Instituto de Física da Universidade de São Paulo

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1 Instituto de Física da Universidade de São Paulo FEP196 - Física para Engenharia II Lista de exercícios 3 Outubro de Considere uma situação em que você está examinando as características do sistema de suspensão de um automóvel. A suspensão cede 10 cm, quando o peso do automóvel inteiro é colocado sobre ela. Além disso, a amplitude da oscilaão diminui 50% durante uma oscilação completa. Estime os valores de k e ρ (a constante de amortecimento) para o sistema de mola e amortecedor em uma roda, considerando que cada uma suporta 500 Kg. R: k=5, N/m e ρ = 1, Kg/s. Uma partícula de massa m move-se na direção z no interior de um fluido, cuja resistência de atrito é da forma ρż, ou seja, é proporcional à velocidade (ρ > 0). A força peso é desprezível em confronto com a resistência de atrito durante o intervalo de tempo considerado. Dadas a posição inicial z 0 e a velocidade inicial v 0, ache z(t). R: z(t) = z 0 + (v 0 /γ)(1 e γt ), onde γ = ρ/m 3. Um oscilador criticamente amortecido, partindo da posição de equilíbrio, recebe um impulso que lhe comunica uma velocidade inicial v 0. Verifica-se que ele passa por seu deslocamento máximo, igual a 3,68 m, após 1 segundo. (a) Qual é o valor de v 0? (b) Se o oscilador tivesse um deslocamento inicial x 0 = m com a mesma velocidade inicial v 0, qual seria o valor de x no instante t? R: (a) v 0 = 10 m/s e (b) x(t) = e t (+1t) 4. (Poli 006) O Gráfico de x(t), mostrado na figura abaixo, representa a equação horária de um oscilador criticamente amortecido, para um sistema composto de um corpo de massa m = 1, 0 Kg preso a uma mola de constante elástica k e imerso em um líquido viscoso, de coeficiente de resistência viscosa ρ. (a) Em que instante de tempo a velocidade do corpo será nula, no intervalo de tempo mostrado no gráfico? (b) A equação horária x(t) pode ser escrita como: x(t) = e γ/t (a + bt). Determine os valores de a e b. (c) Determine a constante de decaimento γ e a constante elástica k da mola. (d) Determine o valor da velocidade inicial do oscilador. R: (a) t=3s; (b) a = 0, 5 m e b = 0, 5 m/s; (c) γ = 1 s 1 ; (d) v 0 = 0.75 m/s. 5. Um corpo de massa m = 1000 kg cai de uma altura H = 1 m sobre uma plataforma de massa desprezível. Deseja-se projetar 1

2 um sistema constituído por uma mola e um amortecedor sobre o qual se montará a plataforma de modo que ela fique em equilíbrio a uma distância d = m abaixo de sua posição inicial, após o impacto. O equilíbrio deve ser atingido tão rápido quanto possível, sem oscilações. (a) Obtenha a constante k da mola e a constante de amortecimento ρ do amortecedor. (b) Obtenha a equação que descreve o movimento do bloco após entrar em contato com a plataforma. R: (a) k = N/m e ρ = kg/s e (b) x(t) = 5e 5t t 6. Um oscilador não amortecido de massa m e freqüência própria ω 0 move-se sob a ação de uma força externa F = F 0 sen(ωt), partindo da posição de equilíbrio com velocidade inicial nula. Ache o deslocamento x(t). R: x(t) = F 0 m(ω 0 ω ) [ sen(ωt) ω ω 0 sen(ω 0 t) 7. (Poli 006) Um corpo de massa m desliza sobre um plano horizontal sem atrito sujeito a três forças: uma força elástica resultante da ação de uma mola de constante elástica k, uma força devido à resistência viscosa do meio, caracterizada por uma resistência viscosa ρ, e uma força externa periódica F(t) = F 0 cos Ωt. (a) Escreva a equação diferencial que descreve o movimento do corpo, e sua solução estacionária. (b) Considerando que m = 50 Kg, k = 5000 N/m, F 0 = 50 N e ρ = 500 Kg/s, calcule a frequência natural do sistema e seu fator de qualidade. (c) No regime estacionário, usando os valores do item anterior, determine o valor de Ω para o qual a amplitude do movimento é máxima. (d) Qual é essa amplitude máxima? ] R: (a) d x + γ dx + dt dt ω 0x = F 0 cos Ωt, x(t) = A cos [Ωt + Φ], onde A = F 0 1 m (ω0 Ω ) +γ ω ( γω e Φ = -arctan ); (b) ω ω0 0 = 10 s 1 e Ω Q = 1; (c) Ω R = 5 s 1 ; (d) A R = m. 8. (Poli 007) Um corpo de massa 50 g está preso numa mola de constante k = 0 N/m e oscila, inicialmente, livremente. Esse oscilador é posteriormente colocado num meio cujo coeficiente de atrito viscoso é ρ = 0, 9 Kg/s. Depois disso o oscilador, ainda no meio viscoso, é excitado por uma força externa F = F 0 cos Ωt, onde F 0 = 9, 0 N e Ω = 0, 0 rad/s. (a) Determine a frequência natural do sistema (b) Qual o regime de oscilação do sistema quando imerso no meio viscoso, mas antes de ser excitado pela força externa? Justifique sua resposta. (c) Depois que a força externa é aplicada e que o sistema entrou no regime estacionário, qual o valor da amplitude do movimento? (d) Qual deveria ser o valor exato da frequência externa de excitação para que a amplitude da oscilação, no estado estacionário, fosse máxima? R: (a) ω 0 = 0 s 1 ; (b) Regime sub-crítico de oscilação (ω 0 > γ/); (c) A = 0,5 m; (d) Ω R = 38 s Um corpo de massa m = 50, 0 kg está suspenso por uma mola de constante elástica k = 1, N/m. Uma força harmônica de amplitude f max = 45, 0 N atua sobre o corpo ao longo da direção vertical. Considerando-se a existência de atrito viscoso com coeficiente ρ = 100 N.s/m, determine para o regime estacionário: (a) a freqüência de ressonância, (b) a amplitude máxima na ressonância,

