Universidade de São Paulo. Instituto de Física. FEP112 - FÍSICA II para o Instituto Oceanográfico 1º Semestre de 2009

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Universidade de São Paulo nstituto de Física FEP11 - FÍSCA para o nstituto Oceanográfico 1º Semestre de 009 Segunda Lista de Exercícios Oscilações 1) Verifique quais funções, entre as seguintes,

) A equação de uma onda, que se propaga em uma corda, é dada por: π y(x, t) = 0,30sen( x 50πt), onde x e y são medidos em cm e t em segundos.

c) a magnitude da velocidade transversal máxima v max de um ponto da corda. R: a) v=100 cm/s ; b) A=0,30 cm, l=4,0 cm e =0,04 s; c) v max = 15π cm/ s.

1 Universidade de São Paulo nstituto de Física FEP11 - FÍSCA para o nstituto Oceanográfico 1º Semestre de 009 Segunda Lista de Exercícios Oscilações 1) Verifique quais funções, entre as seguintes, podem ser representar ondas que se propagam. a) y(x,t) = k(x + vt) b) y(x,t) = Acos(kx)cos(kvt) c) y(x,t)= ae -kx +be -kvt d) y(x,t)= ln [k(x-vt)] R: a) e d) sim ; b) e c) não. ) A equação de uma onda, que se propaga em uma corda, é dada por: π y(x, t) = 0,30sen( x 50πt), onde x e y são medidos em cm e t em segundos. Nestas condições determine a) a velocidade v de propagação da onda. b) a amplitude A, o comprimento de onda λ e o período de oscilação. c) a magnitude da velocidade transversal máxima v max de um ponto da corda. R: a) v=100 cm/s ; b) A=0,30 cm, l=4,0 cm e =0,04 s; c) v max = 15π cm/ s. 3) A função de onda de uma onda harmônica numa corda é y(x,t) = 0,001 cos [6,8 x t], onde y e x são medidos em metros e t em segundos. Nestas condições determine a) a direção e sentido da onda e a sua velocidade v de propagação? b) o comprimento de onda λ, a frequência ν e o período da onda. c) a magnitude da aceleração transversal máxima a max de um ponto da corda.

2 R: a) A onda avança no sentido negativo do eixo x com velocidade v = 5,0 m/s ;b) λ = 0,10 m, ν=50 s -1, =0,0 s ; c) max a = 10π m/s. 4) A figura abaixo mostra um pulso em uma corda de comprimento L= 100 m e massa m=,0 kg, com as extremidades fixas. O pulso está se deslocando com velocidade v= 40m/s e é descrito pela seguinte função: y(x,t) = 0,10 exp { 4( x vt) } onde x é dado em metros e t em segundos. Nestas condições determine a) a tensão a que a corda está sujeita. b) o valor de x M para o qual a velocidade transversal da corda é máxima em t=0. c) a função que representa o pulso refletido, em um instante de tempo t, logo após sua primeira reflexão. Suponha agora que uma onda senoidal se propague ao longo da direção do eixo x, em sentido negativo, sendo sua amplitude a mesma da onda anterior, em uma corda muito longa, feita do mesmo material, com a mesma tensão acima, com comprimento de onda λ=5,0 m e tal que y(0,0)=0. d) Determine a equação y(x,t) da onda. R: a) = 3 N ; b) 4 { } x M = m ; c) y (x, t) = 0,10 exp 4( x + vt) x 1 d) y (x, t) = 0,10 cos π + 16t ) A figura abaixo mostra duas fotografias tiradas, em instantes de tempo diferentes, de uma corda, na qual se propaga, no sentido positivo do eixo x, uma onda harmônica transversal y(x,t). A primeira fotografia (linha cheia) foi tirada no instante de tempo t = 0 e a segunda fotografia (linha tracejada) no instante de tempo t = 0,50 s.

