7 Movimentos Oscilatórios

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2 7 Movimentos Oscilatórios 7.1. Uma massa m = 90 g ligada a uma mola é largada com velocidade inicial zero de um ponto a 2 cm da posição de equilíbrio. A constante da mola é k = 81 N /m. Considere o movimento no plano horizontal sem atrito. a) Escreva a equação de Newton para o movimento da massa presa à mola. b) Obtenha as expressões e calcule os valores para as seguintes grandezas que caracterizam o movimento da massa: período de oscilação, amplitude e fase inicial. c) Represente os gráficos da solução x(t), da velocidade v(t) = ẋ e da aceleração. d) Calcule a velocidade e a aceleração quando o deslocamento é de 1 cm. e) Represente o gráfico da energia cinética, da energia potencial e da energia mecânica da massa. f) Considere agora uma nova experiência com a mesma massa e a mesma mola mas em que a posição inicial é x o = 5 mm e a velocidade inicial v o = 15 cm /s. Calcule a frequência, o período, a amplitude e a fase inicial Sabe-se que a frequência angular, ω o, de uma massa, m = 1 kg, presa a um dinamómetro é de 4 rad /s. Num dado instante (instante inicial) a posição da massa relativamente à posição de equilíbrio é de 15 cm e a velocidade nesse instante é de 0,6 m /s. a) Qual a equação de Newton para o movimento da massa presa à mola? E a equação para o movimento da massa presa à mola? A intensidade da força exercida por uma mola é proporcional ao deslocamento. Assim a equação de Newton é mẍ = kx onde k é a constante da mola. A frequência de oscilação é ω o = k/m. Usamos valores indicados para m e ωo obtemos k = 16 N /m, o que nos permite escrever para este caso: ẍ + 16x = 0. 91

3 7 Movimentos Oscilatórios Quanto à equação do movimento, sabemos que a integração da equação de Newton nos conduz a uma equação do tipo e, para a velocidade, ẋ, x(t) = A cos(ω o t + δ) ẋ(t) = Aω o sin(ω o t + δ). (7.1) Usando os valores para o instante inicial, t = 0, temos x o = A cos(δ) v o = Aω o sin(δ) donde obtemos ( ) vo δ = arctan x o ω o ( ) 2 vo A = x 2 o + ω o Substituindo valores chegamos ao resultado δ = π 4 A 21 cm b) Qual a velocidade máxima atingida pela mola? Usando (7.1) e recordando que 1 sin(α) 1, verificamos que a velocidade atinge o valor máximo v max = Aω o = 84 cm /s. c) Em que instante é atingida a velocidade máxima? Da alínea anterior sabemos que esse valor é atingido sempre que sin(ω o t + δ) = 1. Ou, atendendo às propriedades da função seno, ω o t + δ = 3 2 π (7.2) Substituindo o valor de δ encontrado acima e usando o período T = 2π/ω o = 1, 57 s, podemos escrever, t = 7 T = 1, 37 s 8 92

4 No entanto, como o seno é uma função periódica, se adicionarmos 2π ao valor do ângulo (ou múltiplos deste valor), o resultado da função seno será ainda 1. Assim podemos generalizar (7.2) para: ( ) 3 ω o t + δ = 2 + 2n π n = 0, 1, 2,... Ou, usando o valor de δ e o período T, obtemos a expressão geral para os instantes em que se obtém a velocidade máxima: ( ) 7 t = T 8 + n n = 0, 1, 2, Uma massa de 50 g está ligada a duas molas com constantes k 1 = 3 N /m e k 2 = 5 N /m como se pode ver na figura ao lado. a) Escreva a equação de Newton para a massa presa às molas e determine a frequência angular (ω o ) e o período de oscilação. k1 k2 Quando a massa se afasta da posição de equilíbrio fica sujeita a duas forças apontando no mesmo sentido (uma puxa, a outra empurra ). Podemos assim escrever e Substituindo valores, obtemos mẍ = k 1 x k 2 x = (k 1 + k 2 )x k 1 + k 2 ω o = m T = 2π ω o 0, 05ẍ = 8x ω o = 12, 6 rad /s T = 0, 5 s b) Imagine que a mola 1 tem de comprimento 10 cm. Qual o alongamento, l, da mola se suspender a massa m = 0, 05 kg da mola. Responda à pergunta anterior para a mola 2. Compare os resultados. 93

