Estabilidade Dinâmica
|
|
|
- Raphael Brezinski da Cunha
- 5 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Estabilidade Dinâmica João Oliveira Departamento de Engenharia Mecânica, Área Científica de Mecânica Aplicada e Aeroespacial Instituto Superior Técnico Estabilidade de Voo, Eng. Aeroespacial Versão de 26 de Novembro de 2010 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 1 / 62
2 Sumário Introdução Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Sistemas de equações diferenciais Modos do sistema Exemplo: Modos longitudinais Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Modo de período curto aproximado Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 2 / 62
3 Introdução Sumário Introdução Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Sistemas de equações diferenciais Modos do sistema Exemplo: Modos longitudinais Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Modo de período curto aproximado Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 3 / 62
4 Introdução Objectivo Neste capítulo pretende-se: estudar os métodos de resolução das equações para pequenas perturbações (sem controlo); João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 4 / 62
5 Introdução Objectivo Neste capítulo pretende-se: estudar os métodos de resolução das equações para pequenas perturbações (sem controlo); estudar as características habituais das soluções (e definir os «modos») João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 4 / 62
6 Introdução Objectivo Neste capítulo pretende-se: estudar os métodos de resolução das equações para pequenas perturbações (sem controlo); estudar as características habituais das soluções (e definir os «modos») encontrar expressões aproximadas para os modos longitudinais e laterais João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 4 / 62
7 Introdução Estado estacionário Recorde-se que as equações do movimento para pequenas perturbações foram deduzidas supondo o seguinte estado estacionário: Movimento rectilíneo uniforme João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 5 / 62
8 Introdução Estado estacionário Recorde-se que as equações do movimento para pequenas perturbações foram deduzidas supondo o seguinte estado estacionário: Movimento rectilíneo uniforme Aceleração linear nula: u0 = v 0 = ẇ 0 = 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 5 / 62
9 Introdução Estado estacionário Recorde-se que as equações do movimento para pequenas perturbações foram deduzidas supondo o seguinte estado estacionário: Movimento rectilíneo uniforme Aceleração linear nula: u0 = v 0 = ẇ 0 = 0 Velocidade angular nula: p0 = q 0 = r 0 = 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 5 / 62
10 Introdução Estado estacionário Recorde-se que as equações do movimento para pequenas perturbações foram deduzidas supondo o seguinte estado estacionário: Movimento rectilíneo uniforme Aceleração linear nula: u0 = v 0 = ẇ 0 = 0 Velocidade angular nula: p0 = q 0 = r 0 = 0 Não há derrapagem: v 0 = 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 5 / 62
11 Introdução Estado estacionário Recorde-se que as equações do movimento para pequenas perturbações foram deduzidas supondo o seguinte estado estacionário: Movimento rectilíneo uniforme Aceleração linear nula: u0 = v 0 = ẇ 0 = 0 Velocidade angular nula: p0 = q 0 = r 0 = 0 Não há derrapagem: v 0 = 0 Asas niveladas: φ = 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 5 / 62
12 Introdução Estado estacionário Recorde-se que as equações do movimento para pequenas perturbações foram deduzidas supondo o seguinte estado estacionário: Movimento rectilíneo uniforme Aceleração linear nula: u0 = v 0 = ẇ 0 = 0 Velocidade angular nula: p0 = q 0 = r 0 = 0 Não há derrapagem: v 0 = 0 Asas niveladas: φ = 0 Ângulo de rumo nulo: ψ = 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 5 / 62
13 Introdução Estado estacionário Recorde-se que as equações do movimento para pequenas perturbações foram deduzidas supondo o seguinte estado estacionário: Movimento rectilíneo uniforme Aceleração linear nula: u0 = v 0 = ẇ 0 = 0 Velocidade angular nula: p0 = q 0 = r 0 = 0 Não há derrapagem: v 0 = 0 Asas niveladas: φ = 0 Ângulo de rumo nulo: ψ = 0 Eixos de estabilidade: Eixo Cx V. Logo: w 0 = 0 α x = 0 θ 0 coincide com o ângulo de subida João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 5 / 62
14 Introdução Forma geral das equações para pequenas perturbações Como se viu anteriormente, a forma geral das equações do movimento para pequenas perturbações é: ẋ = A x + f c x é o vector de estado (vector das variáveis de estado) A é a matriz do sistema f c é o vector dos incrementos das forças e momentos de controlo relativamente ao estado estacionário (não vai ser usado neste capítulo) João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 6 / 62
15 Introdução Movimento longitudinal Vector de estado: u x = w q θ Matriz do sistema: A = 1 I y ( X u m X wm 0 g cos θ 0 Z u m Zẇ ) M u + M ẇ Z u m Zẇ ( 1 I y Z w m Zẇ ) M w + M ẇ Z w m Zẇ ( 1 I y (mu 0 +Z q) m Zẇ M q + M ) ẇ (mu 0 +Z q) m Zẇ mg sin θ 0 m Zẇ Mẇ mg sin θ 0 I y (m Zẇ ) João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 7 / 62
16 Introdução Movimento Lateral Vector de estado: v x = p r φ Matriz do sistema: ( ) Y v Y p Yp m m m u 0 g cos θ 0 ( ) ( ) ( ) Lv I + x A = I zx N Lp v I + x I zx N Lr p I + x I zx N r 0 ( ) ( ) ( ) I zx L v + N v I I z zx L p + N p I I z zx L r + N r 0 I z 0 1 tan θ 0 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 8 / 62
17 Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Sumário Introdução Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Sistemas de equações diferenciais Modos do sistema Exemplo: Modos longitudinais Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Modo de período curto aproximado Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 9 / 62
18 Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Equação diferencial ordinária de 1ª ordem Uma equação diferencial de primeira ordem: ẋ = ax dx x = a João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 10 / 62
19 Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Equação diferencial ordinária de 1ª ordem Uma equação diferencial de primeira ordem: ẋ = ax dx x = a tem soluções da forma: x(t) = x 0 e λt desde que λ = a. Note-se que x 0 é o valor para t = 0. João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 10 / 62
20 Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Sistemas de equações diferenciais Solução de sistemas de equações diferenciais O sistema de equações é: Supomos soluções da forma ẋ = A x x(t) = x 0 e λt João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 11 / 62
21 Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Sistemas de equações diferenciais Solução de sistemas de equações diferenciais O sistema de equações é: ẋ = A x Supomos soluções da forma x(t) = x 0 e λt Logo ẋ = λx 0 e λt λx 0 e λt = A x 0 e λt λx 0 = A x 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 11 / 62
22 Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Sistemas de equações diferenciais Solução de sistemas de equações diferenciais O sistema de equações é: ẋ = A x Supomos soluções da forma x(t) = x 0 e λt Logo ẋ = λx 0 e λt λx 0 e λt = A x 0 e λt λx 0 = A x 0 (A λi)x 0 = 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 11 / 62
23 Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Sistemas de equações diferenciais Equação aos valores próprios A equação (A λi)x 0 = 0 é a equação aos valores próprios da matriz A. João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 12 / 62
24 Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Sistemas de equações diferenciais Equação aos valores próprios A equação (A λi)x 0 = 0 é a equação aos valores próprios da matriz A. Só tem soluções não triviais se det(a λi) = 0 (equação característica do sistema) João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 12 / 62
25 Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Sistemas de equações diferenciais Equação aos valores próprios A equação (A λi)x 0 = 0 é a equação aos valores próprios da matriz A. Só tem soluções não triviais se det(a λi) = 0 (equação característica do sistema) λ é um valor próprio de A x 0 é um vector próprio correspondente a λ João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 12 / 62
