O Sistema Massa-Mola

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1 O Sistema Massa-Mola 1 O sistema massa mola, como vimos, é um exemplo de sistema oscilante que descreve um MHS. Como sabemos (aplicando a Segunda Lei de Newton) temos que F = ma Como sabemos, no caso massa-mola (e em todos os sistemas com MHS) F x = -Cx, onde C neste caso é k (constante de elasticidade da mola) portanto: ou Equação diferencial linear ordinária de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes. Se olhamos para a equação veremos que a solução tem que ser uma função do tipo seno ou co-seno, ou e ±ct ou outra função periódica! Escolhemos a mais simples:

2 O Sistema Massa-Mola 2 Como encontrar as constantes A, e? Substituindo a solução proposta x(t) na equação obtemos: A e podem ser obtidas a partir da posição inicial x o = A cos e da velocidade inicial v o = -A sen. k m

3 O Sistema Massa-Mola k m Observações Compliância = 1/k Do que depende k? M 0???? Combinação de molas em paralelo igual deformação e soma das forças portanto a constante da mola efetiva (resultante) será a soma das duas! E em série? Combinação de molas em série igual força e soma das deformações portanto a compliância da mola efetiva (resultante) será a soma das compliâncias das molas individuais! 3

4 Exercícios 1. Um oscilador é formado por um bloco preso a uma mola de constante k=400 N/m. Em um certo instante t a posição (medida a partir da posição de equilíbrio do sistema), a velocidade e a aceleração do bloco são: x = 0,100m, v = -13,6 m/s e a = -123 m/s 2. Calcule (a) a frequência linear de oscilação, (b) a massa do bloco e (c) a amplitude do movimento. 2 2 a 123 m/s (a) a x rad/s. x m Portanto, f = /2 = 5.58 Hz. k 400 N/m (b) = m 0.325kg. 2 m (35.07 rad/s) (c) 1 2 kx 2 m = 1 2 mv kx2 x m = m k v2 + x 2 x m 2 2 (0.325 kg / 400 N/m)(13.6 m/s) (0.100 m) 0.400m. 4

5 Exercícios 2. Na figura duas molas são ligadas entre si a um bloco de massa 0,245 kg que oscila em um piso sem atrito. As duas molas possuem uma constante elástica k = 6430 N/m. Qual é a frequência das oscilações? Precisamos encontrar a constante efetiva k ef da combinação de molas da figura. Para isso determinamos a magnitude F da força exercida sobre a massa m quando a elongação total é x. Nesse caso teremos que k ef = F/ x. Vamos supor que a mola da esquerda sofre uma elongação x e e a mola da direita uma elongação x d. Então a mola da esquerda exerce uma força k x e sobre a mola da direita e a mola da direita exerce uma força k x d sobre a mola da esquerda. Pela Terceira Lei de Newton as forças devem ser iguais! portanto x d = x e e x = 2 x e = 2 x d. A mola da esquerda exerce uma força sobre o bloco de magnitude F = k x e Então o k ef = k x e /2 x d = k/2 e a frequência será f = k eff m 2π = k 2m 2π 5

6 Exercícios f = 1 2π k eff m f = 1 2π k 2m Com m = 0,245 kg e k = 6430 N/m, a frequência será f = 18,2 Hz. Exercícios para casa (Halliday Volume 2; 8 ed.; cap. 15): (13) (23) (24) Perguntas: (7) (8) (9) 6

7 Fixação O Pêndulo de Torção Fio de suspensão Linha de referência O pêndulo de torção é um exemplo de sistema oscilante. Consiste de um disco com momento de inércia I suspenso por um fio. Quando o disco gira teremos um deslocamento angular a partir da posição de equilíbrio. A torção do fio armazena energia potencial produzindo o torque restaurador = -. Esta é a forma angular da Lei de Hooke. A constante é chamada constante de torção do fio. Podemos calcular o período T e a frequência angular da oscilação. Notemos que I é a inércia rotacional do disco em torno do eixo que coincide com o fio. O ângulo é dado pela equação: ( t) cos t m 7

8 Fixação Fio de suspensão Linha de referência O Pêndulo de Torção Vamos obter a equação diferencial e resolver ela. Como sabemos (aplicando a Segunda Lei de Newton para a rotação) temos que = I Neste caso = -, onde C neste caso é (constante de torção do fio) portanto: ou Como já vimos, a solução mais simples é: Se chamamos A= m teremos: Logo: Checar! 8

9 Pivô O Pêndulo Simples O pêndulo simples (matemático) consiste de uma massa m suspensa por uma corda inextensível de comprimento L. Se deslocamos a massa do seu equilíbrio, a força resultante atuando sobre ela é tal que o sistema vai descrever um MHS. Há duas forças atuando sobre m: a força gravitacional e a tensão da corda. O torque líquido destas forças é = -r F g = -Lmg sen Aqui é o ângulo entre a corda e o eixo vertical. Se <<1 em radianos! (digamos menor que 5º) podemos considerar: Sen Onde está expresso em radianos A partir desta aproximação o troque é = -Lmg Comparando esta expressão com a da força F = -Cx vemos que C = mgl e portanto podemos determinar T e da oscilação T 2 L g 9

10 O Pêndulo Simples Como em este caso a inércia rotacional I em torno do ponto de pivô indicado é igual a ml 2, então: No desenvolvimento das equações obtidas nos utilizamos a aproximação << 1 o que nos permitiu realizar a substituição sen. Vamos agora decidir o que é um ângulo pequeno, ou seja, até que valores do ângulo a aproximação é razoavelmente precisa? (graus) (radianos) sen 5 0,087 0, ,174 0, ,262 0,259 (1% erro) 20 0,349 0,342 (2% erro) Conclusão: se mantemos < 10 o erro será inferior a 1% 10

