Capítulo 8 Equações Diferenciais Parciais

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1 Capítulo 8 Equações Diferenciais Parciais Equação de Onda Transversal em Uma Dimensão Seja uma onda se propagando em 1 dimensão na direção. A deflexão dessa onda é descrita por uma função de 2 variáveis. Por exemplo, para uma corda de densidade constante e tensão, pode-se demonstrar que essa função satisfaz à equação de onda Onde é a velocidade de propagação da onda na corda. A solução geral de (1) pode ser escrita onde são funções de 1 variável,, respectivamente. É fácil verificar que, por exemplo,, temos é solução de (1). Chamando Ou seja, O mesmo raciocínio se aplica a. O problema é que, muitas vezes, a forma (2) é de pouca utilidade perante as condições de contorno ou fronteira típicas para uma corda de comprimento, com suas 2 extremidades presas a paredes E a condições iniciais arbitrárias 1

2 O Método da Separação das Variáveis Como as condições de contorno envolvem apenas espaço e as condições iniciais envolvem apenas tempo, podemos pensar em separar variáveis, isto é, Então Substituindo em (1) Dividindo os 2 membros da expressão acima por, temos Onde, já que o 1º.membro (2º.membro) só depende de ( ). De (5), temos Cujas soluções são As equações (7a) e (7c) são incompatíveis com as condições de contorno (3a). De (7b), temos Ou seja, Observe que, pois e (se, recaindo no caso (7c) 2

3 Essas soluções discretas são chamadas de autovalores E os seus autovetores correspondentes Que satisfazem a equação de autovalores e autovetores De (5) teremos, Com solução, Portanto, como a equação diferencial é linear, vale a superposição Onde renomeamos e. De (12) vemos imediatamente que as condições de contorno: estão satisfeitas. A condição inicial, fica Multiplicando os 2 membros da expressão acima por temos, e integrando, Mas, 3

4 Logo, Para a condição inicial relação a a equação (12), temos que derivar parcialmente em Que em fica Multiplicando ambos os membros por e integrando Ou A Equação de Laplace Um cilindro oco e muito longo de metal com raio é cortado ao meio formando 2 metades isoladas uma das outras. As metades são mantidas nos potenciais e. Deseja-se calcular o campo elétrico no interior do cilindro. Como não há cargas no interior, vale a equação de Laplace (em coordenadas cilíndricas) 4

5 Supondo o cilindro infinito não poderá haver dependência de com, ou seja, A separação de variáveis conduz às equações diferenciais As condições de contorno são: Como senos e cossenos, ou a solução é periódica e deve ser combinação de Como Como. Logo, (, é excluído, pois é incompatível com as condições de contorno (17)). A equação radial fica Cujas soluções Frobenius para são e. Essa 2ª solução,, não é aceitável, pois introduz uma singularidade (inexistente) na origem. Portanto, Multiplicando a equação acima por, no círculo, temos para o 1º. membro O 2º. membro fica 5

6 Como, Então, Portanto, Ou seja, Note que se quiséssemos agora, o exterior ( solução radial. ), teríamos que incorporar a A Equação de Difusão e A Equação de Condução de Calor Dada a função temperatura dada por, a equação de condução de calor é Dada a função densidade, a equação de difusão é dada por Exemplo: Um cano muito longo e de secção transversal está cheio de água. No instante, introduzimos gramas de sal num certo ponto. Queremos obter a concentração de sal num instante qualquer posterior. 6

7 A concentração de sal,, obedece à equação de difusão Condição inicial: Note que é uma única condição inicial, pois (21) é de 1ª. ordem no tempo. Condição de contorno: Conservação da massa: A condição (23) garante a existência de Transformada de Fourier. Fazendo a Transformada de Fourier em (21), temos Mas, E Substituindo (27) e (28) em (26), temos Integrando (29) temos Mas, 7

8 Ou seja, Fazendo a Transformada de Fourier inversa, temos Do capítulo 7, Membrana Considere uma membrana retangular com lados e com seus 4 lados fixos. Determine. A membrana obedece à equação de onda 2-dimensional Condições iniciais: Condições de contorno: Separando as variáveis 8

9 Substituindo em (33), teremos Da aplicação das condições de contorno (35a), temos Da aplicação das condições de contorno (35b), temos Substituindo os resultados em (37c) Onde A solução de (40) conduz a Utilizando as condições iniciais (34 a) e (34 b), obtemos E 9