26 Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Sistemas de equações diferenciais Solução geral Uma matriz N N tem N valores próprios λ 1,..., λ N João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 13 / 62
27 Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Sistemas de equações diferenciais Solução geral Uma matriz N N tem N valores próprios λ 1,..., λ N (que supomos todos diferentes, para simplificar a exposição). João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 13 / 62
28 Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Sistemas de equações diferenciais Solução geral Uma matriz N N tem N valores próprios λ 1,..., λ N (que supomos todos diferentes, para simplificar a exposição). Logo, a solução geral será uma sobreposição dos modos correspondentes a cada valor/vector próprio: x(t) = N x 0k e λ kt k=1 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 13 / 62
29 Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Sistemas de equações diferenciais Solução geral Uma matriz N N tem N valores próprios λ 1,..., λ N (que supomos todos diferentes, para simplificar a exposição). Logo, a solução geral será uma sobreposição dos modos correspondentes a cada valor/vector próprio: Para uma matriz 4 4: x(t) = N x 0k e λ kt k=1 x(t) = x 01 e λ 1t + x 02 e λ 2t + x 03 e λ 3t + x 04 e λ 4t João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 13 / 62
30 Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Modos do sistema Valores próprios de uma matriz real A matriz do sistema, A, é uma matriz real. João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 14 / 62
31 Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Modos do sistema Valores próprios de uma matriz real A matriz do sistema, A, é uma matriz real. Os valores próprios de uma matriz real são: reais ou pares de valores próprios complexos conjugados João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 14 / 62
32 Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Modos do sistema Valores próprios de uma matriz real A matriz do sistema, A, é uma matriz real. Os valores próprios de uma matriz real são: reais ou pares de valores próprios complexos conjugados Para uma matriz 4 4 temos: 4 valores próprios reais ou 2 valores próprios reais e um par de complexos conjugados ou 2 pares de valores próprios complexos conjugados João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 14 / 62
33 Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Modos do sistema Pares de valores próprios complexos conjugados Podemos escrever os valores próprios λ 1 e λ 2 como: λ 1 = n + iω x 1 = a 1 e λ 1t λ 2 = n iω x 2 = a 2 e λ 2t a 1 e a 2 são constantes complexas conjugadas (porque dependem de vectores próprios correspondentes a valores próprios complexos conjugados). Pretendemos determinar o resultado da soma dos modos correspondentes a este par de valores próprios. João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 15 / 62
34 Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Modos do sistema Pares de valores próprios c. c. (2) x 1 + x 2 = a 1 e λ1t + a 2 e λ 2t = a 1 e (n+iω)t + a 2 e (n iω)t ( = e nt a 1 e iωt + a 2 e iωt) = e nt ((a 1 + a 2 ) cos(ωt) + i(a 1 a 2 ) sin(ωt)) = e nt (A 1 cos(ωt) + A 2 sin(ωt)) Sendo a 1 e a 2 complexos conjugados, e fazendo a 1,2 = α ± iβ, vem A 1 = a 1 + a 2 = 2α A 2 = i(a 1 a 2 ) = 2β (real!) (real!) João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 16 / 62
35 Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Modos do sistema Modos possíveis se dois valores próprios são complexos conjugados, obtemos um modo oscilatório com: João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 17 / 62
36 Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Modos do sistema Modos possíveis se dois valores próprios são complexos conjugados, obtemos um modo oscilatório com: frequência angular ω João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 17 / 62
37 Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Modos do sistema Modos possíveis se dois valores próprios são complexos conjugados, obtemos um modo oscilatório com: frequência angular ω período T = 2π/ω João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 17 / 62
38 Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Modos do sistema Modos possíveis se dois valores próprios são complexos conjugados, obtemos um modo oscilatório com: frequência angular ω período T = 2π/ω amplitude variando exponencialmente João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 17 / 62
39 Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Modos do sistema Modos possíveis se dois valores próprios são complexos conjugados, obtemos um modo oscilatório com: frequência angular ω período T = 2π/ω amplitude variando exponencialmente aumenta se n > 0 diminui se n < 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 17 / 62
40 Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Modos do sistema Modos possíveis se dois valores próprios são complexos conjugados, obtemos um modo oscilatório com: frequência angular ω período T = 2π/ω amplitude variando exponencialmente aumenta se n > 0 diminui se n < 0 se um valor próprio é real, obtemos um modo ae λt cuja «amplitude»: João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 17 / 62
41 Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Modos do sistema Modos possíveis se dois valores próprios são complexos conjugados, obtemos um modo oscilatório com: frequência angular ω período T = 2π/ω amplitude variando exponencialmente aumenta se n > 0 diminui se n < 0 se um valor próprio é real, obtemos um modo ae λt cuja «amplitude»: aumenta se λ > 0 diminui se λ < 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 17 / 62
42 Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Modos do sistema Modos possíveis (2) Modos estáveis: Re(λ) < 0 Parâmetros importantes: Período (quando há) t 1/2 ou t dobro correspondente número de ciclos (quando há) João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 18 / 62
43 Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Modos do sistema Parâmetros importantes Tempo necessário para a amplitude passar a metade/dobro: t 1/2 ou t 2 Número de ciclos necessário para a amplitude passar a metade/dobro: N 1/2 ou N 2 e n t 1/2 = 1 2 t 1/2 = log 1/2 n = log 2 n e n t 2 = 2 t 2 = log 2 n = log 2 n N 1/2 = t 1/2 T N 2 = t 2 T João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 19 / 62
44 Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Modos do sistema Parâmetros importantes (2) Frequência natural: ω n = ω 2 + n 2 Factor de amortecimento: ζ = n ω n t 1/2 = log 2 ζ ω n N 1/2 = ω 2π log 2 = log 2 ζ ω n 2π 1 ζ 2 ζ João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 20 / 62
45 Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Modos do sistema Critério de estabilidade de Routh (1) Equação característica do sistema: det(a λi) = 0 Para sistemas de 4ª ordem é polinómio de grau 4: Aλ 4 + Bλ 3 + Cλ 2 + Dλ + E = 0 Critério de Routh-Hurwitz: é c.n.s. para que todas as raízes tenham parte real negativa (logo: que o sistema seja estável) que: B > 0 D > 0 E > 0 R = D(BC AD) B 2 E > 0 (discriminante de Routh) Notas: Supomos que A > 0; as condições anteriores implicam C > 0. João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 21 / 62
46 Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Modos do sistema Critério de estabilidade de Routh (2) Normalmente E > 0 e R > 0 representam casos críticos significativos. Se uma configuração de uma aeronave é estável e um parâmetro de projecto é alterado de forma que passa a haver uma instabilidade, então: se apenas E passa a negativo: uma raiz real passa de negativa a positiva; se apenas R passa a negativo: a parte real de um par de raízes complexas conjugadas passa de negativa a positiva. E = 0 e R = 0 definem fronteiras entre regiões de estabilidade e instabilidade. João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 22 / 62
47 Exemplo: Modos longitudinais Sumário Introdução Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Sistemas de equações diferenciais Modos do sistema Exemplo: Modos longitudinais Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Modo de período curto aproximado Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 23 / 62
