Física Geral I - F 128 Aula 7 Energia Cinética e Trabalho. 2 o semestre, 2011

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1 Física Geral I - F 18 Aula 7 Energia Cinética e Trabalho o semestre, 011

2 Energia As leis de Newton permitem analisar vários movimentos. Essa análise pode ser bastante complea, necessitando de detalhes do movimento que são inacessíveis. Eemplo: qual é a velocidade final de um carrinho na chegada de um percurso de montanha russa? Despreze a resistência do ar e o atrito, e resolva o problema usando as leis de Newton. v = i 0 v = f?

3 Energia Vamos aprender uma técnica muitas vezes mais poderosa (e mais simples) para analisar o movimento. Essa maneira acabou sendo estendida a outras situações, tais como reações químicas, processos geológicos e funções biológicas. Essa técnica alternativa envolve o conceito de energia, que aparece em várias formas. O termo energia é tão amplo que é difícil pensar em uma definição concisa. Tecnicamente, a energia é uma grandeza escalar associada a um estado de um ou mais corpos (sistema). Entretanto, esta definição é ecessivamente vaga para ser útil num conteto inicial. Devemos nos restringir a determinadas formas de energia, como a manifestada pelo movimento de um corpo, pela sua posição em relação a outros, pela sua deformação, etc. 3

4 Energia Energia é um conceito que vai além da mecânica de Newton e permanece útil também na mecânica quântica, relatividade, eletromagnetismo, etc. A conservação da energia total de um sistema isolado é uma lei fundamental da natureza. 4

5 Energia Importância do conceito de energia: Processos geológicos Balanço energético no planeta Terra Reações químicas Funções biológicas (maquinas nanoscópicas) ADP ATP ATP ADP Balanço energético no corpo humano ( energia armazenada) ( energia liberada) 5

6 Energia cinética e trabalho A energia cinética K é a energia associada ao estado de movimento de um objeto. A energia cinética K de um objeto de massa m, movendo-se com velocidade v (muito menor que a velocidade da luz) é: A unidade de energia cinética no SI é o joule (J): K 1 = mv 1 joule = 1 J = 1 kg.m.s - Quando se aumenta a velocidade de um objeto aplicando-se a ele uma força, sua energia cinética aumenta. Nessa situação, dizemos que um trabalho é realizado pela força que age sobre o objeto. Realizar trabalho, portanto, é um ato de transferir energia. Assim, o trabalho tem a mesma unidade que a energia e é uma grandeza escalar. 6

7 Energia cinética e trabalho Veremos a relação entre forças agindo sobre um corpo e sua energia cinética. Problema 1-D: um corpo de massa m desloca-se na direção- sob ação de uma força resultante constante que faz um ângulo θ com este eio. Da segunda lei de Newton a aceleração na direção- é: a = F m Então: 1 v mv v 0 1 F = a d = m mv 0 = F d O lado esquerdo representa a variação da energia cinética do corpo e o lado direito é o trabalho, W, realizado pela força para mover o corpo por uma distância d: (o produto escalar vem W = F d = F d do fato que F = F cosθ) Se um objeto está sujeito a uma força resultante constante, a velocidade varia conforme a equação acima após percorrer uma distância d. d v 0 m θ d F v F18 1o Semestre de 01 7

8 Trabalho de força constante: força gravitacional v Se o corpo se eleva de uma altura d, então o trabalho realizado pela força peso é: v o W =mgd cosθ= mgd cos = mgd F g Fg d O sinal negativo indica que a força gravitacional retira a energia mgd da energia cinética do objeto durante a subida. Agora, qual é o trabalho realizado pela força peso sobre um corpo de 10, kg que cai 1,0 metro? Neste caso, qual é a velocidade final do corpo, se ele parte do repouso? ΔK = 1 mv 1 f mv = 1 i mv = W f W =mgd =10, 9,8 1, J v f = W m = 00 10, = 4,4 m/s ( O mesmo resultado, obviamente, poderia ter sido obtido diretamente da equação de Torricelli). 8

9 Trabalho de forças constantes Modelo para resolver o problema: f at N F mg Δ Trabalho realizado pelos carregadores: W c = FΔ Trabalho realizado pela força de atrito: W a = f a Δcosπ = f a Δ Se o carrinho se desloca com velocidade constante: ΔK=0 E a força resultante é nula, pois não há aceleração: Fi i = F + f a Isto é consistente com o fato de que o trabalho total ser nulo: W c +W a = 0. (O trabalho da força peso e normal são nulos, pois o deslocamento é perpendicular a estas forças!) 9

