O oscilador harmônico simples quântico

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1 1 / 18 O oscilador harmônico simples quântico Prof. Dr. Vicente Pereira de Barros Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia de São Paulo - Campus Itapetininga 29/05/2014

2 2 / 18 Introdução Introdução Na aula de hoje discutiremos a quantização do Oscilador Harmônico simples que é um importante sistema na Física clássica e também apresenta várias aplicações práticas. Na verdade a primeira suposição de Planck para explicar a catástrofe do ultravioleta da radiação de corpo negro foi usando um conjunto de osciladores harmônicos. Classicamente podemos imaginar d 2 x dt 2 = k m x = ω2 0 x (1) Pensando em termos da representação de Hamilton, a hamiltoniana deste sistema, H, seria dada por: H = p2 2m + mω2 0 x2 2 (2)

3 Introdução Figura: Ilustração de um oscilador harmônico simples Usando os métodos matemáticos mais básicos de equações diferenciais podemos encontrar uma equação que descreva a posição da partícula m, x(t) em função do tempo na equação (1). O resultado é: x(t) = Acos(ω 0 t) + Bsin(ω 0 t) (3) Onde: A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais Na equação (3) temos a descrição clássica da partícula de massa m. A figura a seguir ajuda a ilustrar a solução. 3 / 18

4 Introdução Figura: Ilustração do relacionamento da posição do objeto com a solução clássica. O parâmetro ω 0 é a frequencia angular fundamental do sistema e é dada por: k ω 0 = m A equação (2) mostra o hamiltoniano do sistema e através desta representação podemos encontrar a mesma solução (3) usando o método de determinação de trajetórias. Vale a pena ressaltar que o potencial associado ao oscilador harmônico V(x) é dado por: (4) 4 / 18

5 O oscilador harmônico quântico V(x) = mω2 0 x2 (5) 2 Agora podemos finalmente usar a equação de Schrödinger para obtermos o análogo quântico do oscilador harmônico. Para tanto usaremos, a princípio, a equação de Schrödinger independente do tempo, ou seja, estudaremos os estados estacionários. Para simplificar ainda mais usaremos a equação Schrödinger unidimensional. 2 d 2 ψ(x) 2m dx 2 + V(x)ψ(x) = Eψ(x) (6) Então podemos rearranjar a equação para: d 2 ψ(x) dx 2 + 2m (E V(x))ψ = 0 (7) 2 Para facilitar ainda mais o procedimento iremos criar algumas constantes para não carregarmos tantos termos na equação. 5 / 18

6 d 2 ψ(x) dx 2 + (λ α 2 x 2 )ψ(x) = 0 (10) Equação acima é relativamente simples, no entanto, precisaremos de um tratamento matemático mais sofisticado. A função ψ(x) que procuramos deve atender as 5 condições que discutimos em sala para que a mesma seja solução da equação de Schrödinger. Então, ψ(x) deve ser contínua e finita em todo o espaço. Um procedimento eficaz para encontrar este tipo de solução é a determinação da forma de ψ(x) para valores grandes, positivos e negativos de x. 6 / 18 O oscilador harmônico quântico Para tanto vamos introduzir os seguintes parâmetros: λ = 2m 2 E (8) conhecida como o parâmetro de energia. e α = mω 0 (9) Assim temos a seguinte equação.

7 O oscilador harmônico quântico 7 / 18 Ou seja, procuramos o comportamento assintótico da função. E simultâneamente introduzimos um fator na forma de série de potências, do comportamento de ψ(x) para x pequeno. Este procedimento é conhecido como o método polinomial, para quem irá tratar o seminário sobre o método de Frobenius eu recomendo atenção redobrada a partir deste momento, pois o método de Frobenius é uma generalização do método polinomial. Para x muito grande. d 2 ψ(x) dx 2 α 2 x 2 ψ(x) (11) É fácil ver que uma solução plausível para a equação acima é ψ(x) = e α 2 x2 (12) Pela condição de finitude da função ψ(x) teremos que usar a função ψ(x) = e α 2 x2.

8 8 / 18 O oscilador harmônico quântico Agora precisamos associar esta solução para a região do espaço compreendida entre < x <. Baseado na solução assintótica, pela introdução no fator de série de potências em x e a determinação de seus coeficientes na equação de onda. Assim, ψ(x) = e α 2 x2 f (x) (13) e dψ dx = [ e α df ] 2 x2 αxf + dx (14) d 2 ψ dx 2 = [ e α 2 x2 α 2 x 2 f αf 2αx df dx + d2 f ] dx 2 Substituindo este resultado na equação (10) e dividindo por ψ(x) temos que: (15) d 2 f df 2αx + (λ α)f = 0 (16) dx2 dx

9 9 / 18 O oscilador harmônico quântico Iremos agora introduzir uma variável nova, ξ, relacionada a x para que deixemos a equação (16) adimensional. e substituindo f (x) por H(ξ) e dividindo por α temos: ξ = αx (17) d 2 H dh 2ξ dξ2 dξ + ( λ α 1) H = 0 (18) Agora representando H(ξ) em séries de potencias, tais que: H(ξ) = ν a ν ξ ν (19) Substituindo na equação (18) temos: ν(ν 1)a ν ξ ν 2 2 ν ν νa ν ξ ν + ( λ α 1) ν a ν ξ ν = 0 (20)

