AMORTECIMENTOS SUBCRÍTICO, CRÍTICO E

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1 AMORTECIMENTOS SUBCRÍTICO, CRÍTICO E SUPERCRÍTICO Mecânica II (FIS-26) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá IEFF-ITA 20 de março de 2013

2 Roteiro 1 Amortecidas forçadas

3 Roteiro Amortecidas forçadas 1 Amortecidas forçadas

4 Exemplo Amortecidas forçadas Calcule o período de pequenas oscilações do pêndulo

5 Solução Amortecidas forçadas Considerando um ângulo θ: (4Ma 2 ) θ = Mg(2a) sin θ ka 2 sin θ sin θ = θ, ( g θ + 2a + k ) θ = 0 4M ( g T = 2π 2a + k 4M ) 1 2

6 Amortecidas forçadas Um bloco de 10,0kg esta suspenso por uma corda enrolada em torno de um disco de 5,00 kg. Se a mola tem uma rigidez k = 200 N/m, determine o período natural de vibração do sistema.

7 Solução Amortecidas forçadas E c = Mẋ2 2 + I 0 2 (ẋ r ) 2 E = ẋ2 2 E c = ẋ2 2 I 0 = mr2 2 ( M + m 2 ) E p = 1 2 k(x + x2 0) Mgx ( M + m ) k(x + x 0) 2 Mgx

8 Solução Amortecidas forçadas Derivando em relação a t: ( 0 = ẋẍ M + m 2 ( M + m 2 Fazendo a mudança y = x + x 0 Mg ) + k(x + x 0 )ẋ Mgẋ ) ẍ + k(x + x 0 ) Mg = 0 k ( M + m ) ÿ + ky = 0 2 Portanto: w 0 = k M + m 2 = 4,00 rad/s T = 2π w 0 = 1,57 s

9 Desafio Amortecidas forçadas Considere uma barra delgada de comprimento L que se encontra sobre um hemisferio fixo de raio r. Determine o periodo de pequenas oscilações da barra.

10 Introdução Amortecidas forçadas As oscilações harmônicas simples estudadas anteriormente, ocorrem em sistemas conservativos. Na prática, sempre existe dissipação de energia. Por exemplo, no cado de um pêndulo, as oscilações se amortecem devido à resistência do ar (além do atrito no suporte). O modelo para a força de amortecimento é f = ρv Ela é designada como força de atrito viscoso (já que a resistência de um fluido ao deslocamento de um obstáculo é proporcional à velocidade para velocidades suficientemente pequenas).

11 Introdução Amortecidas forçadas Para um oscilador unidimensional, a inclusão de um atrito viscoso resulta em Mẍ = kx ρẋ ẍ + 2γẋ + w0x 2 = 0 Sendo γ = ρ k 2M e w 0 =. Esta EDO possui a seguinte M equação característica: λ 2 + 2γλ + w 2 0 = 0 = 4(γ 2 w 2 0) E dependendo do sinal do, teremos soluções qualitativamente bem diferentes para a EDO. > 0 (supercrítico): soluções são exponenciais < 0 (subcrítico): soluções são oscilatórias com amplitude decrescente = 0 (crítico): solução exponencial

12 Amortecidas forçadas Amortecimento supercrítico (γ > w 0 ) A equação característica admite duas soluções reais e distintas: λ 1 = γ + γ 2 w0 2 λ 2 = γ γ 2 w0 2 Note que: Solução geral da EDO: λ 1 < λ 2 < 0 x(t) = ae λ 1t + be λ 2t = e γt (a cosh w d t + b sinh w d t) w d = γ 2 w 2 0 Sendo a e b determinados a partir das condições iniciais.

13 Amortecidas forçadas Amortecimento supercrítico (γ > w 0 ) É interessante notar que para t, x 0, ou seja, o sistema tende a permanecer em repouso na posição de equilíbrio após um tempo suficientemente grande. Além disso, o sistema nem sequer chega a oscilar, ou seja, γ > w 0 representa uma situação de elevado amortecimento.

14 Amortecidas forçadas Amortecimento subcrítico (γ < w 0 )) As soluções da equação característica são duas raízes complexo-conjugadas λ 1 = γ + iw d λ 2 = γ iw d A solução geral da EDO é: x(t) = e γt (a sin w d t + b cos w d t) = Ae γt cos(w d t+ϕ) = Ae γt sin(w d t+φ) Esta é uma solução que oscila com amplitude decrescente. Sendo w d = w 2 0 γ2

15 Amortecidas forçadas Amortecimento subcrítico (γ < w 0 ) T d : período das oscilações amortecidas ou pseudo-período ou simplesmente período.