5 7 Movimentos Oscilatórios Para cada uma das molas a massa fica em equilíbrio quando a força da mola compensa o peso: k i l i mg = 0 l i = mg k i i = 1, 2 Substituindo valores, obtemos l 1 = 16 cm, l 2 = 9, 8 cm 7.4. Um bloco de 10 kg de massa está num plano horizontal sem atrito ligado a uma mola fixa na outra extremidade, tendo um movimento oscilatório com uma frequência f = 1, 5 Hz. a) Qual a constante da mola? b) Se colocarmos outro bloco de m 2 = 2 kg sobre o bloco referido anteriormente, e sabendo que o coeficiente de atrito estático entre as superfícies dos dois blocos tem o valor máximo µ = 0, 6, qual a amplitude máxima de oscilação (A) para que o segundo bloco não se desloque? 7.5. As lombas existentes numa estrada, e que antecedem uma passagem de peões, estão espaçadas 10 metros. Considere que os amortecedores de um carro têm o coeficiente de elasticidade k = 10 5 N/m e a massa do mesmo é M = 1000 kg. Menospreze os efeitos do atrito. Determine a velocidade do carro para a qual os amortecedores entram em ressonância Imagine que se fez um túnel em profundidade, que tem início de Lisboa e atravessa a Terra passando, pelo centro da Terra. Imagine agora que larga um corpo de massa m na extremidade desse túnel em Lisboa. Qual a força que actua nesse corpo em função da distância r ao centro da Terra? Considere a Terra uma esfera com densidade uniforme. Como vai oscilar a massa, i.e determine o tempo que a massa demora a regressar a Lisboa Uma massa m = 0, 5 kg está ligada a uma mola. A mola pode ser ligada a um mecanismo que permite pôr o sistema massa-mola a oscilar com frequência variável. A massa ligada à mola oscila como se estivesse sujeita a uma força de atrito proporcional à velocidade e com coeficiente b = 0, 5 Ns /m. A velocidade inicial da massa é nula. A constante da mola é k = 8 N /m. 94

6 a) Suponha que põe a massa a oscilar ligada à mola sem forças exteriores. A amplitude inicial é A = 20 cm. Qual a amplitude do movimento da mola ao fim de 3 segundos se não houvesse atrito? Se não houvesse atrito a amplitude das oscilações manter-se-ia constante e portanto ao fim de 3 segundos a amplitude continuaria a ser igual à amplitude inicial A = 20 cm. b) Qual o factor em que se reduz a amplitude da oscilação da massa ao fim de 3 segundos se houver atrito. Se houver atrito a equação de Newton mẍ = kx bẋ tem a solução x(t) = A e λt cos(ωt + δ) onde ω = ω0 2 λ2 e λ = b 2m = 0, 5/(2 0, 5) = 0, 5 s 1. Assim, havendo atrito a amplitude de oscilação reduz-se num factor e λt e portanto ao fim de 3 segundos reduz-se num factor de e ( 0,5 s 1 3 s) = 0, 223 passando a ser 4,5 cm. c) Determine ao fim de quanto tempo a amplitude das oscilações se reduz a metade. A amplitude reduz-se a metade ao fim de um tempo t 1/2. Para este momento temos: A e λt 1/2 = A 2 λt 1/2 = log(2) t 1/2 = log(2) λ = 2m b log(2) = 1, 39 s d) Compare a frequência angular de oscilação para o caso de não haver atrito e para o caso de haver atrito. Compare os período de oscilação para o caso de não haver atrito e para o caso de haver atrito. 95