10 ν O oscilador harmônico quântico Fazendo ν ν + 2 na primeira somatória e reagrupando os termos, [ (ν + 1)(ν + 2)a ν+2 + ( ] λ α 1 2ν) a ν ξ ν = 0 (21) devemos então ter que todos os termos em colchetes devem ser nulos ( λ α 2ν 1) a ν+2 = (ν + 1)(ν + 2) a ν (22) Esta expressão é uma fórmula de recorrência. Ela permite determinar os coeficientes a 2, a 3, a 4,... sucessivamente em termos de a 0 e a 1, que são arbitrários. Para valores arbitrários do parâmetro de energia λ a série H(ξ) consiste em um número infinito de termos e não atenderia a condição de ser solução da equação de Schrödinger, pois os valores da série aumentaria rapidamente com o aumento de x impossibilitando a normalização. Para nos livrarmos deste problema usaremos um artifício de comparar H(ξ) com outra função, e ξ2 para verificarmos quais as condições impostas aos coeficientes da expressão (22) para que H(ξ) seja uma função de onda, isto é, satisfaça a equação de Schrödinger. 10 / 18

11 O oscilador harmônico quântico Sabemos que: e ξ2 = 1 + ξ 2 + ξ4 2! + ξ6 3! ξν ξν ( ν + 2 )! ( ν 2 + 1)! (23) para grandes valores de ξ os primeiros termos desta série nãos são importantes. Definindo b ν como sendo os termos que acompanham as potencias de ξ, sendo c a razão entre os coeficientes do ν-ésimo termo da expansão H(ξ) e a da expansão (3), chegamos em: c = a ν b ν (24) Para grandes valores de ν temos a seguinte expressão assintótica a ν+2 = 2 ν a ν (25) b ν+2 = 2 ν b ν (26) 11 / 18

12 assim para ν grande, O oscilador harmônico quântico a ν+2 = a ν (27) b ν+2 b ν Devemos escolher valores do parâmetro energia para os quais a série H(ξ) seja truncada para um número finito de termos. Isto faz com quem a função de onda satisfaça as condições de contorno, pois o fator da exponencial negativo, e ξ 2, tende a aproximadamente zero para grandes valores de ξ. Portanto o valor de λ que trunca a série é então, pela equação (22), Fazendo ν = n teremos ( λ α 2ν 1) a ν+2 = (ν + 1)(ν + 2) a ν = 0 (28) λ = 2n + 1 λ = (2n + 1)α (29) α Temos novamente uma quantização, um agrupamento de valores discretos como ocorreu para os poços de potencial finito e infinito. 12 / 18

13 Figura: Ilustração dos níveis de energia do oscilador harmônico. 13 / 18 O oscilador harmônico quântico A condição para a existência da n ésima função de onda é:λ = 2mE ; α = mω 2 0 e λ = (2n + 1)α. Torna-se E = E n = (n ) ω 0 (30) Para cada valor E n de energia, uma solução de satisfaz à equação de onda d 2 ψ(x) dt 2 + 2m 2 (E mω2 0 x2 )ψ = 0 (31) pode ser obtida pelo uso das fórmulas recursivas discutidas acima.

14 O oscilador harmônico quântico 14 / 18 Finalmente, as soluções da equação de onda podem ser escritas da seguinte forma ψ(x) = A n e mω 0 x2 2 H n (ξ) (32) onde: A n são constantes de normalização e H n (ξ) são polinômios de ordem n denominado polinômios de Hermite, estes polinômios são bem conhecidos em virtude de que a equação diferencial geradora dos mesmos ser muito importante na Física Matemática e é dada por: G(ξ, t) = e t2 +2tξ = n=0 A seguir temos alguns poucos polinômios de hermite. H n (ξ) t n (33) n!

15 O oscilador harmônico quântico 15 / 18 Figura: Os primeiros polinômios de Hermite O estado fundamental do oscilador hamônico é dado por: E os dois primeiros estados excitados são dados por: ψ 0 (x) = A 0 e mω 0 x2 2 (34)

16 O oscilador harmônico quântico e Os gráficos são dados por: mω0 mω 0 x 2 ψ 1 (x) = 2A 1 xe 2 (35) ψ 2 (x) = A 2 (4 mω 0 x2 2)e mω 0 x 2 2 (36) Figura: função de onda do estado fundamental (esquerda) e primeiro estado excitado. 16 / 18

17 conclusões 17 / 18 Podemos sintetizar um pouco do que vimos até o momento em alguns pontos, a saber: O oscilador harmônico simples para ser quantizado necessidade apenas a inserção do potencial do oscilador harmônico clássico na equação de Schrödinger independente do tempo. A resolução do oscilador harmônico simples em uma dimensão necessita de um ferramental matemático bem trabalhoso, apesar de simples. O uso do método polinomial nos leva aos polinômios de hermite para descrever as funções de onda do oscilador harmônico. A evolução temporal das funções de onda do oscilador harmônico simples usam o mesmo princípio geral ψ n (x, t) = e i( En )t ψ n (x). A principal aplicação do oscilador harmoônico ocorre que as moléculas, ao vibrar, se comportam como osciladores harmônicos. Medindo a frequencia das vibrações é possível determinar constantes de força, a energia de ligações químicas e outras propriedades.

18 18 / 18 Referências bibliográficas conclusões NUSSENVEIG, H. H. Um curso de Física Básica vol.4 Edgard Blücher:São Paulo, SAKURAI, J. J. Modern quantum mechanics Addison-Wesley: New York, 1995.