Para onde vai a energia?

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1 Para onde vai a energia? J. C. Romão, J. Dias de Deus, and P. Brogueira Departamento de Física, Instituto Superior Técnico Avenida Rovisco Pais, 9- Lisboa, Portugal I. INTRODUÇÃO Um problema interessante em electrostática é o seguinte (ver Problemas. e.37 na Ref.[]) Dois condensadores de capacidades C e C, um carregado, outro não, são ligados em paralelo. ) Mostre que no equilíbrio se verificam as seguintes relações: Q Q = C C +C Q Q = C C +C, onde Q é a carga inicial do condensador carregado e Q e Q as cargas finais de cada um deles. ) Mostre que a energia final armazenada no sistema é menor que a energia inicial e deduza umaexpressão para a diferença entre as duas energias em termos de Q e de C e C. Considere que o fio que liga os dois condensadores tem resistência R. Mostre que a diferença de energia é exactamente igual à energia dissipada por efeito de Joule, isto é, U J = RI (t)dt. 3) Que acontece no caso em que R tende para zero? A resposta à primeira questão é trivial. A segunda, embora faça sentido fisicamente por dever haver conservação de energia, já não é tão trivial. Em particular, a diferença de energias entre o estado inicial e final só depende das capacidades C e C. Como pode então ser dissipada por efeito de Joule que depende da resistência? A terceira, embora académica por haver sempre alguma resistência nos fios, é muito interessante e não trivial. Para sermos capazes de responder à última pergunta não podemos desprezar a auto indutância L do circuito. Assim somos levados à análise dum circuito RLC em regime transitório. II. O CIRCUITO RLC EM REGIME TRANSITÓRIO Consideremos o circuito RLC da Fig. com a condição inicial de termos uma carga no condensador C em t =. Vamos determinar a carga nos condensadores e a corrente no circuito em função do tempo. Electronic address: [email protected] Electronic address: [email protected] Electronic address: [email protected]

2 R L C C FIG. : Circuito RLC A equação diferencial do circuito pode-se escrever em termos da carga Q(t) no condensador C na forma seguinte onde C é a capacidade do conjunto dos dois condensadores, isto é = R dq Q C dt +Ld dt + Q C, () C = C C C +C. () A solução geral da Eq. () será a soma duma solução particular da equação (Q = C/C ) com a solução da equação homogénea, R dq dt +Ld Q dt + Q C =. (3) Asoluçãodaequaçãohomogéneaédaformae αt. SubstituindonaEq.(3)obtemosaequaçãocaracterística com soluções α + R L α+ LC = () α = R L ± ( R L ) LC (5) Vemos assim que a característica das soluções depende do sinal do discriminante = ( ) R L LC () O discriminante é nulo para um valor crítico da resistência dada por R c = L C (7) Vamos estudar separadamente as várias situações. A. R > R c Neste caso ambas as raízes são reais e negativas. A solução geral da equação é então Q(t) = C C ( +Ae t/τ +Be t/τ ) ()

3 3 com τ = L R + ( R c ), τ = L R R ( R c R ) (9) É fácil de ver que as soluções com as condições na fronteira do problema, Q() = e i() = são, Q(t) = C C [ e t/τ + τ τ τ ( e t/τ e t/τ ) ] () e I(t) = C [ e t/τ + τ ( e t/τ )] e t/τ C τ τ τ τ τ () Para referência futura notemos que τ +τ = RC () Na Figura mostramos os gráficos da carga no condensador C e da corrente no circuito I A FIG. : Carga e intensidade de corrente en função do tempo para o caso A. Dados: = µ C, C = C = µf, L = µh, R c = Ω e R =.R c. B. R = R c Neste caso temos uma raiz dupla onde se usou o facto que R = R c. A solução geral da Eq. () é agora τ = τ = τ = L R = RC (3) Q(t) = C ( [ + t ] )e t/τ C τ () o que dá para a corrente, I(t) = C C t τ e t/τ (5) Na Figura 3 mostramos os gráficos da carga no condensador C e da corrente no circuito.

4 I A FIG. 3: Carga e intensidade de corrente en função do tempo para o caso B. Dados: = µ C, C = C = µf, L = µh, R c = Ω e R = R c. C. R < R c Este é o caso mais interessante e vai conduzir a oscilações pois as raízes são complexas. Para fixar notação escrevemos α = τ ±iω () onde τ = L R, ω = LC R L (7) As soluções gerais são agora, Q(t) = C ( [ cosωt+ ] )e C ωτ sinωt t/τ () e I(t) = C +ω τ C ωτ sinωt e t/τ (9) Nas Figuras, 5 e mostramos os gráficos da carga no condensador C e da corrente no circuito. 5 5 I A 5 5 FIG. : Carga e intensidade de corrente en função do tempo para o caso C. Dados: = µ C, C = C = µf, L = µh, R c = Ω e R =.5R c.