10 Trabalho e energia cinética em D ou 3D (Força resultante Se uma força resultante F constante com 3 componentes) constante provoca um deslocamento Δs numa partícula de massa m, o trabalho de é: Para cada componente: F W = F Δ s 1 1 F Δ = mv mv 0 Então: 1 1 F Δ y= mv mv y y 0 y 1 1 FΔ z = mv mv z z 0z W = F Δs = F Δ + F y Δy + F z Δz= 1 m(v +v y + v z ) 1 m(v +v 0 0 y + v 0z ) Ou seja: W = 1 mv 1 mv 0 10

11 Trabalho de uma força variável (1-D) Seja F = F() a força resultante que atua sobre uma partícula de massa m. Dividimos o intervalo ( - 1 ) em um número muito grande de pequenos intervalos Δ i. Então: W = i F i Δ i No limite, fazendo Δ i à 0 Δ i à 0 W = F( ) d 1 (O trabalho é a área sob a curva de força em função da posição!) F18 1 o Semestre de 01 11

12 Energia cinética e trabalho Substituindo a força pela segunda lei Newton teremos: f W = F()d = m dv d = m dv d dt = m v dv dt i f = 1 m v ( v f i )= ΔK Ou seja: i f (v f ) i (v i ) W = 1 m v ( v f i )= ΔK v f v i Este é o teorema do trabalho-energia cinética: W = área = ΔK O trabalho da força resultante que atua sobre uma partícula entre as posições 1 e é igual à variação da energia cinética da partícula entre estas posições. F18 1 o Semestre de 01 1

13 Trabalho realizado por uma força elástica F() = k F() i f Força da mola: F() = k W mola = f i F()d F f 1 ( mola = = f i ) W k d k i Se o trabalho sobre a mola (massa) for realizado por um agente eterno, seu valor é o obtido acima, porém com sinal trocado. (mola sendo esticada) Se i < f à W < 0 13

14 Teorema do trabalho-energia cinética: força variável Uma massa m atinge uma mola não distendida com velocidade v 0. Qual é a distância que a massa percorre até parar? k O trabalho da força da mola até a massa parar é: 1 ( ) 1 W = k = k f i f 1 1 Δ K = m v v = mv A variação da energia cinética será: ( ) f i Portanto, Δ v 0 m (pois i = 0) 0 ΔK = W k f = mv 0 f = m k v 0 Δ = m k v 0 14

15 Trabalho de uma força variável: 3D O trabalho infinitesimal dw de uma força F um deslocamento infinitesimal ds é: F F F ds ds Se θ ( ) ds F F = F i + F e (Trajetória C) (em cada instante devemos calcular dw = Fds cosθ) y ˆ+ j F = F Fy = Fy ( y) ; ; z F kˆ z = F z (z) agindo em uma partícula ao longo de W = dw = F ds Portanto o trabalho total, W, será a soma de todos estes trabalhos infinitesimais, dw, ao longo da trajetória descrita pela partícula. Esta soma leva uma nome e uma símbolo especial; é a Integral de Linha dw = F ds= C W= f C C Fds cosθ F d + Fy dy + i y y f i z z f i F z dz 15

16 Eemplo: Movimento circular uniforme v Ausência de trabalho no movimento circular uniforme ds F c A força centrípeta não realiza trabalho: dw = F c d s = 0, pois ds F c Ou, pelo teorema do trabalho-energia cinética: Δ K = W = 0 F c v =cte A força altera apenas a direção do vetor velocidade, mantendo o seu módulo inalterado. 16

17 Potência Até agora não nos perguntamos sobre quão rapidamente é realizado um trabalho! A potência P é a razão (taa) de realização do trabalho por unidade de tempo: P = dw dt Considerando o trabalho em mais de uma dimensão: P = dw dt = F dr dt O segundo termo é a velocidade. Então: P = F v Unidade SI: J/s = watt (W) dw = F dr 17

18 Trabalho e potência 100 m rasos Maratona P. A. Willems et al, The Journal of Eperimental Biology 198, 379 (1995) 100 m rasos Maratona (4.14 m) Trabalho realizado sobre o corredor:,1 104 J Trabalho realizado sobre maratonista: 5,9 106J Potência:,1 104 J P100 = = 100 W 10 s Potência: F18 1o Semestre de 01 5,9 106 J P100 = = 816 W s 18

19 Um pouco de história definição da unidade cavalo-vapor: 1 cv = 550 lb.ft/s 1 cv = 746 W James Watt v = 1,0 m/s m ~ 76 kg Esquema de máquina a vapor de James Watt (1788) F18 1o Semestre de 01 Unidade de potência criada por Watt para fazer o marketing de sua máquina em uma sociedade fortemente dependente do (e acostumada ao) trabalho realizado por cavalos. 1a motivação: retirada da água das minas de carvão. 19

20 Energia cinética relativística: curiosidade (energia cinética relativística) 1 K = m 0 c 1 v c 1 K/mc relativística No limite para v << c : clássica K = 1 m 0 v v/c (energia cinética clássica) F18 1 o Semestre de 01 0