O poço quadrado finito

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1 O poço quadrado infinito FNC375N: ista 8 5//4. Um próton se encontra num poço infinito de largura. Compute a energia do estado fundamental para (a), nm, o tamanho aproximado de uma molécula, e (b) fm, o tamanho aproximado de um núcleo.. Considere um poço infinito com as paredes em x e x. (a) Escreva a função de onda normalizada do estado fundamental de uma partícula neste poço. (b) Para o estado fundamental, compute a probabilidade de a partícula ser encontrada num intervalo de largura x / nas proximidades de (i) x /, (ii) x /3 e (iii) x (como x é muito pequeno, não é necessário efetuar nenhuma integração). 3. Repita o problema anterior para o caso de uma partícula no segundo estado excitado. 4. Um corpo de massa m µg está se movendo com velocidade de cm/s em uma caixa de cm de comprimento. Considerando a caixa como um poço infinito unidimensional, compute o número aproximado do número quântico n associado ao estado da partícula. 5. O comprimento de onda da luz emitida por um laser de rubi é 694,3 nm. Qual seria a largura de um poço infinito tal que um fóton deste comprimento de onda fosse emitido na transição de um elétron do estado n para o estado n? 6. Uma partícula se encontra no estado n 5 de um poço infinito de largura. Calcule a probabilidade da partícula ser encontrada na região entre /5 < x < 4/5. 7. Um elétron se encontra no estado fundamental de um poço unidimensional infinito de largura Å. Compute a força que o elétron exerce ao se chocar com uma das paredes do poço, e compare-a com o peso de um elétron na superfície da Terra. (Sugestão: F de n d. Por quê?) O poço quadrado finito. Um elétron está confinado a um poço quadrado finito de altura 8, ev e a energia do seu estado fundamental é,5 ev. Faça uma estimativa da largura do poço utilizando as expressões para o poço infinito. A largura real do poço é maior ou menor que esta estimativa. Explique.. evando em conta características como curvatura, comprimento de onda e amplitude, esboce gráficos para funções de onda de uma partícula no potencial representado na figura. Considere energia tais que < E < V e V < E < V.

2 V(x) V V a b x Valores esperados e operadores. Determine x e x para o estado n 3 de um poço infinito unidimensional.. Mostre que a distribuição de probabilidade clássica para uma partícula em um poço infinito unidimensional de largura é dada por P (x) /. Utilize este resultado para calcular x e x para uma partícula clássica neste tipo de poço. 3. Mostre, a partir da Equação de Schrödinger dependente do tempo, que p m[e V (x), para qualquer potencial V (x). Mostre que, no caso do poço infinito, isto leva a p m E. 4. Calcule os desvios padrões da posição, σ x x x, e do momento, σ p p p, para o estado fundamental do poço quadrado infinito. Compare o produto σ x σ p com o princípio da incerteza. 5. Uma partícula se encontra num estado dado por Ψ(x,t) [Ψ (x,t) + Ψ (x,t), em que Ψ n (x,t) representa a auto-função normalizada do estado estacionário n de um poço infinito de largura, com paredes em x / e x +/. Verifique que esta função de onda é normalizada. Determine os valores esperados e respectivos desvios padrão para as seguintes grandezas: a posição, o momento, e a energia da partícula.

3 Integrais úteis sen(u) du u 4 sen(u) u sen(u) du u 4 8 cos(u) u 4 sin(u) u sen(u) du u3 6 u 4 cos(u) 8 ( + u ) sin(u) u 3 sen(u) du u ( + u ) cos(u) u 8 ( 3 + u ) sin(u) u 4 sen(u) du u5 u 4 ( 3 + u ) cos(u) 8 (3 6u + u 4 ) sin(u) 3

4 Solução do Problema 5 Recapitulando: as funções Ψ n (x,t) para o poço infinito têm a forma Ψ n (x,t) ψ n (x)e iωnt, em que ψ n (x) satisfaz a Equação de Schrödinger independente do tempo, com auto-valores da energia E n ω n. Dentro do poço infinito, / < x < +/, V (x) e a equação fica d ψ n m dx E nψ n (x). Na região interna ao poço, as soluções normalizadas podem ser escritas na forma [ nπ ψ n (x) sen [k n (x + /) sen (x + /) com E n k n m () π m n. () Fora do poço, ψ n (x). A quantização da energia vem das condições de contorno que, no caso, exigem a continuidade da função em todos os pontos. Em particular, nas paredes do poço ψ n ( /) ψ n (+/). Vamos tomar uma função um pouco mais geral que a do problema escrevendo Ψ(x,t) c Ψ (x,t) + c Ψ (x,t). (3) A função dada no problema corresponde a tomar c c /. A condição de normalização se escreve + Ψ(x,t) dx + Ψ (x,t)ψ(x,t)dx. Tomando a forma dada em (3), a densidade de probabilidade fica Ψ(x,t) c ψ (x)ψ (x) + c ψ (x)ψ (x) +c c e i(ω ω )t ψ (x)ψ (x) + c c e +i(ω ω )t ψ (x)ψ (x). Note que as duas primeiras parcelas que compõem a densidade de probabilidade são independentes do tempo, enquanto as duas últimas constituem termos oscilatórios com freqüência ω ω. As auto-funções normalizadas ψ n (x) têm a propriedade + onde o símbolo δ jl, denominado delta de Kronecker, significa {, se j l, δ jl, se j l. ψ j (x)ψ l (x)dx δ jl,, (4) 4