48 Exemplo: Modos longitudinais Descrição do exemplo Neste exemplo vamos determinar os modos longitudinais de um 747. Passos a seguir: Cálculo das derivadas dimensionais (conhecidas as adimensionais) Cálculo dos elementos da matriz A Determinação das soluções da equação característica (valores próprios de A) Para cada valor próprio determinar o respectivo vector próprio (a menos de uma constante multiplicativa) João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 24 / 62
49 Exemplo: Modos longitudinais Características da aeronave Voo horizontal a ft e com Ma = 0.8 I x = kg m 2 S = m 2 c = 8.324m I y = kg m 2 W = N u 0 = 235.9m/s I z = kg m 2 ρ = kg/m 3 θ 0 = 0 I xz = kg m 2 C L0 = C D0 = Derivadas adimensionais: C x C z C m û α ˆq ˆ α João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 25 / 62
50 Exemplo: Modos longitudinais Derivadas dimensionais Derivadas dimensionais: X (N) Z (N) M (Nm) u (m/s) w (m/s) q (rad/s) ẇ (m/s 2 ) João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 26 / 62
51 Exemplo: Modos longitudinais Matriz do sistema Usando as derivadas acima, determinam-se todos os termos da matriz do sistema: A = Nota: não está calculada em SI João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 27 / 62
52 Exemplo: Modos longitudinais Equação característica det(a λi) = 0 λ λ λ λ = 0 Critérios de estabilidade: E = > 0 R = D(BC AD) B 2 E = > 0 Logo todos os modos vão ser estáveis. João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 28 / 62
53 Exemplo: Modos longitudinais Zeros da equação característica Zeros (valores próprio de A): λ 1,2 = ± i (modo fugóide) λ 3,4 = ± i (modo de período curto) Características de cada modo Modo Período (s) t 1/2 (s) N 1/2 Fugóide Período curto João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 29 / 62
54 Exemplo: Modos longitudinais Determinação dos vectores próprios Os vectores próprios x 0 são as soluções da equação (A λi)x 0 = 0. São determinados a menos de uma constante multiplicativa. Vectores próprios obtidos para o 747 Fugóide Período curto Módulo Fase Módulo Fase û º º α = ŵ º º ˆq º º θ 1.0 0º 1.0 0º João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 30 / 62
55 Exemplo: Modos longitudinais Oscilações do modo fugóide 1.0 Θ u 0.5 Α Variações grandes de vel. longitudinal u ângulo de picada θ Variações desprezáveis de ângulo de ataque α vel. angular de picada q João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 31 / 62
56 Exemplo: Modos longitudinais Oscilações do modo de período curto Θ u Α q Variações grandes de ângulo de ataque α ângulo de picada θ Variações desprezáveis de vel. longitudinal u vel. angular de picada q João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 32 / 62
57 Exemplo: Modos longitudinais Resumo dos modos fugóide e de período curto Fugóide: oscilações da velocidade longitudinal a ângulo de ataque constante longo período pouco amortecido Período curto: variações do ângulo de ataque a velocidade constante período curto muito amortecido João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 33 / 62
58 Modos longitudinais aproximados Sumário Introdução Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Sistemas de equações diferenciais Modos do sistema Exemplo: Modos longitudinais Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Modo de período curto aproximado Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 34 / 62
59 Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Modo fugóide aproximado Modo fugóide: oscilações de u θ com pequena variação de α q João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 35 / 62
60 Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Aproximação de Lanchester (1) Hipóteses: João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 36 / 62
61 Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Aproximação de Lanchester (1) Hipóteses: α T = 0 α = 0 T = D (eixos de estabilidade) João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 36 / 62
62 Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Aproximação de Lanchester (1) Hipóteses: α T = 0 α = 0 T = D (eixos de estabilidade) Tendo em conta que: L V não realiza trabalho T = D não há forças tangenciais (excepto peso) a única força que produz trabalho (peso) é conservativa conclui-se que há conservação da energia. João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 36 / 62
63 Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Aproximação de Lanchester (2) Origem do referencial F E : definida de modo que V = u 0 quando z E = 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 37 / 62
64 Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Aproximação de Lanchester (2) Origem do referencial F E : definida de modo que V = u 0 quando z E = 0 Conservação de energia: João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 37 / 62
65 Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Aproximação de Lanchester (2) Origem do referencial F E : definida de modo que V = u 0 quando z E = 0 Conservação de energia: E = 1 2 mv 2 mgz E = cte = 1 2 mu2 0 V 2 = u gz E João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 37 / 62
66 Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Aproximação de Lanchester (2) Origem do referencial F E : definida de modo que V = u 0 quando z E = 0 Conservação de energia: E = 1 2 mv 2 mgz E = cte = 1 2 mu2 0 V 2 = u gz E Mas α = 0 C L = C L0 = C W0 (q é pequeno não afecta C L ) L = 1 2 ρv 2 SC W0 = 1 2 ρu2 0 SC W ρ2gz ESC W0 = = W + kz E com k = (ρsgc W0 ) João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 37 / 62
67 Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Aproximação de Lanchester (3) Equação do movimento segundo z: W L cos θ = m z E θ 1 W L = m z E W (W + kz E ) = m z E Obtém-se equação de movimento harmónico simples: m z E + kz E = 0 k Oscilações verticais de frequência: ω = m. Por conservação de energia, há também oscilações em V = u 0 + u. João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 38 / 62
68 Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Aproximação de Lanchester (4) Período das oscilações T = 2π ω = 2π m k = 2π Usando C W0 = mg/( 1 2 ρu2 0S), vem m ρsgc W0 T = π 2 u 0 g O período depende apenas de u 0! (Não depende da aeronave, nem de ρ). João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 39 / 62
69 Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Aproximação de Lanchester (5) Comparação com o resultado obtido para o 747: T exacto = 93s T aprox = 107s João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 40 / 62
70 Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Aproximação de Lanchester (5) Comparação com o resultado obtido para o 747: T exacto = 93s T aprox = 107s Conclusão: obtém-se valores aproximados para o período, mas João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 40 / 62
71 Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Aproximação de Lanchester (5) Comparação com o resultado obtido para o 747: T exacto = 93s T aprox = 107s Conclusão: obtém-se valores aproximados para o período, mas não há amortecimento das oscilações João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 40 / 62
72 Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Modo fugóide: outra aproximação Outra abordagem: usar as aproximações directamente nas equações do movimento para obter sistemas de ordem inferior à inicial. Aproximações: { q pequeno ẇ pequeno q pequeno M 0 θ 0 = 0 { Z Zu u + Z w w M M u u + M w w João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 41 / 62
73 Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Equações do movimento para o modo fugóide aproximado (1) Omitindo os termos de controlo, as equações para o movimento longitudinal são: u = X u m u + X w m w + g cos θ 0 θ }{{} ẇ = Z u m u + Z w m w + Z ẇ m ẇ + Z q }{{} m q g sin θ 0 θ + u }{{} 0 q }{{} q = M 1 (M }{{} u u + M w w) I y I y 0 θ = q 1 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 42 / 62
