Vibrações e Dinâmica das Máquinas Aula Fundamentos de vibrações. Professor: Gustavo Silva

Transcrição

1 Vibrações e Dinâmica das Máquinas Aula Fundamentos de vibrações Professor: Gustavo Silva 1

2 1.Movimentos Movimento oscilatório é qualquer movimento onde o sistema observado move-se em torno de uma certa posição, não sendo necessário algum padrão repetitivo definido. Um exemplo de movimento oscilatório pode ser um veículo que passa por diversas lombadas sem que as mesmas estejam necessariamente espaçadas uniformemente. Movimento periódico é um caso de movimento oscilatório em particular. Neste caso o movimento padrão repete-se em iguais intervalos de tempo. Este intervalo de tempo é chamado de período. A chamada frequência é o inverso do período, ou seja, enquanto o período é dado pelo tempo necessário para que haja um ciclo, a frequência é dada pelo número de ciclos ocorridos em um determinado tempo. Movimento harmônico é um caso particular de movimento periódico. Neste caso o padrão de movimento pode ser descrito por uma função seno ou cosseno. 2

3 2.Frequência natural e Ressonância Frequência natural é a frequência na qual um sistema conservativo ou subamortecido vibra livre quando sujeito a condições iniciais. Ressonância é o fenômeno que ocorre quando se excita um sistema conservativo com uma força harmônica cuja frequência coincide com uma de suas frequências naturais. A resposta do sistema cresce indefinidamente. 3

4 3. Vibração livre e forçada Vibração livre ocorre quando um sistema recebe uma perturbação inicial e logo após o mesmo continua a vibrar por conta própria. Um exemplo de vibração livre é o movimento de um pêndulo após o mesmo receber uma condição inicial de deslocamento ou de velocidade. Vibração forçada ocorre quando o sistema é sujeito a uma força externa. Se um motor desbalanceado em funcionamento está sobre uma bancada, esta bancada está vibrando com a chamada vibração forçada. 4

5 4. Vibração não amortecida e amortecida Vibração não amortecida: ocorre em sistemas conservativo, ou seja, sistemas onde não existe perda ou dissipação de energia de nem uma forma. Neste caso, após o sistema receber uma excitação, o mesmo vibrará por tempo indeterminado. Vibração amortecida: se um sistema dissipativo (amortecido) receber uma martelada, o mesmo vibrará por um tempo determinado e voltará ao repouso. Isto ocorre pois a energia do sistema está sendo dissipada de alguma forma. 5

6 5. Vibração livre de sistemas de 1 GL K x C m F 6

7 5. Vibração livre de sistemas de 1 GL m x + c x + kx = F EDM: Neste caso a equação homogênea associada (quando a força de excitação é igual a zero) é: m x + c x + kx = 0 Trabalharemos com a equação homogênea pois o problema de vibração livre analisa o sistema quando a força externa excitadora é nula. K C x m F Neste caso o sistema irá se movimentar quando for aplicado uma condição inicial de deslocamento ou de velocidade. 7

8 5. Vibração livre de sistemas de 1 GL Equação homogênea: x m x + c x + kx = 0 K A solução que proponho é: x = Ce st C m F Derivando para encontrar a velocidade e a aceleração: x = Ce st x = Cse st x = Cs²e st onde C e s são constantes a determinar. 8

9 5. Vibração livre de sistemas de 1 GL Substituindo os valores de x na equação homogênea: x ms 2 + cs + k Ce st = 0 K Analisando a equação: -Se C é igual a 0, x é igual a 0. Neste caso meu sistema está parado. Logo, apesar de satisfazer minha equação, esta solução não nos interessa. -e st nunca será 0. Se S for real, o produto nunca será igual a 0, se S for complexo, o módulo do produto será sempre igual a 1. -Nos resta o termo ms² + cs + k ser igual a 0. C x = Ce st m F Polinômio característico: ms² + cs + k = 0 9

10 5. Vibração livre de sistemas de 1 GL Encontrando as raízes do polinômio característico: ms² + cs + k = 0 K x S 1,2 = c 2m ± c 2m 2 k m C m F -Se a parcela dentro da raiz quadrada for maior que 0, a raiz será um número real, assim possuo como solução dois números reais distintos. -Se o termo for igual a 0, teremos duas soluções reais e igual. -Se o termo for negativo, teremos duas raízes complexas. x = Ce st 10

11 5. Vibração livre de sistemas de 1 GL Definições: x Frequência natural: ω n = k m [rad/s] K C m F Coeficiente de amortecimento crítico: c cr 2m 2 Razão de amortecimento: ζ = c c cr = k m = 0 c cr = 2 km = 2mω n c 2mω n S 1,2 = c [Ns/m] m ± c 2m 2 k m 11

