5/Mar/2018 Aula Movimento em referenciais Movimento circular uniforme acelerados Velocidade angular. 5.1 Movimento circular

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1 5/Mar/2018 Aula Movimento circular 5.2 Movimento em referenciais Movimento circular uniforme acelerados Velocidade angular Força de inércia Força e aceleração centrípetas Peso aparente Aceleração tangencial Força centrífuga Coordenadas radial e tangencial 7/Mar/2018 Aula 6 6. Trabalho e energia cinética 6.1 Trabalho de uma força 6.2 Trabalho de várias forças 6.3 Lei do trabalho-energia cinética 6.4 Molas Lei de Hooke Trabalho 6.5 Potência 1

2 Aula anterior Movimento circular uniforme Trajetória circular. O vetor velocidade tem sempre o mesmo módulo, mas a sua direção muda constantemente. Para que o vetor velocidade mude, é necessário que exista uma aceleração. Movimento curvo Simulação Posição : Rapidez : r = constante v = constante O período T é o intervalo de tempo necessário para que a partícula efetue uma rotação completa. v = 1 circunferência 1 período = 2πr T 2

3 Aula anterior Força e aceleração centrípeta Para que um objeto se mova com velocidade constante ao longo de uma circunferência, é preciso que exista uma força a agir sobre ele. Se não, moverse-ia ao longo de uma linha reta. Movimento circular Simulação A força (e a aceleração) apontam para o centro da circunferência a média = v 2 v 1 Δt a = v2 r lim θ 0 = 2vsenθ 2rθ / v ŷ = v2 r senθ ŷ = v2 θ r ŷ senθ ŷ θ f c = ma c = m v2 r = mω2 r 3

4 5.1.4 Aceleração tangencial Se o módulo da velocidade não for constante, existe uma aceleração no sentido do movimento. Nesse caso, trata-se de uma aceleração tangencial (tangente à trajetória). A aceleração total será a soma vetorial das duas acelerações. Centrípeta v 1 Tangencial v 4 Tangencial Componentes centrípeta e tangencial Velocidade tangencial: v t = 2πr T 4

5 5.1.5 Coordenadas radial e tangencial O eixo r (radial) é definido do centro de rotação para a posição da partícula. O eixo t (tangencial) é a tangente à circunferência, no sentido anti-horário. O eixo z (axial) é a a perpendicular ao plano de rotação. O vetor A pode ser escrito nas Componentes radial e tangencial animação componentes radial e tangencial: A r = Acosφ; A t = Asenφ 5

6 5.2.1 Força de inércia Num referencial acelerado, a 2ª lei de Newton não é válida. F i = ma m Neste exemplo, o bloco de massa M adquire uma aceleração a para a direita, devido à força F. Como os blocos estão em contacto, o bloco de massa m sofre uma força de inércia F i, para a esquerda. M a F i = ma A força de inércia que m sofre é igual ao produto da sua massa pela aceleração do referencial acelerado. Tem sempre o sentido contrário ao do movimento do referencial, como num par ação-reação. 5

7 5.2.2 Peso aparente Dentro do elevador, de massa M, há um peixe de massa m. Quando o elevador se deslocar com velocidade constante, o peixe tem peso mg e não sofre força de inércia. F i = ma Quando o elevador subir, com aceleração a, o peixe tem peso mg e sofre uma força de inércia F i = ma. A força lida na balança é F = mg + ma. Quando o elevador descer, com aceleração a, o peixe tem peso mg e sofre uma força de inércia F i = ma. A força lida na balança é F = mg - ma. 5

8 5.2.3 Força centrífuga No referencial do passageiro (figura b), uma força aparente empurra-o para a porta do automóvel. No referencial da Terra (figura c), o carro exerce uma força sobre o passageiro, para a esquerda, para que este acompanhe o movimento do carro. A força dirigida para a direita é uma força fictícia, a que se dá o nome de força centrífuga, e é devida à aceleração centrípeta associada à mudança de direção do carro. Na prática, as forças de atrito são suficientes para que o passageiro se mova solidariamente com o carro. 8

9 5.2.3 Força centrífuga O observador no referencial de inércia (a) vê a esfera a sofrer a ação de uma força horizontal: F x F y = T senθ = ma = T cosθ mg = 0 No referencial acelerado (b), o observador vê a esfera como uma partícula em equilíbrio: ' F x = T senθ F fictícia = ma ' F y = T cosθ mg = 0 As duas formulações são equivalentes se F fictícia = ma 9

10 6.1 Trabalho de uma força O trabalho de uma força é definido como o produto dessa força pelo deslocamento, quando forem paralelos. [ W ] = ML 2 T 2 W = J SI = Joule = N m d W = Newton metro = Joule, J d W = F d d 10

11 6.1 Trabalho de uma força Se o deslocamento e a força não forem paralelos, o trabalho é W = F d cosθ d d Uma força pode realizar trabalho positivo, negativo ou nulo, dependendo da orientação relativa entre o vetor força e o vetor deslocamento: W = F. d = F d cosθ W = F d = (F cosφ)d = F d cosφ 11

12 6.1 Trabalho de uma força Exemplo: uma pessoa levanta um objeto de massa m, desde o chão até à altura h. Qual é o trabalho realizado pela pessoa? W p = FΔy = mg h Se, em seguida, a pessoa deixar cair o objeto, qual é o trabalho realizado pela força gravítica? W g = FΔy = mg h Trabalho contra a força gravítica simulação 12