74 Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Equações do movimento para o modo fugóide aproximado (2) Com as aproximações indicadas anteriormente obtemos: u = X u m u + X w m w + g θ ẇ = Z u m u + Z w m w + u 0q 0 = M u u + M w w θ = q João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 43 / 62
75 Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Equações do movimento para o modo fugóide aproximado (3) Na forma matricial: u ẇ 0 θ = X u m X w m 0 g Z u m Z w m u 0 0 M u M w u w q θ João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 44 / 62
76 Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Equações para o modo fugóide aproximado (3) Admitindo soluções na forma x = x 0 e λt ẋ = λx, obtém-se u = λ u ẇ = λw θ = λ θ Substituindo nas equações anteriores: X λ u u X wm X m 0 g u u X m λ wm 0 g u λw Z um Z wm u 0 0 w Z um Z wm λ u 0 0 w = = 0 0 M u M w 0 0 q M u M w 0 0 q λ θ θ λ θ João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 45 / 62
77 Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Equação característica para o modo fugóide aproximado ( u 0 M w ) }{{} A [ λ 2 + X u X m λ wm 0 g Z um Z wm λ u 0 0 = 0 M u M w λ gm u + u ] 0 m (M wx u M u X w ) }{{} B ] m (M wz u M u Z w ) = 0 }{{} C [ g λ + Aλ 2 + Bλ + C = 0 λ 2 + B A λ + C A = 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 46 / 62
78 Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Frequência natural e factor de amortecimento Supondo que: λ 1 = n + iω e λ 1 são soluções de λ 2 + (B/A)λ + (C/A) = 0, obtemos: (λ λ 1 )(λ λ 1 ) = 0 (λ (n + iω)) (λ (n iω)) = 0 Nota: n = ζω n e ω n = (n 2 + ω 2 ) λ 2 2nλ + (n 2 + ω 2 ) = 0 λ 2 + 2ζω n λ + ω 2 n = 0 ω 2 n = C A 2ζω = B A João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 47 / 62
79 Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Frequência natural e factor de amortecimento para o modo fugóide aproximado Usando ω 2 n = C A e 2ζω = B e os valores de A, B e C, A obtém-se ω 2 n = g ( Z u Z ) w M u mu 0 M w ζ = 1 2 [ g mu 0 ( )] 1/2 [ Zw gmu M u Z u + 1 ( X u M )] u X w M w u 0 M w m X u João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 48 / 62
80 Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Aproximação para M u = 0 Fazendo M u = 0 (aproximação razoável) obtém-se: ζ = 1 2 ω 2 n = gz u mu 0 [ gz ] 1/2 u X u mu 0 m = X u 2 u 0 mgz u João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 49 / 62
81 Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Aproximação para M u = 0 (2) Note-se que, se C zu 0, e com θ 0 = 0, Z u = ρu 0 SC W0 cos θ ρu 0SC zu = ρu 0 SC W0 ω 2 n = g( ρu 0SC W0 ) mu 0 = 2g2 u 2 0 ω n = 2 g u 0 Neste caso recuperamos a aproximação de Lanchester para o período: T n = 2π = 2π u 0 ω n g João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 50 / 62
82 Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Aproximação para M u = 0 (3) Desprezando as derivadas em ordem a u: Para jactos com propulsão constante: C Tu = 2C T0. Por outro lado, C T0 C D0 C xu C Tu = 2C T0 = 2C D0 Supondo θ 0 = 0, X u = 1/2 ρu 0 SC xu = ρu 0 SC D0 Z u = ρu 0 SC W0 = ρu 0 SC L0 ζ = X u u 0 = 1 C D0 2 mgz u 2 C L0 ζ 1 L/D João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 51 / 62
83 Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Factor de amortecimento: comparação para o caso do 747 Factor de amortecimento: obtido com a aproximação acima: ζ exacto = obtido com a matriz do sistema exacta: ζ aprox = Verifica-se que a aproximação obtida é bastante boa nesta caso. João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 52 / 62
84 Modos longitudinais aproximados Modo de período curto aproximado Aproximações O modo de período curto caracteriza-se por u 0. Por isto: ignoramos a equação em x. Outras aproximações: θ 0 = 0 Zẇ m (m Zẇ) m Z q mu 0 (Z q + mu 0 ) mu 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 53 / 62
85 Modos longitudinais aproximados Modo de período curto aproximado Equações do movimento para o modo de período curto Equações para o movimento longitudinal (omitindo os termos de controlo): u = Xu m u + Xw m w + g cos θ 0 θ equação ignorada ) Z u (mu ẇ = u + Zw 0 + Z q w + q mg sin θ 0 θ m Zẇ }{{} m Zẇ m Zẇ m Zẇ 0 }{{}}{{}}{{} q = 1 [( M u + I y θ = q Zw /m ) M ẇ Z u m Zẇ ( u 0 u + M }{{} w + 0 M ẇ Z w m Zẇ }{{} Mẇ Zw /m ) w + 0 ( M q + M ẇ (mu 0 + Z q) m Zẇ }{{} Mẇ u 0 ) q M ẇ mg sin θ 0 θ m Zẇ }{{} 0 ] Com as aproximações indicadas a 2ª e a 3ª equações dependem apenas de w e q e suas derivadas. João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 54 / 62
86 Modos longitudinais aproximados Modo de período curto aproximado Equações do modo de período curto aproximado Com as aproximações feitas acima, obtém-se o sistema de equações: ẇ = q [ 1 I y Z w m u 0 ] M w + M ẇz w m [ 1 I y ] w M q + Mẇu 0 q João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 55 / 62
87 Modos longitudinais aproximados Modo de período curto aproximado Equação característica [ 1 I y Z w m λ u 0 ] ] = 0 M w + M ẇz w M q + Mẇu 0 λ m [ 1 I y João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 56 / 62
88 Modos longitudinais aproximados Modo de período curto aproximado Equação característica [ 1 I y Z w m λ u 0 ] ] = 0 M w + M ẇz w M q + Mẇu 0 λ m [ 1 I y Desenvolvendo o determinante, obtém-se: [ λ 2 Zw m + 1 ( ) ] M q + Mẇu 0 λ 1 [ M w u 0 Z ] w I y I y m M q = 0 }{{}}{{} B C João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 56 / 62
89 Modos longitudinais aproximados Modo de período curto aproximado Equação característica [ 1 I y Z w m λ u 0 ] ] = 0 M w + M ẇz w M q + Mẇu 0 λ m [ 1 I y Desenvolvendo o determinante, obtém-se: [ λ 2 Zw m + 1 ( ) ] M q + Mẇu 0 λ 1 [ M w u 0 Z ] w I y I y m M q = 0 }{{}}{{} B C Frequência natural: ω n = C Factor de amortecimento: ζ = B/(2 C) João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 56 / 62
90 Modos longitudinais aproximados Modo de período curto aproximado Comparação com caso do 747 λ exacto = ± i λ aprox = ± 0.889i A aproximação de período curto dá resultados muito aproximados do valor real para uma grande gama de aeronaves e de condições de voo. João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 57 / 62
91 Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática Sumário Introdução Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem Sistemas de equações diferenciais Modos do sistema Exemplo: Modos longitudinais Modos longitudinais aproximados Modo fugóide aproximado Modo de período curto aproximado Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 58 / 62
92 Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática A estabilidade dinâmica pressupõe estabilidade estática. João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 59 / 62
93 Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática A estabilidade dinâmica pressupõe estabilidade estática. Pretendemos usar os critérios de estabilidade dinâmica para recuperar os critérios de estabilidade estática: João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 59 / 62
94 Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática A estabilidade dinâmica pressupõe estabilidade estática. Pretendemos usar os critérios de estabilidade dinâmica para recuperar os critérios de estabilidade estática: C mα < 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 59 / 62
95 Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática A estabilidade dinâmica pressupõe estabilidade estática. Pretendemos usar os critérios de estabilidade dinâmica para recuperar os critérios de estabilidade estática: C mα < 0 (dδ etrim /dˆv ) δp > 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 59 / 62
96 Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática Critério de estabilidade dinâmica Estabilidade dinâmica parte real negativa da raiz da equação característica João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 60 / 62
97 Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática Critério de estabilidade dinâmica Estabilidade dinâmica parte real negativa da raiz da equação característica Equação característica: det(a λi) = Aλ 4 + Bλ 3 + Cλ 2 + Dλ + E = 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 60 / 62
98 Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática Critério de estabilidade dinâmica Estabilidade dinâmica parte real negativa da raiz da equação característica Equação característica: det(a λi) = Aλ 4 + Bλ 3 + Cλ 2 + Dλ + E = 0 Condição de estabilidade: E > 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 60 / 62
