Introdução à energia Exemplo

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1 Trabalho e Energia

2 Introdução à energia As leis de Newton permitem analisar vários movimentos. Essa análise pode ser bastante complexa, necessitando de detalhes do movimento que são inacessíveis. Exemplo: qual é a velocidade final de um carrinho na chegada de um percurso de montanha russa? Despreze a resistência do ar e o atrito, e resolva o problema usando as leis de Newton.

3 Aos poucos cientistas e engenheiros desenvolveram uma técnica muitas vezes mais poderosa para analisar o movimento. Essa maneira acabou sendo estendida a outras situações, tais como: reações químicas, processos geológicos e funções biológicas. Essa técnica alternativa envolve o conceito de energia, que aparece em várias formas e tipos. Energia: grandeza escalar associada a um estado de um ou mais corpos. Essa definição é muito vaga e para chegar a algum lugar vamos nos concentrar inicialmente em uma forma apenas de energia. Devemos nos restringir a determinadas formas de energia, como a manifestada pelo movimento de um corpo, pela sua posição em relação a outros, pela sua deformação, etc.

4 Energia é um conceito que vai além da mecânica de Newton e permanece útil também na mecânica quântica, relatividade, eletromagnetismo, etc. A conservação da energia total de um sistema isolado é uma lei fundamental da natureza.

5 Energia Cinética Essa forma de energia está associada ao estado de movimento de um objeto. Quanto maior sua velocidade, maior sua energia cinética K. A forma correta de se atribuir um escalar (energia) a um objeto de massa m e velocidade v é: K = ½ m v 2 Veremos que com essa escolha, é possível fazer previsões físicas em acordo com as Leis de Newton. UNIDADES: no SI, 1 kg. (m 2 /s 2 ) = 1 J, J=Joule.

6 Trabalho A energia transferida para um objeto, ou retirada dele, pela atuação de uma força, é chamada trabalho. Consideremos um corpo de massa m que se desloca na direção x sob ação de uma força resultante constante que faz um ângulo θ com este eixo. O trabalho realizado pela força F é definido como: ão-x é:" F v 0 m! θ d v x! OBSERVAÇÃO: Se um objeto está sujeito a uma força resultante constante, a velocidade varia após percorrer uma distância d.

7 Da definição é fácil ver que: o Uma força não executa trabalho sobre um sistema se o ponto de aplicação da força não se mover. o O trabalho realizado por uma força num objeto se movendo é zero quando a força aplicada for perpendicular ao deslocamento do ponto de aplicação.

8 Exemplo Um corpo se desloca uma distância Δr sob a ação das forças indicadas na figura. Quais forças realizam trabalho? o o A força normal, n, e a força gravitacional, mg, não executam trabalho no objeto, pois cos(θ) = cos 90 = 0 A força F executa trabalho no objeto: W = F Δr cosθ

9 Mais sobre Trabalho O sinal do trabalho depende da direção de F relativa ao Δr: Trabalho é positivo quando a projeção de F em Δr estiver na mesma direção do deslocamento. Trabalho é negativo quando a projeção de F em Δr estiver na direção oposta. Trabalho é uma quantidade escalar. A unidade de trabalho é o Joule (J). 1 Joule = 1 Newton. 1 metro

10 Exemplo 1 - Força constante: Um faxineiro está puxando um aspirador de pó pela mangueira a 30 o com a horizontal fazendo uma força de 50 N. Calcule o trabalho realizado pelo homem sobre o aspirador após puxá-lo por uma distância de 3 m.! θ = 30 # " F = 50 N # $ d = 3 m W = Fd cosθ q F r d r W = 50 3 cos30 W =130 J

11 Exemplo 2 - Força constante: Um objeto movendo-se no plano xy realiza um deslocamento d = (2,0 i + 3,0 j) m submetido a uma força constante F = (5,0 i + 2,0 j) N. Calcule: a) O trabalho realizado sobre o objeto. b) O comprimento do deslocamento. c) A intensidade da força. d) O ângulo entre a força e o deslocamento. a)! W = F d = W =16 J b)! d = = 13 m c)! F = = 29 N d)! F d = Fd cosθ F d cosθ = Fd = = 0,824 θ = cos 1 0,824 ( ) = 34, 5 o

12 Trabalho da Força Gravitacional Consideremos o movimento vertical de um objeto sob a ação da força de gravidade

13 Como a força gravitacional é constante (mg), a aplicação de W=F d para o movimento vertical resulta em: W = mgd cos 180 = mgd (subindo) W = mgd cos 0 = +mgd (descendo) Para um lançamento qualquer, o trabalho realizado pela força gravitacional é: W = mgd cos φ = mg(y f y i ) onde φ é o ângulo entre o vetor d e o vetor mg.

