Modelos Matematicos de Sistemas

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1 Modelos Matematicos de Sistemas Introdução; Equações Diferenciais de Sistemas Físicos; Aproximações Lineares de Sistemas Físicos; Transformada de Laplace; Função de Transferência de Sistemas Lineares; Modelos em Diagrama de Blocos; Modelos em Diagramas de Fluxo de Sinais; Analise Computacional de Sistemas de Controle; Exemplo de Projetos. 1

2 Equações Diferenciais de Sistemas Físicos As Equações Diferenciais que descrevem o desempenho de um sistema dinâmico de um sistema físico são obtidas utilizando-se as Leis físicas do processo. T ( t) T ( t) = 0 a s Variável-Através w( t) = w ( t) w ( t) s a Variável-Sobre (a) Sistema de Torção Massa-Mola (b) Elemento Mola

3 Resumo das Variáveis Através e Sobre para Sistemas Físicos Sistema Variável de Elemento Através Variável Através Integrada Variável de Elemento Sobre Variável Através Integrada Elétrico Corrente i Carga q Tensão v 1 Enlace de Fluxo 8 1 Mecânico em Translação Força F Quantidade de Movimento P velocidade v 1 deslocamento y 1 Mecânico em Rotação Torque T Momento cinético h velocidade angular T 1 deslocamento angular 1 Fluido Vazão Volumétrica Q Volume V Pressão P 1 Momento de Pressão ( 1 Térmico Fluxo Térmico q Energia Térmica H Temperatura T 1 3

4 Sistema Massa-Mola-Amortecedor (a) Sistema Massa- Mola-Amortecedor (b) Diagrama Corpo Livre d y( t) dy( t) M + b + ky( t) = r( t) dt dt 4

5 Circuito RLC v( t) dv( t) 1 + C + v( t) dt = r( t) R dt L t 0 5

6 Solução da Equação Diferencial Métodos Clássicos: 1. Fatores de Integração. Método dos coeficientes a determinar 3. Transformada de Laplace y t K e sen t α1t ( ) ( β θ ) = αt v t = Ke sen βt + ( ) ( θ ) 6

7 Aproximações Lineares de Sistemas Físicos Os modelos mais precisos de sistemas físicos são não-lineares. A Transformada de Laplace não pode ser utilizada na solução de equações diferenciais não-lineares. Técnica de Linearização de sistemas não-lineares 7

8 Modelo Oscilador Tipo Pendulo L comprimento do pêndulo; M massa do pêndulo; f força que atua no pêndulo; g gravidade. A equação diferencial que descreve o movimento do pêndulo L g d θ( t). dt = sen θ( t) 8

9 Série de Taylor df d f f( ) f( ).( ). ( θ θ ) 0 θ = θ0 + θ θ0 + dθ ( θ= θ ) dθ ( θ= θ )! Se a variação q - θ 0 é pequena, os termos de maior grau podem ser desprezados na série de Taylor. Isto resulta em: f(θ) = sen θ, e: df f( θ) f( θ0 ) +. ( θ θ0 ) dθ ( θ= θ 0 ) { } ( ) senθ = senθ + cos θ. θ θ Como, o pêndulo mostrado, opera na região em que, pode-se linearizar a função em torno do ponto. sen θ ( θ 0 0 ) senθ θ L g d θ( t). dt = θ( t) 9

10 Transformada de Laplace 10

11 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA A FT LTI de Linear um Time LTI Invariant é definida - Sistema Linear como Invariante sendo no Tempo a relação entre as Transformadas de Laplace da saída e da entrada, com todas as condições iniciais nulas. n n 1 m m 1 d y( t) d y( t) dy( t) d x( t) d x( t) dx( t) a0 a1... a 1 n 1 an. y( t) b0 b1... b 1 m 1 bm. x( t) n n m m dt + dt + dt + = dt + dt + dt + Onde: n m x(t) entrada (função excitação) e y(t) saída (função resposta) n n 1 m m 1 ( ) = ( ) a.s a S... a.s a Y ( s) b.s b.s... b.s b X ( s) 0 1 Aplicando-se a transformação de laplace, temos: n 1 n 0 1 m 1 m G ( s ) Y ( s ) b. S + b. S b. S + b = = X ( s ) a. S + a. S a. S + a m m m 1 n n n 1 m n Função de Transferência Sistema de ordem n 11

12 COMENTÁRIOS SOBRE FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA A FT de um sistema é uma propriedade que independende da natureza e da magnitude da entrada; Possibilitar um sistema dinâmico ser representado por expressões algébricas da variável complexa S ; A FT não fornece informações a respeito da estrutura física do sistema. A FT de sistemas fisicamente diferentes podem ser idênticas; Se a FT de um sistema é conhecida, a resposta do mesmo pode ser analisada para diferentes formas de excitação (entrada), com a finalidade de compreender a natureza e o comportamento do sistema; Se a FT pode ser obtida experimentalmente pela introdução de sinais de entrada conhecidos e estudando-se as respostas obtidas. A FT fornece uma descrição completa das características dinâmicas do sistema. 1