99 Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática Critério de estabilidade dinâmica Estabilidade dinâmica parte real negativa da raiz da equação característica Equação característica: det(a λi) = Aλ 4 + Bλ 3 + Cλ 2 + Dλ + E = 0 Condição de estabilidade: E > 0 Mas E obtém-se do polinómio característico fazendo λ = 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 60 / 62
100 Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática Critério de estabilidade dinâmica Estabilidade dinâmica parte real negativa da raiz da equação característica Equação característica: det(a λi) = Aλ 4 + Bλ 3 + Cλ 2 + Dλ + E = 0 Condição de estabilidade: E > 0 Mas E obtém-se do polinómio característico fazendo λ = 0 Logo, E = det A João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 60 / 62
101 Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática Critério de estabilidade dinâmica (2) Simplificações: Zẇ e Z q desprezáveis θ 0 = 0 X u X wm m 0 g Z um Z wm u 0 0 E = det A = ( ) ( ) ( ) = 1 I y M u + M ẇ Z u 1 m I y M w + M ẇ Z w 1 m I y M q + Mẇu = g [Z u M w Z w M u ] mi y João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 61 / 62
102 Teoria Geral da Estabilidade Longitudinal Estática Estabilidade dinâmica estabilidade estática E = g mi y [Z u M w Z w M u ] > 0 Z u M w Z w M u > 0 Z u = ρu 0 SC W0 + (1/2)ρu 0 SC zu Z w = (1/2)ρu 0 SC zα M u = (1/2)ρu 0 csc mu M w = (1/2)ρu 0 csc mα (C zu 2C W0 )C mα C mu C zα > 0 Se C zu 0 C mu, 2C W0 C mα > 0 C mα < 0 João Oliveira (ACMAA, IST) Estabilidade Dinâmica Estabilidade de Voo 62 / 62
Estabilidade Dinâmica: Modos Laterais
Estabilidade Dinâmica: Modos Laterais João Oliveira Departamento de Engenharia Mecânica, Área Científica de Mecânica Aplicada e Aeroespacial Instituto Superior Técnico Estabilidade de Voo, Eng. Aeroespacial
Estabilidade Dinâmica
Capítulo 16 Estabilidade Dinâmica 16.1 Introdução Neste capítulo pretende-se iniciar o estudo da estabilidade dinâmica de uma aeronave. Pretende-se estudar métodos de resolução das equações para pequenas
Teoria para Pequenas Perturbações
Teoria para Pequenas Perturbações João Oliveira Departamento de Engenharia Mecânica, Secção de Mecânica Aeroespacial Instituto Superior Técnico Estabilidade de Voo, Eng. Aeroespacial João Oliveira (SMA,
Estabilidade Dinâmica: Modos Laterais
Estabilidade Dinâmica: Modos Laterais João Oliveira Estabilidade de Voo, Eng. Aeroesacial Versão de 13 de Dezembro de 2011 1 Modos laterais 1.1 Determinação dos modos laterais Determinação dos modos laterais
Derivadas de Estabilidade
Derivadas de Estailidade João Oliveira Estailidade de Voo, Eng. Aeroespacial Versão de 11 de Novemro de 211 1 Introdução Ojectivo Neste capítulo pretende-se encontrar expressões para as derivadas de estailidade
Linearização e Estabilidade Dinâmica
Linearização e Estabilidade Dinâmica AB-722 Flávio Luiz Cardoso Ribeiro http://flavioluiz.github.io flaviocr@ita.br Departamento de Mecânica do Voo Divisão de Engenharia Aeronáutica e Aeroespacial Instituto
Equações do Movimento
Equações do Movimento João Oliveira Departamento de Engenharia Mecânica Área Científica de Mecânica Aplicada e Aeroespacial Instituto Superior Técnico Estabilidade de Voo, Eng. Aeroespacial João Oliveira
AMORTECIMENTOS SUBCRÍTICO, CRÍTICO E
AMORTECIMENTOS SUBCRÍTICO, CRÍTICO E SUPERCRÍTICO Mecânica II (FIS-26) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá IEFF-ITA 26 de março de 2018 Roteiro 1 Modelo geral Amortecimento supercrítico Amortecimento subcrítico
1 o Exame de Estabilidade de Voo O exame tem a duração de 3h00m. Justifique convenientemente todas as respostas.
Instituto Superior Técnico Ano Lectivo de 2014/2015 Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial 5 de Janeiro de 2015 1 o Exame de Estabilidade de Voo O exame tem a duração de 3h00m. Justifique convenientemente
1. Movimento Harmônico Simples
Física Oscilações 1. Movimento Harmônico Simples Vamos analisar inicialmente a situação em que há um corpo de massa m, preso a uma mola de constante elástica K que realiza oscilações em torno de seu ponto
Introdução ao Projeto de Aeronaves. Aula 25 Estabilidade Longitudinal Dinâmica
Introdução ao Projeto de Aeronaves Aula 25 Estabilidade Longitudinal Dinâmica Tópicos Abordados Estabilidade Longitudinal Dinâmica. Modos de Estabilidade Longitudinal Dinâmica. Análise do modo de Pughoid.
Estabilidade Lateral-Direccional
Estabilidade Lateral-Direccional João Oliveira Departamento de Engenharia Mecânica, ACMAA Instituto Superior Técnico Estabilidade de Voo, MEAero (Versão de 26 de Outubro de 2010) João Oliveira (ACMAA,
Manobra de descida-subida (pull-up) simétrica
Manobra de descida-subida (pull-up) simétrica João Oliveira Departamento de Engenharia Mecânica, ACMAA Instituto Superior Técnico Estabilidade de Voo, MEAero (Versão de 25 de Outubro de 2010) João Oliveira
Equações do Movimento
Equações do Movimento João Oliveira Estabilidade de Voo, Eng. Aeroespacial 1 Ângulos de Euler 1.1 Referenciais Referenciais: fixo na Terra e do avião (Ox E y E z E ) : referencial «inercial», fixo na Terra;
Vibrações e Dinâmica das Máquinas Aula Fundamentos de vibrações. Professor: Gustavo Silva
Vibrações e Dinâmica das Máquinas Aula Fundamentos de vibrações Professor: Gustavo Silva 1 1.Movimentos Movimento oscilatório é qualquer movimento onde o sistema observado move-se em torno de uma certa
Manobra de descida-subida (pull-up) simétrica
Manobra de descida-subida (pull-up) simétrica Departamento de Engenharia Mecânica, ACMAA Instituto Superior Técnico Estabilidade de Voo, MEAero (Versão de 17 de Outubro de 2011) Manobra de pull-up não-simétrica
AMORTECIMENTOS SUBCRÍTICO, CRÍTICO E
AMORTECIMENTOS SUBCRÍTICO, CRÍTICO E SUPERCRÍTICO Mecânica II (FIS-26) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá IEFF-ITA 20 de março de 2013 Roteiro 1 Amortecidas forçadas Roteiro Amortecidas forçadas 1 Amortecidas
Resposta à Actuação de Controlo
Resposta à Actuação de Controlo João Oliveira Departaento de Engenharia Mecânica, Área Científica de Mecânica Aplicada e Aeroespacial Instituto Superior Técnico Estabilidade de Voo, Eng. Aeroespacial Versão
Linearização das equações do movimento completo
Linearização das equações do movimento completo AB-722 Flávio Luiz Cardoso Ribeiro http://flavioluiz.github.io flaviocr@ita.br Departamento de Mecânica do Voo Divisão de Engenharia Aeronáutica e Aeroespacial
Vibrações de sistemas com um grau de liberdade 1
Vibrações de sistemas com um grau de liberdade 1 DEFINIÇÕES Vibração mecânica movimento de uma partícula ou de um corpo que oscila em torno de uma posição de equilíbrio. Período de vibração intervalo de
Análise Complexa e Equações Diferenciais 1 ō Semestre 2016/2017
Análise Complexa e Equações Diferenciais 1 ō Semestre 016/017 ō Teste Versão A (Cursos: MEBiol, MEQ 17 de Dezembro de 016, 10h [,0 val 1 Considere a equação diferencial e t + y e t + ( 1 + ye t dy dt 0
Física 2 - Movimentos Oscilatórios. Em um ciclo da função seno ou cosseno, temos que são percorridos 2π rad em um período, ou seja, em T.
Física 2 - Movimentos Oscilatórios Halliday Cap.15, Tipler Cap.14 Movimento Harmônico Simples O que caracteriza este movimento é a periodicidade do mesmo, ou seja, o fato de que de tempos em tempos o movimento
MESTRADO INTEGRADO EM ENG. INFORMÁTICA E COMPUTAÇÃO 2015/2016
MESTRADO INTEGRADO EM ENG. INFORMÁTICA E COMPUTAÇÃO 015/016 EIC0010 FÍSICA I 1o ANO, o SEMESTRE 1 de junho de 016 Nome: Duração horas. Prova com consulta de formulário e uso de computador. O formulário
FEP Física para Engenharia II
FEP96 - Física para Engenharia II Prova P - Gabarito. Uma plataforma de massa m está presa a duas molas iguais de constante elástica k. A plataforma pode oscilar sobre uma superfície horizontal sem atrito.
Prova P3 Física para Engenharia II, turma nov. 2014
Questão 1 Imagine que você prenda um objeto de 5 g numa mola cuja constante elástica vale 4 N/m. Em seguida, você o puxa, esticando a mola, até 5 cm da sua posição de equilíbrio, quando então o joga com
Resposta: (A) o traço é positivo (B) o determinante é negativo (C) o determinante é nulo (D) o traço é negativo (E) o traço é nulo.