3 (c) (c) a defasagem entre o máximo da força harmônica e o máximo da amplitude. l l R: (a) ω 0 = 15, 8 rad/s, (b) A MAX = 0, 03 m e (c) ϕ = π. 10. Uma pessoa está segurando uma extremidade A de uma mola de massa desprezível e constante elástica 80 N/m. Na outra extremidade B, há uma massa de 0,5 kg suspensa, inicialmente em equilíbrio. No instante t = 0, a pessoa começa a sacudir a extremidade A (figura abaixo), fazendo-a oscilar harmonicamente com amplitude de 5 cm e período de 1 s. (a) Calcule o deslocamento z da massa em relação à posição de equilíbrio, para t > 0. (b) Calcule a força total F(t) exercida sobre a extremidade A para t > 0. A k 1 v 1. Considere duas partículas A e B cada uma com massa m conectadas por uma mola de constante elástica k e comprimento natural a. Cada partícula está ligada a dois suportes C e D por duas molas com as mesmas características da primeira mola. Os dois suportes são separados por uma distância 3b, como mostrado na figura (a). Em um dado instante de tempo t o deslocamento das partículas A e B é x e y a partir da posição de equilíbrio resultando nas forças mostradas na figura. Calcule as freqüências de oscilação do sistema. C k m A m B k D x y B 1 3 R: (a) z(t) = 0, 666 sin(πt) (em m); (b) F = 4, 9 1, 31 sin(πt) (em N) 11. Duas partículas de mesma massa, igual a 50 g, estão suspensas do teto por barras idênticas, de 0,5 m de comprimento e massa desprezível, e estão ligadas uma à outra por uma mola de constante elástica 5 N/m. No instante t = 0, a partícula (figura abaixo) recebe um impulso que lhe transmite uma velocidade de 10 cm/s. Determine os deslocamentos x 1 (t) e x (t) das posições de equilíbrio das duas partículas (em cm) para t > 0. R: x 1 (t) = 1, 13sen(4, 43t) 0, 34sen(14, 8t) e x (t) = 1, 13sen(4, 43t)+ 0, 34sen(14, 8t) R: ω 1 = k m e ω = 3k m 13. Mostrar explicitamente que as seguintes funções são soluções da equação de onda: (a) y(x, t) = k(x + vt); (b) y(x, t) = A exp[ik(x vt)], onde A e k são constantes e i = 1; (c) y(x, t) = ln[k(x vt)]. 14. A função de onda de uma onda harmônica numa corda é y(x, t) = 0, 001sen[6, 8x + 314t] onde as unidades utilizadas são o metro e o segundo. (a) Em que direção a onda avança e qual a sua velocidade? 3