5 5 I A 5 5 FIG. 5: Carga e intensidade de corrente en função do tempo para o caso C. Dados: = µ C, C = C = µf, L = µh, R c = Ω e R = R c/. I A 5 5 FIG. : Carga e intensidade de corrente en função do tempo para o caso C. Dados: = µ C, C = C = µf, L = µh, R c = Ω e R = R c/. III. ANÁLISE DA ENERGIA A questão que motivou este estudo era saber qual a diferença entre a energia inicial com o condensador C com carga e a situaçãofinal com os dois condutores atingindo o equilíbrioelectrostático. Excluindo o caso R =, ao qual voltaremos mais à frente, em todos os outros casos obtemos, Portanto e lim t Q = C C = C C+C, lim t Q = C C = C C+C () W i = Q, W f = Q + Q () C C C C W i W f = C (C +C ) > () A questão era saber para onde ia esta diferença de energia. Vamos mostrar que em todos os casos em que R > esta diferença corresponde exactamente à energia dissipada por efeito de Joule, independentemente do valor de R e do tipo de solução, amortecida, ou periódica amortecida. A. R > R c Para mostrarmos o que acima dissemos basta calcular W Joule = RI (t)dt (3)

6 Para vermos como a resistência R desaparece das contas vamos fazer este caso em detalhe (os outros serão semelhantes). Usando a Eq. () obtemos facilmente Agora usando W Joule = R C C Q = R C C Q [ τ e t/τ + τ τ τ [ τ ( e t/τ )] e t/τ dt τ τ ( ) ( ) τ τ e t/τ + τ τ τ e t/τ + τ τ τ e t/τ τ + τ τ τ e t/τ ( ) τ e t(/τ+/τ) τ τ τ τ ] e t(/τ+/τ) dt () τ τ obtemos [ W Joule = R C C Q = C C Q τ + e αt = α ( ) ( τ τ + τ τ τ τ τ ( ) τ τ +τ τ τ R τ +τ = ) τ + τ τ τ τ τ τ τ +τ ] τ (5) C C (C +C ) = W i W f () onde se usou a Eq. () e a Eq. (). B. R = R c Agora obtemos onde se usou a a Eq. () e a Eq. (3). W Joule = C C Q R τ = C C (C +C ) = W i W f (7) C. R < R c Neste caso o integral é ligeiramente mais complicado mas o resultado é o mesmo, onde se usou a Eq. (7) para obter W Joule = C C Q R ω τ + = C τ C (C +C ) = W i W f () R ω τ + τ = C (9)

7 7 IV. QUE ACONTECE QUANDO R =? Este é o caso mais interessante. Se usarmos as expressões na Eq. (7) obtemos e portanto isto é, neste limite a atenuação desaparece. As soluções são então lim τ = (3) R lim R e t/τ = (3) e Q(t) = C C ( cosωt) (3) onde I(t) = C C ωsinωt (33) ω = LC (3) O sistema vai oscilar, nunca atingindo o estado de equilíbrio electrostático (e portanto não violando o teorema de Thomson). É fácil calcular as várias parcelas da energia nas várias componentes do circuito (neste limite não há resistência). Obtemos W C = (C +C cosωt) C (C +C ) (35) C W C = (C +C ) ( cosωt) (3) W L = Podemos então mostrar que a energia é conservada, pois C C C +C sin ωt (37) W C +W C +W L = Q = W i (3) C V. EXEMPLOS NUMÉRICOS Vamos agora ver para valores típicos dos parâmetros dos circuitos o que vai acontecer. Para isso tomemos dois condensadores com C = C = µf. Temos então C = C C C +C = µf (39) TemosagoraqueestimarR el. ParaissoadmitimosqueocircuitotemaformadaFiguraequeasligações são feitas com fio de cobre com condutividade σ Cu = 5. 7 S/m, secção com raio b =.5 m e o circuito forma uma circunferência de perímetro l =.3m. Então a =.77 m, R = Ω, L = 3µH ()

8 C C a FIG. 7: Circuito RLC Como R < R c = L/C =.3Ω, o circuito vai entrar em regime oscilatório amortecido. No entanto a constante de tempo de amortecimento é muito pequena τ = L R =.5 3 s () pelo que o estado de equilíbrio é atingido muito rapidamente. No laboratório convém encontrar valores de R, L e C que ilustrem os 3 regimes. O caso de R = é, claro, um caso académico, a menos que se utilizem supercondutores. A situação aqui descrita corresponde aos gráficos da Figura. 3 5 I A FIG. : Carga e intensidade de corrente en função do tempo para o caso C. Dados: = µ C, C = C = µf, L = 3 µh, R c =.3 Ω e R = R = Ω. [] A. B. Henriques and J. C. Romão, Electromagnetismo (IST Press, ).