MESTRADO INTEGRADO EM ENG. INFORMÁTICA E COMPUTAÇÃO 201/2018 EIC0010 FÍSICA I 1º ANO, 2º SEMESTRE 12 de junho de 2018 Nome: Duração 2 horas. Prova com consulta de formulário e uso de computador. O formulário
Equações do Movimento
Capítulo 12 Equações do Movimento 12.1 Ângulos de Euler 12.1.1 Referenciais Para os nossos propósitos podemos considerar como inercial um referencial fixo na Terra, designado por F E, (Ox E y E z E ).
EUF. Exame Unificado
EUF Exame Unificado das Pós-graduações em Física Para o segundo semestre de 016 Respostas esperadas Parte 1 Estas são sugestões de possíveis respostas Outras possibilidades também podem ser consideradas
Revisão II: Sistemas de Referência
Revisão II: Sistemas de Referência sistema terrestre fixo (ex.: NED) origem: ponto fixo sobre a superfície da Terra zi : vertical, apontando para o centro da Terra xi e y I : repousam sobre o plano horizontal
MESTRADO INTEGRADO EM ENG. INFORMÁTICA E COMPUTAÇÃO 2015/2016
MESTRADO INTEGRADO EM ENG. INFORMÁTICA E COMPUTAÇÃO 015/016 EIC0010 FÍSICA I 1o ANO, o SEMESTRE 1 de julho de 016 Nome: Duração horas. Prova com consulta de formulário e uso de computador. O formulário
Introdução ao Projeto de Aeronaves. Aula 26 Estabilidade Latero-Direcional Dinâmica
Introdução ao Projeto de Aeronaves Aula 26 Estabilidade Latero-Direcional Dinâmica Tópicos Abordados Estabilidade Lateral Dinâmica. Estabilidade Direcional Dinâmica. Modos de Estabilidade Dinâmica. Fundamentos
MAT EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS - Aulas 14-17
MAT 340 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS - Aulas 14-17 Bulmer Mejía García 2010-II Universidade Federal de Viçosa EDO de Cauchy-Euler É uma EDO da seguinte forma a n (ax+b) n y (n) (x)+a n 1 (ax+b) n
As Oscilações estão presentes no nosso dia a dia como o vento que balança uma linha de transmissão elétrica, as vibrações da membrana de um
As Oscilações estão presentes no nosso dia a dia como o vento que balança uma linha de transmissão elétrica, as vibrações da membrana de um alto-falante, ou de um instrumento de percussão. Um terremoto
Introdução às Equações Diferenciais e Ordinárias
Introdução às Equações Diferenciais e Ordinárias - 017. Lista - EDOs lineares de ordem superior e sistemas de EDOs de primeira ordem 1 São dadas trincas de funções que são, em cada caso, soluções de alguma
Dinâmica de um metrónomo básico
Modelação e Simulação 013/14 Trabalho de Laboratório nº 3 Dinâmica de um metrónomo básico Objectivos Após realizar este trabalho, o aluno deverá ser capaz de: 1. Representar as equações do modelo de estado
2. Em um sistema massa-mola temos k = 300 N/m, m = 2 kg, A = 5 cm. Calcule ω, T, f, E (12,25 rad/s; 0,51 s; 1,95 Hz; 0,38 J).
FÍSICA BÁSICA II - LISTA 1 - OSCILAÇÕES - 2019/1 1. Em um sistema massa-mola temos k = 200 N/m, m = 1 kg, x(0) = A = 10 cm. Calcule ω, T, f, v m, a m, E (14,14 rad/s; 0,44 s; 2,25 Hz; 1,41 m/s; 20 m/s
Formulário de Mecânica e Ondas MeMEC e LEAN Mário J. Pinheiro Para consulta no Teste e Exame
1 Formulário de Mecânica e Ondas MeMEC e LEAN Mário J. Pinheiro Para consulta no Teste e Exame Constantes Físicas Fundamentais: Velocidade da luz, c.9979458 10 8 m.s 1 Constante da aceleração da gravidade,
Mecânica dos Fluidos II (MEMec) Aula de Resolução de Problemas n o 3
Mecânica dos Fluidos II (MEMec) Aula de Resolução de Problemas n o 3 (Método das imagens, escoamento em torno de um cilindro com circulação, transformação conforme) EXERCÍCIO 1 [Problema 6 das folhas do
Série IV - Momento Angular (Resoluções Sucintas)
Mecânica e Ondas, 0 Semestre 006-007, LEIC Série IV - Momento Angular (Resoluções Sucintas) 1. O momento angular duma partícula em relação à origem é dado por: L = r p a) Uma vez que no movimento uniforme
Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá. 15 de março de 2013
PÊNDULOS Mecânica II (FIS-6) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá IEFF-ITA 15 de março de 013 Roteiro 1 Harmônicas Roteiro Harmônicas 1 Harmônicas Harmônicas Sistemas que vibram: constituem uma classe de problemas
Sinais e Sistemas Mecatrónicos
Sinais e Sistemas Mecatrónicos Análise de Sistemas No Domínio da Frequência José Sá da Costa José Sá da Costa T3 - Análise de Sistemas Lineares na Frequência cont. Diagramas de Bode Construção dos Diagramas
João Oliveira & André Marta. Estabilidade de Voo Lista de Problemas
João Oliveira & André Marta Estabilidade de Voo Lista de Problemas Versão de 3 de Janeiro de 2018 A Equilíbrio e Estabilidade Estática Longitudinais 1. Considere um modelo de uma asa montado num túnel
Momentos Aerodinâmicos. Atmosfera Padrão. Equações nos eixos do Vento. Dinâmica Longitudinal.
Introdução ao Controle Automático de Aeronaves Momentos Aerodinâmicos. Atmosfera Padrão. Equações nos eixos do Vento. Dinâmica Longitudinal. Leonardo Tôrres torres@cpdee.ufmg.br Escola de Engenharia Universidade
QUESTÕES DE MÚLTIPLA-ESCOLHA (1-4)
[0000]-p1/6 QUESTÕES DE MÚLTIPLA-ESCOLHA (1-4) ando necessário, use π = 3, 14, g=10 m/s 2. Respostas da questões por versão de prova: E7Hx: (1) A; (2) E; (3) A; (4) E; 112F: (1) E; (2) B; (3) D; (4) B;
Matrizes Semelhantes e Matrizes Diagonalizáveis
Diagonalização Matrizes Semelhantes e Matrizes Diagonalizáveis Nosso objetivo neste capítulo é estudar aquelas transformações lineares de R n para as quais existe pelo menos uma base em que elas são representadas
Movimento harmônico. Prof. Juliano G. Iossaqui. Londrina, 2017
Vibrações Movimento harmônico Prof. Juliano G. Iossaqui Engenharia Mecânica Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) Londrina, 2017 Prof. Juliano G. Iossaqui (UTFPR) Aula 02 Londrina, 2017 1
, (1) onde v é o módulo de v e b 1 e b 2 são constantes positivas.
