30 Limites da integração f i n n+ d n+ 3 0,5 d ,5 3 0,5 4,5 0,5 4,375 Limite Final 3 d Limite inicial Substituir o limite superior menos limite inferior , 4,8 Integral definida

31 Trabalho Realizado por força variável Eemplo: A única força atuante em um corpo de,0 kg enquanto ele se move ao longo do sentido positivo do eio é dada por F() ( + 3 ) N, onde está em metros e F() em newtons a velocidade do corpo em,0 m é de 6 m/s. a) qual o trabalho realizado por esta força durante o deslocamento entre m e 4 m? b) qual a velocidade do corpo em 4,0 m?

32 Limites da integração m,0 kg, F() ( + 3 ) N, em,0 m é de 6 m/s. a) qual o trabalho realizado por esta força durante o deslocamento entre m e 4 m? ( + 3 )d ( + 3 ) d J Substituir o limite superior 4 menos limite inferior.

33 Trabalho Realizado por força variável b) qual a velocidade do corpo em 4,0 m? F() ( + 3 ) N,,0 m 4 m W 68 J W ( ) v ΔK m v f i W Kf Ki >>>>>>>>> v 0, m/s

34 Forças que variam com a posição: Eemplo a ser estudado: trabalho da força elástica: F k Força para esticar uma mola Força restauradora da mola F s

35 Trabalho realizado pela força da mola F W mola f i F( ) d i f f k d i k( f i ) Se i < f W < 0 O trabalho sobre a mola pelo agente eterno é o valor obtido acima com sinal trocado

36 Eemplo: Um corpo de 4 kg está pousado numa mesa sem atrito e preso a uma mola horizontal que eerce uma força dada pela lei de Hooke F - k, com k 400 N/m e em metros medidos a partir da posição de equilíbrio da mola. Originalmente, a mola está comprimida com o corpo em - 5 cm. Calcular o trabalho feito pela mola sobe o corpo no deslocamento - 5 cm até a posição de equilíbrio 0 e a velocidade do corpo em 0.

37 m 4 kg, k 400 N/m - 5 cm. - 5 cm até a posição de equilíbrio 0 e a velocidade em 0. W mola F()d k f i f i d k( f i )

38 m 4 kg, k 400 N/m - 5 cm. - 5 cm até a posição de equilíbrio 0 e a velocidade em 0.

39 m 4 kg, k 400 N/m - 5 cm. - 5 cm até a posição de equilíbrio 0 e a velocidade em 0.

40 Ausência de trabalho no movimento circular uniforme v r r r dw F ds 0 c F r ds r c Pelo teorema trabalho energia cinética: r v cte. W ΔK 0

41 Forças que variam tanto de módulo quanto de direção Trabalho dw f de uma força F agindo ao longo de um deslocamento infinitesimal

42 Forças que variam tanto de módulo quanto de direção Trabalho dw f de uma força F agindo ao longo de um deslocamento infinitesimal

43 Eemplo: r r ˆ i 3ˆ i + 3 ˆj + 0 ˆj r F 3 iˆ + 4 ˆj V aumenta ou diminui? W < 0 ΔK < 0 V diminui