Evolução temporal de uma Partícula Livre descrita por um Pacote de Onda Gaussiano Unidimensional

Transcrição

1 Evolução temporal de uma Partícula Livre descrita por um Pacote de Onda Gaussiano Unidimensional Caio Vaz Rímoli Resumo: Partículas Livres não relativísticas estão entre os sistemas mais básicos e mais importantes da mecânica clássica e quântica. Nesta monografia, analisamos alguns tipos de funções de onda unidimensionais, introduzimos o conceito de partícula livre do ponto de vista quântico. Em particular, discutimos a origem de um Pacote de onda Gaussiano e sua dispersão temporal usando Transformadas de Fourier. Introdução: Em Mecânica Clássica, o conceito de partícula livre se refere a um sistema que está livre da ação de forças ou de potenciais. Em Mecânica Quântica, a definição de partícula livre não é tão simples. Se definíssemos uma partícula livre quântica (PLQ) como sendo somente uma função de onda que é livre de Potenciais, a Equação de Schrödinger no caso unidimensional não relativístico que descreve o sistema é: (Eq.01): totalmente deslocalizada no espaço das posições (Δx ) e, portanto, não pode ser 1(x,t) considerada uma partícula, ie, uma entidade física de caráter corpuscular (com dimensões bem definidas). Logo, uma Partícula Livre Quântica (PLQ) tem que ter uma função de onda localizada (Δx finita) também. A Origem dos Pacotes de Ondas: Por sorte, a Eq.01 é uma equação diferencial linear. Então, uma combinação linear de ondas planas, com diferentes momentos pn, também é solução: (Eq.04): Em que x t tem variáveis x e t separáveis. Em particular, um bom Ansatz de função de onda para (Eq.01) é o que descreve uma Onda Plana: (Eq.02): Tal que, com as Relações de Planck e de Louis de Broglie: Embora não seja mais autofunção do operador momento. Porém, quanto maior o número de ondas planas somadas, maior a interferência entre elas e, consequentemente, maior a chance de se obter corpúsculo de onda (pulso): (Eq.03): Fazem com que 1(x,t) não somente seja solução da Equação de Schrödinger (autofunção da energia com autovalor E=p²/2m), como também seja a autofunção do operador momento, com autovalor p = (2mE)1/2. Entretanto, pelo Princípio de Incerteza de Heisenberg, uma onda plana de momento p definido (Δp=0) corresponde a uma função de onda Figura 01 Ilustração da interferência de várias ondas diferentes gerando um pulso. Quanto maior a incerteza nos momentos (Δp finito e grande), maior a chance de localizar um pulso de onda no espaço das posições (Δx finito e pequeno).

2 Se ao invés de uma soma discreta, podemos criar uma 3(x,t) que seja uma superposição de funções de ondas planas de distribuição contínua de momentos: (Eq.05): Pacote de Onda Gaussiano nas condições iniciais (t=0): Antes de verificar o que acontece com 4(x,t) para t>0, vamos obtê-lo explicitamente caracterizá-lo nas condições iniciais. Para t=0, o Pacote de onda Gaussiano é descrito por: (Eq.09): Em que A(p) seria a função de distribuição dos valores de momentos p. Em outras palavras, a Eq.05 nos diz que A(p) é uma função que descreve um envelope do pulso. Já as ondas planas (exponencial complexa) atuam como uma fase dentro do envelope que oscila no espaço (em x) e no tempo (t). Tendo em mente que Eq.06 é uma Transformada de Fourier no tempo e no espaço, uma boa distribuição A(p) para discutir pulsos de onda é uma de perfil gaussiano em torno de um p 0 máximo central: Se reescrevermos: (Eq.10): E deixarmos em função de P = p-p 0, em que dp = dp, a integral da Eq.09 fica na forma: (Eq.06): A constante de normalização: (Eq. 07): Se completarmos quadrados em P e resolvermos a integral gaussiana, obtemos 4(x,0): (Eq.11): Garante que a área sob a gaussiana seja igual à unidade. A largura desta em torno de p 0 é da ordem de. Como a Transformada de Fourier de uma gaussiana é a gaussiana conjugada, sabemos que x t terá um perfil gaussiano nas coordenadas das posições descrito pela seguinte função: Note que a largura da gaussiana nas coordenadas das posições é da ordem de x. Tendo (Eqs.12): 4(x,0), é fácil verificar que em t=0: (Eq.08):