Oscilações Amortecidas O modelo do sistema massa-mola visto nas aulas passadas, que resultou nas equações do MHS, é apenas uma idealização das situações mais realistas existentes na prática. Sempre que
Aula do cap. 16 MHS e Oscilações
Aula do cap. 16 MHS e Oscilações Movimento harmônico simples (MHS). Equações do MHS soluções, x(t), v(t) e a(t). Relações entre MHS e movimento circular uniforme. Considerações de energia mecânica no movimento
Vibrações Mecânicas. Sistemas com 2 Graus de Liberdade DEMEC/CTG/UFPE. Ramiro Brito Willmersdorf
Vibrações Mecânicas Sistemas com 2 Graus de Liberdade DEMEC/CTG/UFPE Ramiro Brito Willmersdorf 2015.1 Introdução Sistemas que requerem 2 coordenadas generalizadas para especificar unicamente sua configuração;
Na posição de equilíbrio, temos como forças que actuam sobre o corpo: Fora da posição de equilíbrio, as forças que podem actuar são:
APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM Como aplicação das equações diferenciais de segunda ordem, vamos considerar o movimento oscilatório de uma mola de comprimento l e constante de elasticidade
8. Estabilidade e bifurcação
8. Estabilidade e bifurcação Os sistemas dinâmicos podem apresentar pontos fixos, isto é, pontos no espaço de fase onde o sistema permanece sempre no mesmo estado. Para identificar os pontos fixos e estudar
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica Aerodinâmica 1º Semestre 2014/15
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica Aerodinâmica º Semestre 4/5 Exame de ª época, 3 de Janeiro de 5 Nome : Hora : 8: Número: Duração : 3 horas ª Parte : Sem consulta ª Parte : onsulta limitada a
VIBRAÇÃO EXCITADA HARMONICAMENTE
VIBRAÇÃO EXCITADA HARMONICAMENTE Mecânica II (FIS-26) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá IEFF-ITA 6 de abril de 2018 Roteiro 1 2 Ventilador Motor Roteiro 1 2 Introdução x M F (t) Mẍ + cẋ + kx = F (t) Trata-se
MESTRADO INTEGRADO EM ENG. INFORMÁTICA E COMPUTAÇÃO 2011/2012. EIC0010 FÍSICA I 1o ANO 2 o SEMESTRE
MESTRADO INTEGRADO EM ENG. INFORMÁTICA E COMPUTAÇÃO 2011/2012 EIC0010 FÍSICA I 1o ANO 2 o SEMESTRE Prova com consulta de formulário e uso de computador. Duração 2 horas. Nome do estudante: Pode consultar
Física para Engenharia II - Prova P a (cm/s 2 ) -10
4320196 Física para Engenharia II - Prova P1-2012 Observações: Preencha todas as folhas com o seu nome, número USP, número da turma e nome do professor. A prova tem duração de 2 horas. Não somos responsáveis
Equação de Schrödinger
Maria Inês Barbosa de Carvalho Equação de Schrödinger Apontamentos para a disciplina Física dos Estados da Matéria 00/0 Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Faculdade de Engenharia
FEP Física para Engenharia II
FEP196 - Física para Engenharia II Prova P1-18/09/008 Nome:........................................... N o USP:...................... Assinatura:................................ Turma/Professor:.................
Representação e Análise de Sistemas Dinâmicos Lineares Componentes Básicos de um Sistema de Controle
Representação e Análise de Sistemas Dinâmicos Lineares 1 Introdução 11 Componentes Básicos de um Sistema de Controle Fundamentos matemáticos 1 Singularidades: Pólos e zeros Equações diferencias ordinárias
QUESTÕES DE MÚLTIPLA-ESCOLHA (1-4)
[0000]-p1/6 QUESTÕES DE MÚLTIPLA-ESCOLHA (1-4) Respostas das versıes de m ltipla escolha: 16A7: (1) C; () D; (3) C; (4) D; 3A33: (1) C; () B; (3) C; (4) E; E7Hx: (1) C; () B; (3) B; (4) C; 11F: (1) A;
AB Roteiro para o relatório
AB-722 - Roteiro para o relatório Professore: Flávio Ribeiro 2018 A seguinte lista de exercícios deve ser apresentada na forma de um relatório. Ela está dividida em duas partes: a primeira consiste em
Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá. 24 de julho de 2018
OSCILAÇÕES Mecânica II (FIS-26) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá IEFF-ITA 24 de julho de 2018 MHS, Roteiro 1 Organização do curso Motivação Definições Gerais 2 Formulação geral Sistema Massa-Mola 3 Pêndulo
Mecânica Geral 2012/13
Mecânica Geral 2012/13 MEFT Responsável: Eduardo V. Castro Departamento de Física, Instituto Superior Técnico Corpo Rígido C / Semana 04 15/03/2013 (Tensor de inércia e eixos principais, movimento do girocompasso,
1) O vetor posição de uma partícula que se move no plano XZ e dado por: r = (2t 3 + t 2 )i + 3t 2 k
1) O vetor posição de uma partícula que se move no plano XZ e dado por: r = (2t + t 2 )i + t 2 k onde r é dado em metros e t em segundos. Determine: (a) (1,0) o vetor velocidade instantânea da partícula,
Para quem não se recorda do tratamento completo do sistema massa-mola, após esta seção, reproduzo aquela que seria uma seção anterior.
1 Este texto é parte integrante do texto do curso Introdução Física Quântica de Materiais que ministro no Programa de Pós-Graduação em Ciência e Tecnologia dos Materiais. A seção 1..1 apresenta um problema
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica Aerodinâmica 1º Semestre 2012/13
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica Aerodinâmica 1º Semestre 212/13 Exame de 2ª época, 2 de Fevereiro de 213 Nome : Hora : 8: Número: Duração : 3 horas 1ª Parte : Sem consulta 2ª Parte : Consulta
1. Estudo do pêndulo
Objectivos odelizar um pêndulo invertido rígido de comprimento e massa, supondo uma entrada de binário. Simular em computador. entar estabilizar o pêndulo em ciclo aberto por manipulação directa do binário.
QUESTÕES DE MÚLTIPLA-ESCOLHA (1-4)
[0000]-p1/7 QUESTÕES DE MÚLTIPLA-ESCOLHA (1-4) ando necessário, use π = 3, 14, g=10 m/s. (1) [1,0] Um móvel executa MHS e obedece à função horária x=cos(0,5πt+π), no SI. O tempo necessário para que este
MVO-31: Desempenho de Aeronaves
Planeio Departamento de Mecânica do Voo Divisão de Engenharia Aeroespacial Instituto Tecnológico de Aeronáutica 2019 PARTE III Planeio Permanente g: ângulo de trajetória L D velocidade peso: mg Decompondo-se
c + 1+t 2 (1 + t 2 ) 5/2 dt e 5 2 ln(1+t2 )dt (1 + t 2 ) 5/2 dt (c 5/2 + (1 + t 2 ) 5/2 (1 + t 2 ) 5/2 dt ϕ(t) = (1 + t 2 ) 5/2 (1 + t).
Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 o Semestre 206/207 3 de junho de 207, às 9:00 Teste 2 versão A MEFT, MEC, MEBiom, LEGM, LMAC, MEAer, MEMec, LEAN, LEMat [,0 val Resolva os seguintes problemas
LISTA DE EXERCÍCIOS 2
LISTA DE EXERCÍCIOS 2 Esta lista trata de vários conceitos associados ao movimento harmônico forçado e/ou amortecido. Tais conceitos são abordados no capítulo 4 do livro-texto (seções 4.1 a 4.5): Moysés
Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 o Semestre 2014/2015
Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 o Semestre 2014/2015 (Cursos: 2 o Teste, versão A LEAN, LEGM, LMAC, MEBiom, MEC, MEFT, MEMec) 30 de Maio de 2015, 9h Duração: 1h 30m INSTRUÇÕES Não é permitida
EN ESTABILIDADE E CONTRoLE DE AERONAVES II - MOVIMENTO LONGITUDINAL DO AVIÃO. Maria Cecília Zanardi Fernando Madeira
EN 3205 - ESTABILIDADE E CONTRoLE DE AERONAVES II - MOVIMENTO LONGITUDINAL DO AVIÃO Maria Cecília Zanardi Fernando Madeira Estabilidade e Controle de Aeronaves II - MOVIMENTO LONGITUDINAL DO AVIÃO REFERENCIAS:
Lista de exercícios. isso que o torque de amortecimento seja linearmente proporcional à velocidade angular.