4 (b) Calcular o comprimento de onda, a freqüência e o período da onda. (c) Qual a aceleração máxima de um ponto da corda. R: (a) A onda avança no sentido negativo do eixo x com velocidade v = 5 m/s. (b) λ = 10 cm, = 0, 0 s e f = 50 Hz. (c) a MAX = 98, 6 m/s. 15. Um fio longo, de massa 5, 0kg e 100m de comprimento, é esticado até que a tensão seja de 5, 0N. A ponta esquerda é movida para cima e para baixo com movimento harmônico simples, tendo um período de 0, 5s e amplitude de 0, 5m. Suponha que a tensão seja constante do princípio ao fim do movimento. (a) Ache a velocidade da onda gerada no fio. (b) Determine o comprimento de onda. (c) Escreva uma expressão para y(x, t) em qualquer ponto do fio, sabendo-se que em y( 5, 0) = 1 8 e y t (5, 0) > 0 8 R: (a) 10m/s (b) 5m (c) y(x, t) = 0, 5 sin ( π 5 x 4πt + π) (m) 16. Um pulso, que se desloca com uma velocidade de 50m/s em uma corda de 10m de comprimento, é descrito pela função y(x, t) = e (x vt) + e (x+vt) (SI). (a) Qual o valor de x para o qual a velocidade transversal da corda seja extremal em t = 0? (b) Se a massa da corda for 1kg, qual a tensão nesta? R: (a) x = 0, 5m (b) 50N 17. Uma onda estacionária resulta da soma de duas ondas transversais progressivas dadas por: y 1 = 0, 05cos(πx 4πt) y = 0, 05cos(πx + 4πt) onde x, y 1 e y estão em metros e t em segundos. (a) Qual é o menor valor positivo de x que corresponde a um nó? (b) Em quais instantes no intervalo 0 t 0, 5 a partícula em x = 0 terá velocidade zero? R: (a) x = 0, 5 m. (b) t = 0, 0, 5 e 0, 5 s. 18. Determine a amplitude da onda resultante da combinação de duas ondas senoidais que se propagam no mesmo sentido, possuem mesma freqüência, têm amplitudes de 3, 0 cm e 4, 0 cm e diferença de fase de π/ rad R: y(x, t) = 0, 05sen(kx ωt + 0, 64) 19. Uma corda oscila de acordo com a equação y = (0, 50)sen[ π x] cos[40πt] 3 onde as unidades utilizadas são o cm e o segundo. (a) Quais são a amplitude e a velocidade escalar das ondas cuja superposição dá essa oscilação? (b) Qual é a distância entre os nós? (c) Qual é a velocidade escalar de uma partícula da corda na posição x = 1.5 cm quando t = 9 8 s? R: (a) A = 0, 5 cm e v = 10 cm/s. (b) D = 3 cm. (c) y t = 0 0. (Poli 006) Uma corda uniforme, de comprimento 0 m e massa Kg, está esticada sob uma tensão de 10 N. Faz-se oscilar transversalmente uma extremidade da corda, com aplitude 3 cm e frequência de 5 oscilações por segundo. O deslocamento inicial da extremidade é de 1,5 cm para cima. 4

5 (a) Ache a velocidade de propagação v e o comprimento de onda λ da onda transversal progressiva que é produzida na corda. (b) Escreva, como função do tempo, o deslocamento transversal y de um ponto da corda situado a uma distância x da extremidade que se faz oscilar, após ser atingido pela onda e antes que ela chegue à outra extremidade. (c) Calcule a intensidade I da onda progressiva gerada. R: (a) v= 10 m/s e λ =,0 m; (b) y(x, t) = 0, 03 cosπx 10πt + π/3 m; (c) I = 9π 00 W. 1. (Poli 007) A corda de um violino tem uma densidade linear de massa de 0,5 g/m e está sujeita a uma tensão de 80 N, afinada para uma frequência ν = 660 Hz no primeiro harmônico. (a) Qual a velocidade de propagação da onda nessa corda? (b) Qual o comprimento da corda? (c) Para tocar a nota lá, cuja frequência é ν= 880 Hz, prende-se a corda com um dedo, de forma a utilizar apenas uma fração f de seu comprimento. Qual o valor de f? R: (a) v = 400 m/s; (b) L = 10 m; (c) 33 f = 3/4.. Uma corda sob tensão i oscila no terceiro harmônico com uma freqüência f 3, e as ondas na corda tem comprimento de onda λ 3. Se aumentarmos a tensão da corda para f = 4 i de forma que a corda continue a oscilar no terceiro harmônico, qual será: (a) a freqüência de oscilação em termos de f 3 ; (b) o comprimento da onda em termos de λ 3? R: (a) f = f 3. (b) λ = λ 3 3. Uma corda de 10 cm de comprimento é esticada entre suportes fixos. Quais são os três comprimentos de onda mais longos para ondas estacionárias nesta corda? Esboce as ondas estacionárias correspondentes. O que muda em relação aos três comprimentos de onda mais longos se esta mesma corda estiver fixa em apenas um suporte, de forma que a outra extremidade é presa em um anel sem peso que pode deslizar ao longo de uma haste sem atrito? R: Corda fixa nas duas extremidades: λ 1 =, 40 m, λ = 1, 0 m e λ 3 = 0, 80 m. Corda presa em uma extremidade: λ 1 = 4, 80 m, λ = 1, 60 m e λ 3 = 0, 96 m. 4. Uma corda, submetida a uma tensão de 00 N e presa em ambas as extremidades, oscila no segundo harmônico de uma onda estacionária. O deslocamento da corda é dado por: y = (0, 10) sen(πx/) sen(1πt) onde x = 0 numa das extremidades da corda, x é dado em metros e t em segundos. (a) Qual é o comprimento da corda? (b) Qual é a velocidade escalar das ondas na corda? (c) Qual é a massa da corda? (d) Se a corda oscilar num padrão de onda referente ao terceiro harmônico, qual será o período de oscilação? R: (a) L = 4 m, (b) v = 4 m/s, (c) µ = 0, 347 kg/m e (d) = 0, 11 s 5. Duas ondas transversais de mesma freqüência ν = 100 s 1 são produzidas num fio de aço de 1 mm de diâmetro e densidade 8 g/cm 3, submetido a uma tensão = 500 N. As ondas são dadas por ( y 1 = A cos kx ωt + π ) 6 onde A = mm. y = A sen(ωt kx) 5

