Universidade de São Paulo. Instituto de Física. FEP112 - FÍSICA II para o Instituto Oceanográfico 1º Semestre de 2009

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1 Universidade de São Paulo Instituto de Física FEP11 - FÍSICA II para o Instituto Oceanográfico 1º Semestre de 9 Primeira Lista de Exercícios Oscilações 1) Duas molas idênticas, cada uma de constante, estão ligadas a um mesmo bloco de massa m, sendo que as outras extremidades das molas estão fixas em suportes rígidos, como mostrado abaixo. Mostre que a freqüência angular ω de oscilação do bloco sobre a superfície horizontal sem atrito é dada por: ω m Suponha agora que as duas molas sejam conectadas ao bloco de massa m, conforme indicado na figura abaixo. Mostre que, neste caso, a frequência de oscilação ω é dada por: ω m

2 ) Uma pequena plataforma oscila com freqüência ν 4, Hz e com amplitude A7, cm, presa numa mola vertical. Uma pequena conta é pousada suavemente na plataforma no exato momento em que esta se encontra na posição mais baixa, como mostrado na figura. Admita que a conta seja tão leve que não altere perceptivelmente a oscilação. a) A que distância d da posição de equilíbrio a conta perde contanto com a plataforma? b) Qual a velocidade da conta no instante em que abandona a plataforma? R: a) d1,6 cm acima da posição de equilíbrio; b) v1,7 m/s 3) Uma mola de massa desprezível está suspensa no teto, com um pequeno objeto de massa m 1 preso a sua extremidade inferior. O objeto é mantido inicialmente em repouso, numa posição y i tal que a mola não fique esticada. O objeto é então liberado e oscila para cima e para baixo, sendo sua posição mais baixa 1 cm em relação à y i. a) Qual a freqüência angular da oscilação? b) Qual a velocidade v do objeto quando o mesmo se encontra 8, cm abaixo da posição inicial? c) Um objeto de massa m,3 g é ligado ao primeiro objeto. Nessas condições o sistema oscila passa a oscilar freqüência igual à com metade da freqüência original. Qual a massa m 1 do primeiro objeto? d) Em relação à y i, qual será o ponto de equilíbrio, com ambos os objetos presos a mola? R: a) ω 14 rad/s ; b) v,56 m/s ; c) m 1,1 g ; d), m 4) Um disco de massa M, preso por uma mola, de constante elástica e massa desprezível, a uma parede vertical, desliza sem atrito sobre uma mesa de ar horizontal. Um bloquinho de massa m está colocado sobre o disco conforme mostrado na figura, cuja superfície tem um coeficiente de atrito estático µ e,. Sendo o coeficiente de atrito estático entre o disco e o bloco µ e, determine a amplitude máxima A max de oscilação do disco para que o bloquinho não escorregue sobre o bloco. R: Α max µ e (m + M)g

3 5) Um bloco de massa M, em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito, preso a uma mola de constante. Uma bala de massa m e velocidade v atinge o bloco no instante de tempo t $, conforme é indicado na figura. A bala, após o impacto, permanece dentro do bloco que é lançado para frente. Nessas condições determine a) a velocidade V do bloco imediatamente após a colisão. b) a expressão do deslocamento x(t) do sistema para t >. m m v R: a) V v ; b) x(t) Acos ( ωt), com A e ω m + M m + M ω (m + M) 6) Uma mola horizontal sem massa está ligada ao eixo de rotação que passa pelo centro de massa de um cilindro sólido, de massa M, de forma que ele possa rolar, sem deslizamento, sobre uma superfície horizontal, conforme figura. Mostre que nessas condições o centro de massa do cilindro executa um movimento harmônico 3M simples com período Τ π. 7) Um pêndulo formado por uma barra de massa desprezível e comprimento l com uma massa m suspensa, está ligado em seu ponto médio a uma mola horizontal de massa desprezível e constante elástica, com a outra extremidade fixa e relaxada quando o pêndulo está em equilíbrio vertical. Calcule a frequência angular ω para pequenas oscilações do pêndulo no plano vertical. R: ω g + 4m l 8) Determine o movimento resultante de dois movimentos harmônicos simples na mesma π direção, dados por: x (t) cos ( ω t - ) e x (t) sen ( ω t). 1 6

4 9) Um pêndulo simples de comprimento L1, m é abandonado do repouso de um ângulo inicial de 15 o. Após 1 s, sua amplitude inicial é reduzida para 5,5 o. Nessas condições determine o valor da constante de amortecimento γ. R: γ, s -1. 1) Um oscilador harmônico amortecido consiste em um bloco de massa m, g, uma mola de constante elástica 1 N/m imerso em um sistema sujeito à uma força de resistência viscosa F -ρv. Inicialmente, ele oscila com amplitude A 5 cm. Devido ao amortecimento, a amplitude é reduzida para três quartos do seu valor inicial, quando são completadas quatro oscilações. Nessas condições determine a) a constante de amortecimento ρ. b) a energia dissipada E durante as oscilações R: (a) ρ,1 g/s ; (b) E,14 J. 11) Considere uma situação em que você está examinando as características do sistema de suspensão de um automóvel de,x1 3 g. A suspensão cede 1 cm, quando o peso do automóvel inteiro é colocado sobre ela. Além disso, a amplitude da oscilação diminui 5% durante uma oscilação completa. Estime os valores de e ρ para o sistema de mola e amortecedor em uma roda, considerando que cada uma suporta,5x1 3 g. R: 4,9x1 4 N/m e ρ1,1x1 3 g/s. 1) Um oscilador não amortecido de massa m e freqüência própria ω move-se sob a ação de uma força externa F F sen(ω t), partindo da posição de equilíbrio com velocidade inicial nula. Determine o deslocamento x(t). F Ω R: x(t) sen ( Ω t) - sen ( ω t) m( ω Ω ) ω 13) Para um oscilador de massa m, freqüência livre ω e constante de amortecimento γ, sujeito à força externa F F cos( ω t), calcule: a) o valor da frequência Ω, para o qual a amplitude de oscilação estacionária é máxima, e o valor máximo da amplitude A max b) o valor da frequência Ω para o qual a velocidade tem amplitude máxima, e o valor do máximo da velocidade v max R: a) Ω ω γ e A max F mγ( ω γ ) 4 ; b) F Ω ω e v max mγ

5 14) Um corpo de massa m 5, g está suspenso por uma mola de constante elástica 1,5 x1 4 N/m. Uma força harmônica de amplitude f max 45, N atua sobre o corpo ao longo da direção vertical. Considerando-se a existência de atrito viscoso com coeficiente ρ 1 N.s/m, determine para o regime estacionário: a) a freqüência de ressonância Ω R. b) a amplitude máxima A max na ressonância. c) a defasagem ϕ entre o máximo da força harmônica e o máximo da amplitude. R: a) Ω 15,8 rad/ s ; b) A max,3 m ; c) ϕ π 15) Um corpo de massa m5 g está preso a uma mola de constante N/m e oscila, inicialmente livremente. Esse oscilador é posteriormente colocado num meio cujo coeficiente de atrito viscoso é ρ,9 g/s. Depois disso o oscilador, ainda no meio viscoso, é excitado por uma força externa F(t)F cos(ωt), onde F 9, N e Ω rad/s. a) Determine a frequência de natural de oscilação ω. b) Depois que a força externa é aplicada, e que o sistema entrou em regime estacionário, determine o valor da amplitude de oscilação A do movimento. c) Para que valor da frequência externa a amplitude de oscilação será máxima? R: a) ω rad/s ; b) A,5 m ; c) Ω R 38 rad/s