11 O Pêndulo Simples 11 Vamos agora obter a equação diferencial do movimento e resolver ela. Como vimos, o torque líquido sobre o pêndulo é = -r F g = -Lmg sen Aplicando a Segunda Lei de Newton para a rotação temos que = I Neste caso = -Lmg sen, onde C neste caso é Lmg portanto: Considerando ângulos pequenos teremos sen e como I = ml 2 : ou

12 O Pêndulo Simples Como já vimos, a solução mais simples é: Se chamamos A= m teremos: Logo: Checar! 12

13 O Pêndulo Físico O pêndulo físico é um corpo rígido suspenso de um ponto O que oscila sob a influência da gravidade. O torque líquido é = -mgh sen onde h é a distância entre o ponto O e o centro de massas C do corpo suspenso. Se utilizamos a aproximação do ângulo pequeno <<1 teremos = -mgh T 2 I mgh Novamente, comparando esta expressão com a equação da força F = -Cx vemos que C = mgh e portanto podemos determinar T e da oscilação Onde I é o momento de inércia respeito do eixo que passa pelo ponto O ( ao slide) e por um conhecido teorema: I O = I C + mh 2 13

14 O Pêndulo Físico OUTRA VEZ!!! vamos agora obter a equação diferencial do movimento e resolver ela. O torque líquido é = -mgh sen Aplicando a Segunda Lei de Newton para a rotação temos que = I Neste caso = -mgh sen, onde C neste caso é mgh portanto, considerando sen : Logo: Checar! 14

15 Exercícios 1. Um pêndulo físico é formado por uma régua de um metro de comprimento, cujo ponto de suspensão é um pequeno furo feito na régua a uma distância d da marca de 50 cm. O período de oscilação é 2,5 s. Determine o valor de d. Lembrar que o momento de inércia rotacional respeito do seu centro de massa para uma barra de comprimento L é ml 2 /12. Temos que I O = I C + mh 2 Onde h = d o valor desconhecido. Como T 2 I mgh T 2 ml / 12 md mgd 2 L 12gd d g. d = 0,056 m. Exercícios para casa (Halliday Volume 2; 8 ed.; cap. 15): (39) (49) Perguntas: (11) 15

16 16 O MHS e o Movimento Circular Consideremos um objeto descrevendo uma trajetória circular de raio x m com velocidade uniforme v. Se projetamos a posição P da partícula em movimento, sobre o eixo x obteremos o ponto P. A coordenada de P é descrita pela equação x(t) = x m cos( t+ ) Entanto P descreve um MCU o ponto P descreve um MHS. Vamos ver agora qual é a situação da velocidade e a aceleração para as projeções do MCU sobre o eixo x

17 O MHS e o Movimento Circular 17 A velocidade v do ponto P é x m. A direção do vetor velocidade v é ao longo da tangente à trajetória circular. Se projetamos o vetor velocidade v sobre o eixo x teremos v(t) = - x m sen( t+ ) A vetor aceleração a aponta ao centro O. Se projetamos ela sobre o eixo x teremos:. a(t) = - 2 x m cos( t+ )

18 O MHS e o Movimento Circular Posição Conclusão: Seja como for que olhamos para as projeções do MCU (velocidade, aceleração ou posição) todas elas são MHS Espaço real Espaço de fases Orbita Velocidade Exercícios para casa (Halliday Volume 2; 8 ed.; cap. 15): (91) (105) 18

19 O MHS e o Movimento Circular 19 C. v r F. elétron B Cíclotron Como vimos, o movimento harmônico está relacionado com as componentes do movimento circular. Um caso importante é o movimento de uma partícula carregada num campo magnético constante (movimento cíclotron). Uma partícula de massa m e carga q quando injetada com uma velocidade ν em ângulo reto a um campo magnético uniforme B, segue uma órbita circular, com velocidade uniforme. A força centrípeta requerida para tal movimento é proveniente da força magnética:

20 O MHS e o Movimento Circular C. v r F. elétron B r Cíclotron mv qb qb m A órbita circular de raio r para um elétron é mostrado na figura. A força magnética: A frequência angular: A frequência correspondente: Nota 1: O período cíclotron não depende da velocidade ν. Todas as partículas de mesma massa completam uma órbita circular durante um mesmo tempo T independentemente da velocidade. Nota 2: Partículas rápidas e de igual massa se movimentam em órbitas circulares de raios maiores, enquanto partículas lentas se movem em órbitas de raios menores. Todas as órbitas tem o mesmo período T. 20

21 mv 2 m r T qb qb O MHS e o Movimento Circular Trajetórias helicoidais Agora, considerando o movimento de uma carga em um campo magnético uniforme B quando a velocidade inicial v forma um ângulo com B. Decompomos v em duas componentes: Uma componente (ν ) paralela e o outra (ν ) perpendicular ao B (veja a figura a) ν = ν cos ν = sen. A partícula executa dois movimentos independentes. Um é o movimento cíclotron que está em um plano perpendicular a B analisado no slide anterior. O raio O período. O segundo movimento está ao longo da direção de B e este movimento é retilíneo uniforme com velocidade constante ν. A combinação dos dois movimentos resultam 2πmv cosφ em uma trajetória helicoidal. O passo p da hélice é : p = Tv = q B 21