3 Logo, para t=0, a Relação de Incerteza de Heisenberg é mínima: (Eq.16): (Eq.13): Evolução Temporal do Pulso Gaussiano: Antes de começar a calcular os valores esperados usando Eq.08, é conveniente fazer uma série de transformações para deixar tudo em função de P=pp 0. A ideia é a mesma que a transformação da Eq.10, mas deve incluir também o termo quadrático: Agora podemos substituir a Eq.16 na Eq.08 resultando em uma função de onda: (Eq.17): Em que: (Eq.14): Em que é só completar quadrados em P e resolver a integral gaussiana para finalmente obter 4(x,t): Como o termo em verde ainda não pode ser escrito em termos de P = p-p 0, fazemos mais uma manipulação (completar os quadrados): (Eq.18): (Eq.15): Em que, Z(t) é da seguinte forma: (Eq.19): Ou seja, deixando em termos de P = p-p 0, Que, substituindo em (Eq.14) e já deixando tudo em função de P e p 0, temos: Agora, podemos calcular os valores de <x>, <p> e as incertezas <Δx> e <Δp> e analisar a evolução temporal do pacote gaussiano.o comportamento. Como esses cálculos são bastante trabalhosos, porém simples de efetuar, aqui simplesmente vamos expô-los e discuti-los. Para t>0, o Pacote de onda Gaussiano se comporta com:

4 (Eqs.20): E, consequentemente, a Relação de Heisenberg fica: (Eq.21): evolui. Entretanto, é interessante notar que, pela Eq.22, a fase complexa de faz com que Φ(p,t) oscile com uma frequência maior conforme o tempo aumenta isso acontece mantendo o perfil do feixe gaussiano de Φ(p,t). Por outro lado, analisando as equações o comportamento do perfil gaussiano na coordenada das posições, 4(x,t), vemos que tanto a posição média quando a incerteza nas posições variam com o tempo (Equações 20). A posição média varia de acordo com um movimento retilíneo uniforme com veloficade v 0 =p 0 /m, como era de se esperar. Contudo, vemos também que a largura da gaussiana em 4(x,t) aumenta com o tempo. Como a área sob a curva tem que se manter igual à unidade, é de se esperar que o pulso se disperse com o tempo (Figura 02). Discussão: Primeiramente, é interessante evidenciar a transformada de Fourier da Eq. 18 que é imediatamente obtida pela Eq. 08, reformulada: t 0 =0 t 1 >t 0 t 2 >t 1 t 3 >t 2 Portanto, a transformada de 4(x,t) é: (Eq.22): Note, pelas Equações 20, que o valor do momento médio <p> e a largura do envelope gaussiano na coordenada dos momentos são constantes no tempo. Isso era de se esperar, uma vez que estamos lidando com uma Partícula Livre. Assim, não há nada que altere o número de uma população de ondas planas de um dado momento p n específico. Portanto não há dispersão do envoltório gaussiano na coordenada dos momentos conforme o tempo Figura 02 Ilustração da Dispersão do Pacote de onda Gaussiano no tempo na coordenada das posições. Em azul, a posição média <x> = p 0 t/m. Podemos interpretar esse comportamento de da seguinte forma: a variedade momentos diferentes do momento médio, p n p 0, faz com que haja a possibilidade de uma partícula estar cada vez mais distante da posição média <x>. Isso pode ser entendido como perda da informação da partícula: conforme o tempo passa, sabemos cada vez menos onde ela realmente está ela pode ter ido. Consequentemente o produto das incertezas no momento e nas posições também aumenta com o tempo (Eq.21). Além disso, vemos pelas Equações 20, que se uma partícula está muito localizada no instante inicial, ou seja, σ é muito pequeno em t=0, a tendência é de a

5 dispersão do pacote de onda gaussiano na coordenada das posições ser muito mais abrupta do que uma partícula não tão localizada. Ver tabela 01. Tabela 01 (cf. Referência [1]) Partícula 1 (Elétron, m kg) Dispersão em Inicial, σ 0 Tempo para σ(t)=. σ 0 σ 0 (t=0) t( ) 0,1 nm 1,72 fs 1,0 µm 17,2 ns 1,0 mm 17,2 ms Partícula 2 (Pérola, m 10-3 kg) Dispersão em Inicial, σ 0 Tempo para σ(t)=. σ 0 σ 0 (t=0) t( ) 0,1 mm anos Conclusões: Nesta monografia, revisamos a importância de se somar um conjunto de ondas planas para obter um pulso ondulatório com dimensões finitas (partícula quântica, localizada). Em particular, usando Transformadas de Fourier e o conceito de valor esperado de mecânica quântica, pudemos obter informações qualitativas e quantitativas de como um envelope ondulatório gaussiano se comporta no espaço e no tempo. No caso específico de uma partícula livre com uma distribuição normal de momentos, verificamos que o pacote de onda dos momentos não sofre dispersão, porém o pacote de onda das posições sofre, aumentando sua largura e diminuindo sua intensidade com o tempo. Além disso, confirmamos que partículas pouco massivas são mais susceptíveis a esse fenômeno. Referências: [1] [Acessado em Junho/2014]; [2] Cohen-Tannoudji, et al. Quantum mechanics, vol.1, pp [3] Ashby, Miller. Principles of modern physics, pp , 1970.