14 Trabalho de uma força variável Seja um corpo se movimentando na direção x sob a ação de uma força F também na direção x. Vamos considerar que F varia com a posição: F = F(x) Dividimos o intervalo (x 2 x 1 ) em um número muito grande de pequenos intervalos Δx i. Em cada intervalo a força é aproximadamente constante, logo, o trabalho em cada intervalo é simplesmente ΔW i = F i. Δx i. O trabalho total o intervalo (x 2 x 1 ) é aproximadamente: O trabalho total, escrito dessa forma, representa aproximadamente a área sob a curva F(x) versus x.

15 No limite em que Δx i temos: W = lim xi!0 X i F i (x) x i Z x2 x 1 F (x)dx Agora, o trabalho total representa exatamente a área sob a curva F(x) versus x.

16 Integração: a noção de primitiva A integração pode ser vista como a operação inversa da derivação. Isto é, dada a função f(x), queremos determinar outra função W(x), cuja derivada é igual à função dada : W (x) = f(x) A função W(x) obtida com tal procedimento é denominada primitiva de f(x). EXEMPLO: Consideremos f(x) = sen(x). Desejamos encontrar um outra função W(x), tal que, W (x) = sen(x). Esta função procurada é W(x)= -cos x, pois W (x) = sen x. A função G(x)=-cos x + 5 também tem sua derivada igual a f(x); logo também ela é uma primitiva de f(x). Portanto, uma função qualquer admite mais de uma primitiva. Se duas funções são primitivas da função f(x), então, a diferença entre elas é uma constante.

17 Integral indefinida Denomina-se Integral indefinida de uma função f(x) à operação de determinação da expressão da primitiva dessa função, F(x)+C; esta operação é simbolicamente representada por f (x)dx Portanto, da definição, teremos f (x)dx = W (x)+ C onde W '(x) = f (x)

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19 Integral definida A integral definida de uma função f(x) entre x=a e x=b é denotada como b a f (x)dx O resultado da integral definida é um número que pode ser calculado pela fórmula b a f (x)dx = W (b) W (a) = W (x) a b

20 EXEMPLOS b a kx dx = 1 2 kx2 b = 1 a 2 k # $ b2 a 2 % & π 0 2senx dx = 2cox π 0 = 2" # cosπ cos0$ % = 4 2π 0 2senx dx = 2cox 2π 0 = 2" # cos2π cos0$ % = 0 2 e x dx = e x 2 = e 2 e 0 = e b x n dx = 1 n +1 xn+1 a b = 1! a n +1 " bn+1 a n+1 # $ (n 1) Fim do curso acelerado de cálculo integral!

21 Exemplo: Força elástica (mola) A força exercida por uma mola em função de sua elongação é dada pela Lei de Hooke x = 0 F x = 0 0 Block attached to spring x F = k x o quando x é positivo (mola é esticada), F é negativa. x positive F x negative (a) F s 0 d x x o quando x = 0 (na posição de equilíbrio), F = 0. o quando x é negativo (mola é comprimida), F é positiva. d x (b) 0 F s x negative F x positive x (c)

22 o A força exercida pela mola é sempre direcionada em direção oposta ao deslocamento a partir do equilíbrio. o A força elástica é chamada de força restauradora, pois sempre tenta levar o corpo para a sua posição de equilíbrio. o Se o bloco é solto da posição x ele oscilará para frente e para trás entre x e x.

23 O trabalho realizado pela mola sobre um objeto preso a ela será: W = x f x i F(x) dx W = x f kx dx x f = 1 2 kx2 x i x i W = 1 2 kx 2 i 1 2 kx 2 f

24 Aplicação: medindo a constante elástica (k) Ao pendurarmos em uma mola um objeto de massa de 0,55 kg, ela sofre uma deformação de 2 cm. Determinar: a) A constante elástica da mola. b) O trabalho realizado pela mola sobre o objeto. a)! F R = F! H + P! = 0 F! H = P!! #% F H = kx î $! kx = mg &% P = mg î b) W = 1 2 kx 2 i 1 2 kx 2 f x i = 0 W = 1 2 kx 2 f k = mg x = 0,55 9, k = 2, N / m W = 1 2 2,7 102 ( ) 2 W = 5, J

25 Teorema do Trabalho e da Energia cinética Seja F a força resultante que atua sobre um corpo de massa m. F = ma = m dv dt x f F dx = m dv dt dx x i x f x i Lembrando que W = x f F dx é o trabalho realizado pela força F temos: x i W = x f m dv dt dx = m dvdx = m dx dt dt dv x i x f x i v f v i Mas, v = dx dt logo W = v f v i mv dv Integrando a expressão anterior, temos: v f W = m v2 = mv 2 f 2 vi 2 mv 2 i 2 = ΔK

26 TEOREMA DO TRABALHO E DA ENERGIA CINÉTICA: O trabalho total realizado sobre um corpo é igual à variação de sua Energia Cinética W = ΔK