6 (a) Escreva a expressão da onda harmônica progressiva resultante da superposição dessas duas ondas. (b) Calcule a intensidade da resultante. (c) Se fizermos variar a diferença de fase entre as duas ondas, qual é a razão entre os valores máximo e mínimo possíveis da intensidade da resultante? R: (a) y = 5, cos(, 3x 68t + 1, 4). (b) 9, 8 W. (c) I MAX I MIN = Em um teste, um jato subsônico voa a uma altitude de 100 m. A intensidade do som no solo quando o jato passa exatamente acima de um detector é de 150 db. A que altitude o jato precisa voar para que o ruído no solo não ultrapasse 10 db, o limite da sensação dolorosa? Sugestão: Ignore o tempo necessário para o som alcançar o chão. R: 3, 16 km 7. Um avião voa a 5 da velocidade do som. A 4 explosão sônica alcança um homem no solo exatamente 1 minuto depois de o avião ter 4 passado sobre sua cabeça. Qual a altitude do avião? Considere a velocidade do som como sendo 330 m/s. R: 8, km 8. Um avião sobrevoa uma cidade a uma altitude de 3 km e a uma velocidade v igual a 1,35 vezes a velocidade do som. A temperatura do ar é de 303 K e o vento está num sentido oposto ao do avião e com velocidade de 10 m/s. (a) Qual é a velocidade do avião? (b) Para um observador no solo, qual é o tempo decorrido entre ver o avião passar sobre sua cabeça e ouvi-lo? Sugestão: Considere que a velocidade do kr som no ar é dada por, onde M k = 1, 40 é uma constante, R = 8, 314 J/(molK) é a constante universal dos gases e M = kg/mol é a massa molecular do ar. R: (a) 471 m/s. (b) 5, 9 s. 9. (Poli 007) Um trem-bala move-se com velocidade de 60 m/s para leste. O apito do trem emite um som com frequência de 400 Hz. Considere a velocidade do som no referencial de repouso da atmosfera como 340 m/s. (a) Determine a frequência do som do apito que uma pessoa na estação ouve ao observar o trem passando. (b) Considere agora a presença de um vento soprando para oeste com velocidade de 10 m/s. Determine a frequência do som que a pessoa na estação vai ouvir. (c) Considere agora que o trem movimenta-se numa trajetória circular. Qual a frequência do som percebida por alguém no centro da circunferência descrita pelo trem? R: (a) ν S = 340 Hz; (b) ν P = 341 Hz; (c) ν C = 400 Hz. 30. Dois diapasões idênticos podem oscilar a 440 Hz. Um indivíduo está localizado em algum lugar na linha entre os dois diapasões. Calcule a freqüência de batimentos captada por esse indivíduo se: (a) ele permanece parado e os diapasões se movem para a direita com velocidade de 30 m/s, e (b) os diapasões estiverem parados e o indivíduo se movendo para a direita com velocidade de 30 m/s. R: (a) 80, 7 Hz. (b) 80 Hz. 31. Um morcego voa dentro de uma caverna, orientando-se efetivamente por meio de bips ultra-sônicos (emissões curtas de 6

7 alta freqüência com duração de um milisegundo). Suponha que a freqüência da emissão do som pelo morcego seja de 39, khz. Durante uma arremetida veloz, diretamente contra a superfície plana de uma parede o morcego desloca-se a 8, 58 m/s. Calcule a freqüência do som refletido pela parede que chega aos ouvidos do pobre morcego. R: 41, 3 khz 7