Capítulo 4 O Oscilador Amortecido

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1 Capítulo 4 O Oscilador Amortecido Vamos supor que um oscilador harmônico tenha amortecimento, isto é, sofre uma resistência ao seu movimento e que esta resistência, para simplificar seja linearmente proporcional à velocidade Dividindo a equação acima por m, teremos onde Tomando equação característica e substituindo em (1), obtemos a cujas raízes são A solução geral será então 1) Regime Subcrítico: Chamando de e substituindo em (4), temos Impondo que é real, isto é,, teremos. Reescrevendo, obtemos e 1

2 Condições Iniciais: A Energia Mecânica varia no tempo Derivando em relação ao tempo A energia diminui com o tempo: Substituindo (5) e (6) em (8), fazendo médias temporais no intervalo, para um instante arbitrário,. Nestas integrais podemos tirar fora da integral o fator que oscila muito pouco, pois é pequeno e recuperando resultado que já provamos:, obtemos Definimos o tempo de decaimento quando a exponencial é igual a A energia dissipada num ciclo de período vale então 2

3 Definimos o fator de qualidade Q (adimensional) Quanto menor o amortecimento maior o fator de qualidade Q. 2) Regime supercrítico: Da equação (3) podemos definir a frequência Note que. Então a solução será só exponenciais decrescentes Neste regime superamortecido, o oscilador não oscila! 3) Regime crítico: Só temos uma única solução (raiz) da equação característica. Precisamos de outra solução linearmente independente. Pode-se mostrar que esta outra solução é um misto de exponencial e linear no tempo, isto é E a solução geral Os amortecedores de portas de hospitais, prédios públicos, etc. devem ser colocados no regime crítico. 3

4 Oscilações Forçadas Suponha que um oscilador, sem amortecimento, esteja sob a ação de uma força externa periódica de frequência. A equação de movimento será Dividindo por e definindo a frequência natural de oscilação Tomando a eq. (17) se transforma em (18) se reduz (17) tomando sua parte real. A solução deve então ser do tipo Substituindo em (18) ou Note que temos 2 possíveis situações finitas e de maneira que podemos reescrever ou seja Quando teremos a ressonância, com a amplitude de oscilação divergindo, fenômeno que já derrubou pontes e leva a voz de uma soprano a quebrar uma taça de cristal. 4

5 Oscilações Amortecidas e Forçadas ou no plano complexo A equação homogênea tem como solução um dos 3 regimes discutidos na secção de amortecimento (regimes subcrítico, crítico e supercrítico). A vigência dessa solução é por um certo intervalo de tempo, já que o amortecimento levará, com o tempo, ao desaparecimento dessa solução...por isso essa solução é chamada de transiente. Precisamos agora encontrar uma solução particular da não homogênea e que não evanesça com o tempo uma solução estacionária. Tomando e substituindo em (23), teremos Da expressão acima vemos que é um número complexo. Escrevendo Donde E, finalmente que é a solução estacionária do oscilador harmônico forçado [deve se utilizada junto com (26 a e b). 5

6 Uma aplicação importante da solução acima é no circuito RLC. Oscilações Acopladas Na figura abaixo vemos dois pêndulos de massas e acoplados por uma mola de constante. Vamos analisar o movimento para pequenas oscilações. Na fig. a mola está esticada ( ) de maneira que o corpo 1 é puxado pela mola para a direita e o corpo 2 para a esquerda mas, e de forma que Dividindo tudo por onde. As eq. acima formam um sistema acoplado de eq. diferenciais. 6

7 Somando (29 a) e (29 b) teremos Subtraindo (29 a) e (29 b) teremos Definindo as chamadas coordenadas normais Teremos Com soluções Vemos que os modos normais desacoplam as eq. diferenciais e correspondem aos modos: simétrico (fig. a) quando e antissimétrico (fig. b) quando 7

8 Oscilações Longitudinais e Transversais Numa oscilação longitudinal o corpo e onda se propagam na mesma direção. Numa oscilação transversal o corpo se movimenta numa direção perpendicular à propagação da onda. Deixaremos a oscilação transversal para o curso de Vibrações e Ondas, já que sua manifestação é típica de vibração de uma corda ou de propagação de ondas eletromagnéticas. Sejam 3 molas idênticas com constante de mola e comprimento livre. Elas têm massas desprezíveis e estão ligadas a 2 corpos idênticos de massa. Sejam os seus deslocamentos a partir das posições livres (escolhemos o sentido positivo para a direita). Então Dividindo por Somando (33 a e b) Subtraindo (33 a e b) 8

9 Definindo as coordenadas normais teremos as soluções No modo simétrico e no antissimétrico 9