13 6.1 Trabalho de uma força Se a força for constante, pode-se interpretar graficamente o trabalho realizado como a área do retângulo W = F Δx. Se a força não for constante, é possível aproximá-la a uma sucessão de valores constantes. Nesse caso, Δ x d x dw = F.d x W 12 = x 2 F.d x x 1 13

14 6.2 Trabalho de várias forças Se houver mais do que uma força a atuar num objeto, o trabalho realizado pela força resultante é W total = F 1x Δx 1 + F 2x Δx 2 + F 3x Δx 3 + W total = F 1x Δx + F 2x Δx + F 3x Δx + = (F 1x + F 2x + F 3x +)Δx = F res x Δx Caso geral: várias forças aplicadas e deslocamento a 3 dimensões: W 12 = r 2 F res.d r = x 2 F res x.d x + y 2 F res y.d y + z 2 F res z.d z r 1 x 1 y 1 z 1 14

15 Exemplo Um camião é transportado para dentro de um navio por um guindaste. A massa do camião é 3000 kg e a força aplicada pelo guindaste é 31 kn. Esta força é suficiente para vencer a atração gravitacional (o peso ) e é aplicada para elevar o camião 2 m. Determine o trabalho realizado a) pelo guindaste sobre o camião; b) pela gravidade sobre o camião; c) sobre o camião. a) W guind-cam = F y Δy = (31 kn)(2 m) = 62 kj b) W grav-cam = mgδy = (3000 kg)(9,81 m/s 2 )( 2 m) = 58,9 kj c) W total =W guind-cam +W grav-cam = (62 kj) + ( 58,9 kj) = 3,1 kj 15

16 6.3 Lei do trabalho-energia cinética A partir de uma das equações do movimento, escrever v 2 = v aΔx, podemos À quantidade 2 v f = 2 vi + 2aΔx mv 2 f = 2 mvi + 2 ( ma )Δx mv f 2 = mvi 2 + 2FΔx = mvi 2 + 2W 1 2 mv f 2 = 1 2 mv i 2 +W 1 2 mv2 dá-se o nome de energia cinética. Então, W = 1 2 mv f mv i 2 = E cin f E cin i W = ΔE cin Lei do trabalho-energia cinética: o trabalho total realizado sobre um objeto é igual à variação da energia cinética desse objeto. 16

17 Exemplo A massa do Space Shuttle é 8x10 4 kg e o período da sua órbita (400 km acima do solo) é 90 min. O raio da Terra é cerca de 6400 km. Faça uma estimativa: a) da sua energia cinética; b) do trabalho realizado pela força gravítica entre o lançamento e a órbita. a) W grav = ΔE cin = E cin órbita E cin lançamento E cin lançamento = 0 W grav = E cin órbita v = 2πr T = E cin órbita = 1 2 m 2πr T 2 2π 2 ( kg) ( m m) 12 (90 min)(60 s/min) 2 2,5 10 J = 2,5 TJ 2 b) W grav = E cin órbita 2,5 TJ 17

18 6.4 Molas Se um material exercer uma força de restituição sobre um objeto, diz-se elástico. Essa força de restituição repõe o sistema na sua posição de equilíbrio. Exemplos: molas elásticos 18

19 6.4.1 Lei de Hooke Lei de Hooke: a força de restituição é proporcional ao simétrico do deslocamento: F = k Δ x Unidades da constante k da mola: N/m = kg/s 2. 19

20 6.4.1 Lei de Hooke A força de restituição opõe-se sempre à compressão ou extensão da mola. F = k Δ x Molas animação 20

21 6.4.2 Trabalho Trabalho realizado pela força de restituição de uma mola: F = k Δ x W mola = x 2 F x.d x = ( k x)dx x 1 x 2 = k 1 x 1 ( ) 2 x f 2 x i 2 Nota: trabalho realizado por uma força oposta à força de restituição: W SH = x 2 F x.d x = ( k x)dx x 1 x 2 = k 1 x 1 ( ) 2 x f 2 x i 2 21

22 Exemplo Um bloco de massa m = 4 kg está ligado a uma mola, com k = 400 N/m. Inicialmente, a mola é comprimida 5 cm. Despreze o atrito entre o bloco e o plano e determine: a) o trabalho realizado pela mola sobre o bloco, quando este se move da posição inicial x = x 1 = -5 cm para a posição de equilíbrio x = x 2 = 0 cm; b) a velocidade do bloco em x 2 = 0 cm. a) W mola = x 2 F x.d x = ( k x)dx x 1 x 2 x 1 = 1 x 2 k 2 x2 1 = 2 k x x 1 x 1 ( ) = 0,5 J b) W = 1 2 mv f mv i 2 v f 2 = vi 2 + 2W m v f = 2W m = 2(0,5 J) (4 kg) = 0,5 m/s 22

23 6.5 Potência A potência é uma medida da taxa a que é realizado o trabalho: P = ΔW Δt P = dw dt Unidades de P : J/s = Watt (W) Como W = F.Δ x = F. vδt P = F. v 23

24 Exemplo Um pequeno motor é usado para operar um elevador com 300 N de peso. Pretendese levantar uma carga de tijolos, com 500 N de peso, até à altura de 10 m. Isso é feito a velocidade constante e demora 20 s. Qual é a potência (aplicada) do motor? P = F. v P = F v = Fvcosφ = Fvcos( 0) = Fv P = (500 N N)(10 m/20 s) = 400 W 24