7 7 Movimentos Oscilatórios Para o caso de não haver atrito temos: k 8 ω 0 = m = 0, 5 = 4 rad /s T = 2π ω 0 = 1, 57 s Para o caso com atrito, e usando o valor de λ calculado na alínea b), temos: ( ) ω = ω , 5 2 λ2 = 0, 5 = 3, , 5 rad /s T = 2π ω = 2π = 1, 58 s 3, 97 e) Qual a amplitude da oscilação da massa ligada à mola se for sujeita a uma força exterior periódica dada pela expressão F = F o cos(ω ext t), onde F o = 3 N e a frequência da força exterior, ω ext, for igual à frequência de ressonância. Verifique que a frequência de ressonância é dada por ω res = ω 2 o 2λ 2. A expressão geral para a oscilação da massa após atingir o regime estacionário é dada por x(t) = A(ω ext ) cos(ω ext t + δ) onde a amplitude, A, é dada por A(ω ext ) = F o /m (ωo 2 ωext 2 )2 + 4λ 2 ωext 2 (7.3) A ressonância corresponde à oscilação com a máxima amplitude. Esta é máxima quando a derivada de (7.3) em ordem a ω ext for nula [i]. No entanto, observando que (7.3) é máximo quando o denominador é mínimo, podemos só procurar o mínimo da expressão em denominador: d [ ] (ω0 2 ω 2 d ω ext) λ 2 ωext 2 = 0 ext [i] Em rigor, o facto da primeira derivada ser nula só nos indica a existência de um ponto crítico da função. Para que este seja um máximo é ainda necessário que a 2ª derivada seja negativa. Na presente discussão admitimos que isso acontece. 96

8 ou seja: 2(ω 2 0 ω 2 ext)( 2ω ext ) + 4λ 2 (2ω ext ) = 0 ω0 2 + ωext 2 + 2λ 2 = 0 ωext 2 = ω0 2 2λ 2 ω ext = ω0 2 2λ2 ω res. Quando a frequência da força exterior, ω ext, for igual à frequência de ressonância (ω res = ω0 2 2λ2 ) o denominador da equação (7.3) é: (ω0 2 ω2 res) 2 + 4λ 2 ωres 2 = = (ω0 2 (ω2 0 2λ2 )) 2 + 4λ 2 (ω0 2 2λ2 ) = 4λ 4 + 4λ 2 ω0 2 8λ4 = 2λ (ω0 2 λ2 ) Logo a amplitude de ressonância é: A res = = = = F 0 /m 2λ ω0 2 λ2 2 b 2m F 0 /m ( k m b 2m F 0 /b ( ) 2 k m b 2m ) 2 3/0, 5 ( ) = 1, 5 m 8 0,5 0, , Um Saltitão-Saltitas é colocado em cima da máquina de lavar roupa. O Saltitas tem uma ventosa que o fixa ao tampo da máquina. Verifica que a certa altura, quando a máquina está a lavar, o Saltitas começa a oscilar fortemente acabando por se soltar e cair ao chão. Volta a pôr o Saltitas em cima da máquina e verifica que, curiosamente, quando a máquina começa centrifugar a 1200 rpm o Saltitas praticamente não se mexe. Verifica ainda que quando a máquina pára a amplitude das oscilações reduz-se a 1/5 ao fim de 3 segundos. Sabendo que o Saltitas tem massa m = 0, 040 kg e que a constante da mola 97