16 Amortecidas forçadas Amortecimento subcrítico (γ < w 0 ) É interessante analisar qual fração da energia é dissipada em cada ciclo do oscilador. Para tanto, consideremos (de forma aproximada) um ciclo como a ocorrência de dois máximos na amplitude. x 1 = Ae γt 1 x 2 = Ae γt 1 γt d = x 1 e γt d Energia armazenada = kx2 1 2 Energia dissipada = kx2 1 2 (1 e 2γT d ) = kx2 1 2 (2γT d)

17 Amortecidas forçadas Amortecimento subcrítico (γ < w 0 ) Pode-se definir o fator de qualidade do oscilador como: ( ) Energia armazenada Q = 2π = 2π 1 = w d Energia dissipada num ciclo 2γT d 2γ Q = w 0 2γ Note que, quanto maior o Q, menor o amortecimento (menor perda de energia). Estas últimas deduções são válidas quando o amortecimento é pequeno, ou seja, quando γ << w 0.

18 Amortecimento crítico (γ = w 0 ) Amortecidas forçadas A equação característica, neste caso, tem uma raiz dupla A solução geral da EDO é λ = γ x(t) = e γt (a + bt) Esta solução (em geral) decai mais rapidamente (para tempos grandes) que a solução supercrítica.

19 O balanço de energia Amortecidas forçadas Já vimos que a equação de oscilador amortecido é: Multiplicando por ẋ: Mẍ + ρẋ + kx = 0 Mẋẍ + kxẋ = ρẋ 2, Mẋẍ + kxẋ = de MEC dt, e ρẋ 2 é a potência da força de atrito viscoso = F v Note que de MEC dt diminui. < 0, isto é, a energia mecânica sempre

20 Exemplo Amortecidas forçadas A barra tem uma massa de 3,00 kg. Se a rigidez da mola é k = 120 N/m e o amortecedor tem um coeficiente de amortecimento c = 1,00 kn.s/m, determine a equação diferencial que descreve o movimento em termos do ângulo θ de rotação da barra. Além disso, qual deveria ser o coeficiente de amortecimento para um movimento criticamente amortecido?

21 Exemplo Amortecidas forçadas Considerando um pequeno deslocamento angular θ. Analisando os torques em relação ao ponto C: k(θ θ 0 )L 2 c θb 2 Mg L 2 = ML2 3 ML 2 θ + cb 2 θ + k(θ θ0 )L 2 + Mg L 3 2 = 0 θ

22 Exemplo Com a mudança α = θ θ 0 + MgL 2kα 2 Substituindo: Amortecidas forçadas ML 2 α + cb 2 α + kl 2 α = 0 3 α + 3cb2 3k α + ML2 M α = 0 9c 2 b 4 M 2 L 4 = 4.3.k M α α + 120α = 0 amortecimento supercrítico Para amortecimento crítico: Mk c cr = 2 3 ( ) L 2 = 60,9 Ns/m b

23 Introdução Amortecidas forçadas Vamos estudar agora o efeito produzido sobre o oscilador por uma força externa F (t). Estudaremos dois casos para F (t): F (t) = F 0 degrau de amplitude F 0 F (t) = F 0 sin wt O primeiro caso é bastante simples de ser analisado, mas tem uma importância capital em projetos de controladores. No segundo caso a força externa é periódica com frequência angular w, que pode coincidir ou não com a frequência natural do próprio oscilador. A EDO de um oscilador forçado é: Mẍ + ρẋ + kx = F (t) EDOL não homogênea de 2 a ordem.

24 Resposta ao degrau Amortecidas forçadas Se F (t) = F 0 = kx 0, então a resposta do oscilador será: x(t) = x 0 + x H (t) (1) A solução completa é a mesma do caso homogêneo, a menos de um deslocamento ( shift ) de x 0. Ae λ1t + Be λ2t, amortecimento supercrítico x H (t) = Ae γt sin(w d t + φ), amortecimento subcrítico e γt (A + Bt), amortecimento crítico

25 Resposta ao degrau Amortecidas forçadas É interessante estudar caso de uma entrada degrau porque ele aparece muito em problemas de engenharia. Os sistemas físicos, por mais complexos que pareçam, comumente admitem um modelo simplificado de sistema massa-mola. Quando é necessário controlar um sistema físico, geralmente se aplica uma força F (t) (ou uma corrente I(t), ou uma tensão E(t), ou algum outro mecanismo atuador, conforme o caso) para que ele se comporte como desejado. O caso em que F (t) = kx 0 é muito comum:, geralmente deseja-se que o sistema (considerado inicialmente em repouso na posição x = 0) atinja a posição x 0 (a nova posição de equilíbrio) o mais rápido possível e aí permaneça. Vamos vislumbrar como isso é possível para o caso

26 Resposta ao degrau Amortecidas forçadas Nas hipóteses de condições iniciais nulas, a solução é: [ x(t) = x 0 1 e γt sin(w ] dt + β) sin β sendo β o suplementar do argumento do complexo γ + iw d.

27 Resposta ao degrau Amortecidas forçadas Para esta situação, a resposta x(t) aparece plotada na figura seguinte M p : overshoot (mede o quanto o primeiro pico se afasta, π cot β percentualmente de x 0 ): M p = e t r : tempo de subida ( rise time ): t r π β = w d t s : tempo de estabilização ( settling time ): t s 3 = (para ± 5%) γ