3 a) Determine a velocidade v de propagação da onda na corda b) Determine a amplitude A, o número de onda k, a freqüência angular ω, a constante de fase δ e escreva a equação do perfil de onda y(x,t) c) Determine a intensidade da onda, sabendo-se que a densidade linear da corda é µ=0,5 kg/m. π R: a) v=,0 m/s ; b) A = 0,10 m, k = m, ω = π s, δ = 0 ; c) =,5 10 π W. 6) Uma corda uniforme, de comprimento L=0 m e massa m=,0 kg, está esticada sob uma tensão =10 N. Faz-se oscilar transversalmente uma extremidade da corda, com amplitude A=3,0 cm e frequência ν=5,0 s -1. O deslocamento inicial da extremidade é y(0,0)=1,5 cm. Nestas condições determine a) a velocidade v de propagação e o comprimento de onda λ da onda progressiva gerada na corda. b) o deslocamento transversal y, como função do tempo t, de um ponto da corda situado à distância x da extremidade que se faz oscilar, após ser atingido pela onda e antes que ela chegue à outra extremidade. c) a intensidade da onda progressiva gerada. R: a) v= 10 m/s ; l=,0 m ; b) 1 9π y (x, t) = 0,03cos π x 10t + ; (c) = W ) Uma onda estacionária resulta da soma de duas ondas transversais progressivas, produzidas em uma corda, dadas por: y 1 (x,t)= 0,05 cos(πx - 4πt) e y (x,t) = 0,05 cos(π x + 4πt) onde y 1,y e x são medidos em metros e o tempo t em segundos. a) Qual é o menor valor positivo de x que corresponde a um nó? b) Em quais instantes de tempo, no intervalo 0 t 0, 5 s, uma partícula da corda, em x = 0 terá velocidade nula? R: a) x = 0,5 m ; b) t = 0, 0,5 e 0,5 s. πx =, onde x e y são 3 8) Uma corda oscila de acordo com a equação y(x, t) 0,50sen cos( 40πt) medidos em centímetros e t em segundos. Nestas condições determine a) a amplitude e a velocidade escalar das ondas cuja superposição dá essa oscilação. b) a distância d entre dois nós consecutivos. 9 c) a velocidade escalar de uma partícula da corda, na posição x = 1,5 cm, quando t = s. 8 y 9 R: a) A = 0,5 cm ; v = 10 cm/s ; b) d= 3,0 cm ; (x = 1,5;t = ) = 0. t 8 9) A corda de um violino tem uma densidade linear de µ= 0,50 g/m e está sujeita a uma tensão =80 N, afinada para uma frequência ν 1 = 660 Hz, no primeiro harmônico. a) Determine a velocidade v de propagação da onda nessa corda b) Qual o comprimento L da corda?

4 c) Para tocar a nota lá, cuja frequência é ν =880 Hz, prende-se a corda com um dedo, de forma a utilizar apenas uma fração f de seu comprimento. Qual o valor de f? 10 R: a) v= 400 m/s ; b) L = m ; c) 33 3 f =. 4 10) Duas ondas transversais, de mesma frequência ν= 100 s -1, são produzidas num fio de aço de diâmetro d=1,0 mm e densidade ρ=8,0 g/cm 3, submetido a uma tensão = 5,0x10 N. As ondas são dadas por π y1(x, t) = Acos kx + ωt + e y(x, t) = Asen( kx ωt), onde A=,0 mm. 6 a) Escreva a expressão y(x,t) da onda harmônica progressiva resultante da superposição dessas duas ondas. b) Calcule a intensidade da onda resultante. MAX c) Se fizermos variar a diferença de fase entre as duas ondas, qual é a razão entre os valores máximo e mínimo possíveis da intensidade da onda resultante? R: a) y (x, t) 5, = cos(,3x 68t + 1,4) ; b) =9,8 W ; c) MAX = 9. MN MN 11) Em um teste, um jato subsônico voa a uma altitude de H 1 =100 m. A intensidade do som no solo, quando o jato passa exatamente acima de um detector, é de 1 =150 db. A que altitude H o jato precisa voar para que o ruído no solo não ultrapasse =10 db, o limite da sensação dolorosa? R: H =3,16 km. 1) Um avião voa a 4 5 da velocidade do som. A explosão sônica alcança um homem no solo exatamente 4 1 minuto depois de o avião ter passado sobre sua cabeça. Sendo a velocidade do som v S =330 m/s, determine a altitude h do avião. R: h=8, km. 13) Um trem-bala move-se com velocidade v =60 m/s para leste O apito do trem emite um som com frequência ν=400hz. Considere a velocidade do som no referencial de repouso da atmosfera como v S =340 m/s. a) Determine a freqüência ν a do som do apito que uma pessoa na estação ouve ao observar o trem passar. b) Considere agora a presença de vento soprando para oeste com velocidade v V =10 m/s. Determine a frequência ν b que a pessoa na estação irá detectar. c) Considere agora que o trem move-se em uma trajetória circular. Qual a frequência ν c do som percebida por alguém no centro da circunferência descrita pelo trem? R: a) ν a =340 Hz ; b) ν b =341 Hz ; c) ν c =400 Hz.

5 14) Dois diapasões idênticos oscilam com freq uência ν=440 Hz. Um indivíduo está localizado em algum lugar na linha entre os dois diapasões. Calcule a freqüência de batimentos captada por esse indivíduo se: a) ele permanece parado e os diapasões se movem para a direita com velocidade de v=30m/s, b) os diapasões estiverem parados e o indivíduo se movendo para a direita com velocidade v=30 m/s. R: a) 80,7 Hz ; b) 80 Hz. 150 Um morcego voa dentro de uma caverna, orientando-se efetivamente por meio de bips ultra-sônicos (emissões curtas de alta freqüência com duração de um milisegundo). Suponha que a freqüência da emissão do som pelo morcego seja de ν m =39, khz. Durante uma arremetida veloz, diretamente contra a superfície plana de uma parede, o morcego desloca-se a v m =8,58 m/s. Calcule a freqüência ν R do som refletido pela parede que chega aos ouvidos do do morcego. Considere v S =340 m/s. R: a) ν R =41,3 Hz.

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