Oscilações amortecidas Lista de exercícios Exercício 1 harmônica? Qualitativamente, o que é que distingue uma oscilação amortecida de uma oscilação Exercício 2 um deles? Quais são os três possíveis regimes
7 Movimentos Oscilatórios
7 Movimentos Oscilatórios 7.1. Uma massa m = 90 g ligada a uma mola é largada com velocidade inicial zero de um ponto a 2 cm da posição de equilíbrio. A constante da mola é k = 81 N /m. Considere o movimento
Equilíbrio e Estabilidade com Manche Livre
Capítulo 6 Equilíbrio e Estabilidade com Manche Livre 6. Momento de charneira de superfície de controlo O controlo longitudinal de uma aeronave faz-se habitualmente por meio do leme de profundidade (elevator.
Estabilidade de sistemas de controle lineares invariantes no tempo
2 Estabilidade de sistemas de controle lineares invariantes no tempo 2.1 Introdução Neste capítulo, vamos definir alguns conceitos relacionados à estabilidade de sistemas lineares invariantes no tempo.
Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula
Aula 3 010 Movimento Harmônico Simples: Exemplos O protótipo físico do movimento harmônico simples (MHS) visto nas aulas passadas um corpo de massa m preso a uma mola executando vibrações de pequenas amplitudes
Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Matemática Departamento de Matemática
Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Matemática Departamento de Matemática Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral IV Unidades: Escola Politécnica e Escola de Quimica Código: MAC 48 a
Dinâmica de um metrónomo básico
Modelação e Simulação 014/15 Trabalho de Laboratório nº 3 Dinâmica de um metrónomo básico Objectivos Após realizar este trabalho, o aluno deverá ser capaz de: 1. Representar as equações do modelo de estado
depende apenas da variável y então a função ṽ(y) = e R R(y) dy
Formulario Equações Diferenciais Ordinárias de 1 a Ordem Equações Exactas. Factor Integrante. Dada uma equação diferencial não exacta M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0. ( ) 1. Se R = 1 M N y N x depende apenas
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica Aerodinâmica 1º Semestre 2013/14
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica Aerodinâmica 1º Semestre 013/14 Exame de 3ª época, 15 de Julho de 014 Nome : Hora : 9:00 Número: Duração : 3 horas 1ª Parte : Sem consulta ª Parte : onsulta limitada
Derivadas direcionais Definição (Derivadas segundo um vector): f : Dom(f) R n R e P 0 int(dom(f)) então
Derivadas direcionais Definição (Derivadas segundo um vector): f : Dom(f) R n R e P 0 int(dom(f)) então Seja D v f(p 0 ) = lim λ 0 f(p 0 + λ v) f(p 0 ) λ v representa a derivada direcional de f segundo
Uma oscilação é um movimento repetitivo realizado por um corpo em torno de determinado ponto.
Uma oscilação é um movimento repetitivo realizado por um corpo em torno de determinado ponto. Exemplos: pêndulos, ponte ao ser submetida à passagem de um veículo, asas de um avião ao sofrer turbulência
O problema restrito dos 3 corpos
O problema restrito dos corpos Paulo J. S. Gil Departamento de Engenharia Mecânica, Secção de Mecânica Aeroespacial Instituto Superior Técnico Cadeira de Satélites, Lic. Eng. Aeroespacial Paulo J. S. Gil
Vibrações e Dinâmica das Máquinas Aula Vibração excitada harmonicamente- 1GL. Professor: Gustavo Silva
Vibrações e Dinâmica das Máquinas Aula Vibração excitada harmonicamente- 1GL Professor: Gustavo Silva 1 1. Introdução Nesta aula estudaremos sistemas amortecidos e não amortecidos sendo excitados harmonicamente.
Deduza a Equação de Onda que representa uma onda progressiva unidimensional, numa corda de massa M e comprimento L.
Deduza a Equação de Onda que representa uma onda progressiva unidimensional, numa corda de massa M e comprimento L. Esquema do problema Consideremos uma corda longa, fixa nas extremidades, por onde se
Dinâmica do movimento Equações completas do movimento. Dinâmica Movimento da Aeronave, aproximação de Corpo Rígido (6DoF)
Revisão I Dinâmica Movimento da Aeronave, aproximação de Corpo Rígido (6DoF) Aplicação da 2a. Lei: resumo Sistemas de referência q y b p x b CG z b r Aplicação da 2a. Lei: resumo Sistemas de referência
QUESTÕES DE MÚLTIPLA-ESCOLHA (1-4)
Física I para a Escola Politécnica 4323101) - P2 26/05/2017) [0000]-p1/?? QUESTÕES DE ÚLTIPLA-ESCOLHA 1-4) ando necessário, use π = 3, 14, g=10 m/s 2. 1) [1,0] Um bloco de massa encontra-se em repouso
Resumo para Mecânica e Ondas (Hugo Serôdio, 2010) Não é permitido o uso destas folhas no exame.
Resumo para Mecânica e Ondas (Hugo Serôdio, 2010) Não é permitido o uso destas folhas no exame. I. CINEMÁTICA DO PONTO MATERIAL Posição: r = x e x + y e y + z e z Velocidade média/instantânea: v m = r
ANÁLISE DE SISTEMAS LINEARES NO ESPAÇO DE ESTADOS
AE- ANÁLISE DE SISTEMAS LINEARES NO ESPAÇO DE ESTADOS AE- Determine os valores e vectores próprios de a) A= -.5.5 -.5 b) B= - - AE- Forma canónica controlável. a) Mostre que a equação diferencial homogénea
Equilíbrio em torno da dobradiça de batimento Eixo de rotação Direcção de batimento positiva Dobradiça de batimento Slide
Movimento da pá em rotação Como vimos as pás estão pivotadas na raiz de maneira a aliviar os momentos flectores nesta zona. Isto permite às pás subir e descer (batimento) As forças aerodinâmicas causam
Curso de Complementos de Física
Aula 2 Curso de Engenharia Civil Faculdade Campo Grande 27 de Agosto de 2015 Plano de Aula 1 Exemplo 1 Um bloco, preso firmemente a uma mola, oscila verticalmente uma frequência de 4 Hertz e uma amplitude
Equilíbrio e estabilidade para configurações canard
para configurações canard João Oliveira Departamento de Engenharia Mecânica, Área Científica de Mecânica Aplicada e Aeroespacial Instituto Superior Técnico Estabilidade de Voo, MEAero (Versão de 27 de
Fundamentos de Controlo
Fundamentos de Controlo a Série Resposta no Tempo de Sistemas Causais. S.1 Exercícios Resolvidos P.1 Seja H(s) = s (s + ) a função de transferência de um SLIT contínuo causal. Qual dos sinais da Figura
Para onde vai a energia?
Para onde vai a energia? J. C. Romão, J. Dias de Deus, and P. Brogueira Departamento de Física, Instituto Superior Técnico Avenida Rovisco Pais, 9- Lisboa, Portugal I. INTRODUÇÃO Um problema interessante
Forma Canônica de Matrizes 2 2
Forma Canônica de Matrizes Slvie Olison Kamphorst Departamento de Matemática - ICE - UFMG Versão. - Novembro 5 a b Seja A c d induzida por A uma matriz real e seja T a transformação operador linear de
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica Aerodinâmica 1º Semestre 2015/16
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica Aerodinâmica º Semestre 05/6 Exame de ª época, 5 de Janeiro de 06 Nome : Hora : :30 Número: Duração : 3 horas ª Parte : Sem consulta ª Parte : Consulta limitada
Universidade de São Paulo. Instituto de Física. FEP112 - FÍSICA II para o Instituto Oceanográfico 1º Semestre de 2009
Universidade de São Paulo Instituto de Física FEP11 - FÍSICA II para o Instituto Oceanográfico 1º Semestre de 9 Primeira Lista de Exercícios Oscilações 1) Duas molas idênticas, cada uma de constante, estão
4 e 6/Maio/2016 Aulas 17 e 18
9/Abril/016 Aula 16 Princípio de Incerteza de Heisenberg. Probabilidade de encontrar uma partícula numa certa região. Posição média de uma partícula. Partícula numa caixa de potencial: funções de onda