9 7 Movimentos Oscilatórios é k = 144 N /m, mostre que percebe o que se passa com o Saltitas, respondendo (correctamente) às perguntas seguintes. Considere que a mola do Saltitas está sujeita a um atrito proporcional à velocidade e é dada pela expressão F atrito = bẋ. a) Escreva a equação de Newton para o movimento para o Saltitas quando a máquina está a trabalhar. Qual é a solução da equação em regime estacionário? b) Escreva a equação de Newton para o movimento para o Saltitas quando a máquina deixou de trabalhar mas o Saltitas ainda está a oscilar. Qual é a solução da equação? c) Determine a frequência própria de oscilação do Saltitas e o valor de b, coeficiente da força de atrito. d) Demonstre que a frequência de ressonância é dada pela expressão ω res = ω o 2λ 2 e indique os valores de ω o e λ. Pode usar cálculos anteriores para responder a esta pergunta. e) Relacione a amplitude de oscilação do Saltitas quando o máquina funciona a 1200 rpm com a amplitude de oscilação que teria em situação de ressonância, se não tivesse caído ao chão. Se anteriormente não conseguiu calcular λ, considere λ = 0, Um motor vibra com uma frequência angular de ω ext = 10 rad s 1 e está montado numa plataforma com um amortecedor. O motor tem uma massa m = 250 kg e a mola do amortecedor tem uma constante elástica efectiva k = 10 4 Nm 1. Despreze a massa da plataforma. A amplitude de oscilações de uma massa a oscilar em regime forçado com atrito é dada por A = F o /m (ω 2 o ωext 2 ) 2 + 4λ 2 ωext 2 onde m é a massa do motor, F o /m é a amplitude da força exterior, ω o é a frequência própria do sistema, ω ext é a frequência da força exterior, λ é a constante de amortecimento das oscilações. a) Qual a frequência própria de vibração da plataforma com o motor instalado (ω o )? b) Quando o motor pára de trabalhar a amplitude das oscilações da plataforma reduz-se a metade ao fim de 20 segundos. Calcule a constante de amortecimento das oscilações (λ). c) Escreva a equação de movimento do motor, quando o motor está ligado e explique a origem de cada uma das forças que actuam no motor. 98

10 d) Qual a solução geral para o movimento em função da amplitude da força exterior, em regime permanente? e) Suponha que em regime permanente, com o motor ligado, a amplitude de vibração é 1 cm. Qual a amplitude da força exterior? f) Suponha que a frequência do motor pode variar. Determine a frequência do motor para a qual o sistema entra em ressonância. g) Qual a amplitude do movimento da plataforma se a frequência do motor for a frequência de ressonância e a amplitude da força exterior for a determinada anteriormente? Os astronautas a bordo da estação orbital podem sofrer importantes perdas de massa muscular devido à situação de imponderabilidade a que são sujeitos. Torna-se por isso imprescindível controlar a evolução da massa muscular. Mas qual a balança que pode ser usada em aparente gravidade zero? O problema é seu. Bom, e do astronauta também, mas sejamos optimistas. Imagine-se engenheiro Aeroespacial. Se conseguiu, passe a analisar os dados que lhe são fornecidos e responda às perguntas que se seguem. Com muito cuidado. Por causa do astronauta, claro. Para medir a massa de um astronauta na ISS pretende usar-se uma balança construída com uma cadeira presa a uma mola. A cadeira tem massa m cadeira = 1 kg. Quando a cadeira se afasta da posição de equilíbrio em 10 cm e se larga, passa a oscilar com um período T = 1 s. a) Qual a equação de Newton da cadeira a oscilar, presa à mola? b) Qual a solução da equação, i.e. qual a expressão para o movimento da cadeira presa à mola? Determine a constante k da mola e a frequência angular do movimento da cadeira. c) Imagine que, na ISS, o astronauta se senta na cadeira, e que a cadeira é posta novamente a oscilar, agora com o astronauta. Neste caso a massa total a oscilar passa a ser M = m astronauta + m cadeira. Determine a expressão geral da dependência da massa do astronauta em função do período de oscilação deste na cadeira (T astronauta ). d) Calcule T astronauta quando este tem massa 80 kg. Qual a variação do período (T astronauta ) correspondente a uma diminuição de 1% na massa do astronauta? 99