27 Energia cinética: exemplo Um bloco de 6,0 kg é empurrado por 3 metros por uma força de 12 N, a partir do repouso, sobre uma superfície horizontal com coeficiente de atrito cinético igual a 0,15. Determinar: a) A velocidade final do bloco. b) O trabalho realizado pela força que o empurra. c) O trabalho realizado pela força de atrito. d) O trabalho total realizado sobre o bloco. e) A variação da energia cinética do bloco. a)!! F R =! F +! f k +! F g +! n ma = F µ k mg a = F m µ k g b)! c)! W F = Fd =12 3 W F = 36J W A = F A d = µ k mgd = 0,15 6, 0 9,8 3 W A = 26, 5J a =12 6 0,15 9,8 = 0,53 d)! W = W F +W A = 36 26, 5 v f 2 v i 2 = 2a(x f x i ) v f = 2 0,53 3 v f =1,8 m/s e)! W = 9, 5J ΔK = K f K i = mv f 2 ΔK = 9, 5J 2 = 6 1,82 2

28 Uma caixa de massa 10 kg é puxada para cima por 5 m em uma rampa com 20 de inclinação a uma velocidade inicial de 1,5 m/s. A força aplicada na direção do movimento é de 100 N e o coeficiente de atrito cinético é 0,4. a) Qual o trabalho realizado pela força da gravidade? b) Quanta energia é perdida devido ao atrito? c) Qual o trabalho realizado pela força aplicada? d) Qual a variação da energia cinética da caixa? e) Qual a velocidade final da caixa? a)! b)! c)! Trabalho com força constante: exemplo W P = Pd cosθ P d = mgd cos(θ + 90) = mgd sinθ = 10 9,8 5 sin 20 = 168J W A = F A d = µ k mgcosθd = 0, ,8 cos20 5 = 184 J W F = Fd = 500 J d)! e)! W = ΔK r F A r N W = W P +W A +W F ΔK =148 J ΔK = 1 2 mv 2 f 1 2 mv i2 v f = v i 2 + 2ΔK m v f = 1, v f = 5, 6 m/s q r P r v r F 5 m

29 Sistema massa-mola: exemplo Um bloco de massa 1,6 kg em uma superfície horizontal está preso a uma mola com coeficiente elástico de 1000 N/m. A mola é comprimida por 2,0 cm e o bloco é então solto. a) Calcule a velocidade do bloco no instante em que ele passa pelo ponto de equilíbrio, considerando a superfície sem atrito. b) Calcule essa mesma velocidade considerando um coeficiente de atrito cinético seja igual a 0,26. a)! W = ΔK W = 1 2 kx i kx f 2 ΔK = 1 2 mv f mv i kx 2 i = 1 2 mv 2 f v f = x k m v f = 0, 50m / s = 0, , 6 b)! W = ΔK W = W mola +W atrito W atrito = F A d (d = x f x i ) F A = µ k mg W = 1 2 kx i2 µ k mgd 1 2 kx i 2 µ k mgd = 1 2 mv f kx i 2 µ k mgd = 1 2 mv f 2 v f = kx i 2 v f = m 2µ kgd , , 6 2 0, 26 9,8 0, 02 v = 0,38m / s

30 Potência Até agora não nos perguntamos sobre quão rapidamente é realizado um trabalho! A potência P é a razão (taxa) de realização do trabalho por unidade de tempo:!! P = dw dt Em um dado intervalo de tempo, a Potência Média será: P = ΔW Δt A Potência instantânea aplicada sobre um corpo pode ser escrita como: dw =! F d! x P =! F d! x dt P =! F! v

31 Unidades de potência A unidade de potência no SI é denominada Watt 1 watt = 1 joule / segundo = 1 kg. m 2 / s 2 A unidade de potência no sistema britânico é o cavalo-vapor (horse power ou hp) 1 hp = 746 W Unidades de potência também podem ser usadas para expressar unidades de trabalho ou energia 1 kwh = (1000 W)(3600 s) = 3.6 x10 6 J

32 Potência: exemplo Um elevador com massa de 1000 kg está carregando pessoas com massa total de 800 kg. Uma força de atrito constante igual a 4000 N retarda o movimento do elevador. a) Qual deve ser a potência mínima do motor para subir o elevador a uma velocidade constante de 3 m/s? b) Quanta potência o motor dever fornecer para que, a uma dada velocidade de subida igual a v, o elevador seja acelerado para cima a 1 m/s 2?! F R = T! + F! P + F! a)! A b)! ( m e + m p )a = T ( m e + m p )g F A 0 = T ( m e + m ) p g F A ( ) g + F A T = m e + m p P = Tv = "( m e + m ) p g + F $ # A % v P = ( 1, , ) 3 P = 6, W ( ) a + g "( m e + m p ) a + g T = m e + m p P = # ( ) + F A ( ) + F A $ % v P = " # 1, , $ % v P = 2, v