12 5. Vibração livre de sistemas de 1 GL Equação de movimento em função de m, c e k: m x + c x + kx = 0 K x Equação de movimento em função dos parâmetros modais: x + c m x + k m x = 0 C m F x + 2ζω n x + ω n ²x = 0 S 1,2 = c m ± c 2m 2 k m 12

13 5. Vibração livre de sistemas de 1 GL Análise das minha raízes: S 1,2 = c 2m ± S 1,2 = cc cr 2mc cr ± c 2m 2 cc cr 2mc cr k m 2 k m S 1,2 = ζω n ± ω n ζ 2 1 S 1,2 = ζω n ± ω n 1(1 ζ 2 ) S 1,2 = ζω n ± jω n 1 ζ 2 S 1,2 = ζω n ± ζω n 2 ω n ² S 1,2 = ζω n ± ω n ²(ζ 2 1) 13

14 5. Vibração livre de sistemas de 1 GL S 1,2 = c 2m ± c 2m 2 k m S 1,2 = ζω n ± ω n ζ 2 1 S 1,2 = ζω n ± jω n 1 ζ 2 Análise de ζ: -ζ = 0 S 1,2 = ±jω n Sistema conservativo -0 < ζ < 1 S 1,2 = ζω n ± jω n 1 ζ 2 Sistema sub-amortecido -ζ = 1 S 1,2 = ζω n Sistema criticamente amortecido -ζ > 1 S 1,2 = ζω n ± ω n ζ 2 1 Sistema superamortecido 14

15 6. Solução para sistemas 1GL- Vibração livre- Sistemas não amortecidos Para o caso de um sistema não amortecido, a equação de movimento m x + c x + kx = 0 passa a ser: m x + kx = 0 Logo, o polinômio característico da equação diferencial é dado por: ms² + k = 0 Vimos que a solução para equação diferencial pode ser dada por: x(t) = Ce st Assim, a chamada solução geral pode ser escrita: x t = C 1 e s1t + C 2 e s2t Onde C1 e C2 são constantes 15

16 6. Solução para sistemas 1GL- Vibração livre- Sistemas não amortecidos Lembrando que para um sistema conservativo (sem amortecimento) ζ = 0 S 1,2 = ±jω n Podemos escrever a solução geral substituindo as raízes S1 e S2: x t = C 1 e jω nt + C 2 e jω nt Das relações de Euler e ±iθ = cos θ ± j sin θ temos: x(t) = C 1 (cos ω n t + j sin ω n t) + C 2 (cos ω n t j sin ω n t) x(t) = (C 1 + C 2 ) cos ω n t + j C 1 C 2 sin ω n t Por fim temos que nossa resposta temporal pode ser dada por: x(t) = A 1 cos ω n t + A 2 sin ω n t Onde A1 e A2 são novas constantes. 16

17 6. Solução para sistemas 1GL- Vibração livre- Sistemas não amortecidos A1 e A2 podem ser determinadas pelas condições iniciais do sistema. No nosso caso, onde temos uma equação diferencial de segunda ordem, são necessárias duas condições iniciais para determinarmos A1 e A2. Se o valor do deslocamento inicial x 0 em t = 0 e da velocidade inicial x 0 em t = 0 forem especificados: x t = 0 = A 1 = x 0 x t = 0 = ω n A 2 = x 0 Substituindo em x(t) = A 1 cos ω n t + A 2 sin ω n t x(t) = x 0 cos ω n t + x 0 ω n sinω n t 17

18 6. Solução para sistemas 1GL- Vibração livre- Sistemas não amortecidos Considerando A1 e A2 como sendo: A 1 = A cos φ A 2 = A sin φ onde A e φ são novas constantes que podem ser expressas da forma: A = A 1 2 +A 2 2 =[x ( x 0 ω n )²] 1/2 = Amplitude φ = tg 1 ( A 2 A 1 )=tg 1 x 0 x 0 ω n Substituindo A 1 e A 2 em x(t) = A 1 cos ω n t + A 2 sin ω n t x(t) = A cos(ω n t φ) = Ângulo de fase 18

19 Usando as relações : A 1 = A 0 sin φ A 2 = A 0 cos φ 6. Solução para sistemas 1GL- Vibração livre- Sistemas não amortecidos onde A e φ são novas constantes que podem ser expressas da forma: A 0 =[x ( x 0 ω n )²] 1/2 = Amplitude φ 0 =tg 1 x 0ω n x 0 Substituindo A 1 e A 2 em x(t) = A 1 cos ω n t + A 2 sin ω n t x(t) = A 0 sin(ω n t + φ 0 ) = Ângulo de fase 19

20 6. Solução para sistemas 1GL- Vibração livre- Sistemas não amortecidos 20