5 Utilizando esta propriedade, vemos que a condição de normalização para Ψ(x,t) resulta em + Ψ(x,t) dx c + c. Esta condição é satisfeita para a função dada. Vamos verificar a propriedade (4) no caso do poço infinito. Tomando ψ n (x) da Eq. (), temos + ψj (x)ψ l (x)dx +/ [ [ jπ lπ sen (x + /) sen (x + /) dx / O produto dos senos pode ser transformado numa soma de cossenos através da identidade resultando + cos(a B) cos(a + B) sen A sen B, ψ j (x)ψ l (x)dx +/ / +/ / [ (j l)π cos [ (j + l)π cos (x + /) dx (x + /) dx. (5) Se j l ambas as integrais são nulas, como veremos. Para cada uma delas podemos fazer a substituição de variável obtendo +/ / u (x + /), du [ cos (x + /) dx dx, (j±l)π cos udu. Assim, cada uma delas se reduz a uma integral do cosseno entre e um múltiplo inteiro de π. Elas são, portanto, nulas porque o cosseno muda de sinal no centro de cada um dos intervalos. Explicitamente, (j±l)π cos udu sen u (j±l)π sen [, porque j ± l é um inteiro. Se j l a segunda integral, envolvendo j + l tem a mesma forma que as agora discutidas e é, assim, nula. A primeira integral, como j l e cos(), fica simplesmente +/ / dx, confirmando que as auto-funções utilizadas são normalizadas. Assim, verificamos a propriedade de ortogonalidade (4) dos auto-estados do poço infinito unidimensional. Relembro e enfatizo que esta é uma propriedade geral dos auto-estados da Eq. de Schrödinger independente do tempo qualquer que seja o potencial. 5

6 Valor Esperado da posição O valor esperado da posição, x, da partícula é dado por x + que, com a forma dada de Ψ(x,t) resulta em Ψ (x,t)xψ(x,t)dx + + x c ψ(x)xψ (x)dx + c ψ(x)xψ (x)dx +c c e i(ω ω )t + ψ (x)xψ (x)dx + c c e +i(ω ω )t + ψ (x)xψ (x)dx. Note que nas duas primeiras parcelas, independentes do tempo, as integrais significam os valores esperados da posição em cada um dos auto-estados, ψ e ψ : x n + ψ n(x)xψ n (x)dx. Pela simetria da densidade de probabilidade nestes estados, o valor esperado da posição é o centro do poço, que no caso é a origem x. Outra maneira de ver este resultado é a partir da paridade do integrando: A função f(x) x ψ n é uma função ímpar (f( x) f(x), ou quando se troca x por x a função simplesmente muda de sinal. Integradas num intervalo simétrico em relação à origem tais funções resultam numa integral nula. As duas outras parcelas são uma o complexo conjugado da outra, resultando num termo real. Podemos simplificar a expressão escrevendo, por exemplo: c c c e iφ, com c real. Como as funções ψ n (x) foram tomadas reais, obtemos x ( c c e i(ω ω )t + c c e ) + +i(ω ω )t ψ (x)xψ (x)dx c ( e i(ω ω )t φ + e ) + +i(ω ω )t+φ ψ (x)xψ (x)dx c cos [(ω ω )t + φ x cos [(ω ω )t + φ. + ψ (x)xψ (x)dx Verificamos que o valor esperado da posição depende do tempo, com uma parte oscilatória de freqüência ω ω ω e amplitude + x c ψ (x)xψ (x)dx c x,. A integral nesta expressão é proporcional ao denominado elemento de matriz do dipolo elétrico entre os estados ψ e ψ. Vamos computar x j,l para os auto-estados do poço infinito. Com as expressões () escrevemos, x j,l + +/ / ψ j (x)xψ l (x)dx [ [ jπ lπ sen (x + /) x sen (x + /) dx. 6

7 Refazendo o procedimento que resultou na equação (5), obtemos x j,l +/ / +/ / Com a mesma substituição de variáveis, obtemos +/ / Uma vez que u [ (j l)π x cos [ (j + l)π x cos (x + /), du [ x cos (x + /) dx (j ± l) π (x + /) dx (x + /) dx. (6) dx, (j±l)π [u / cos udu. nos resta computar a integral (j±l)π cos udu, (j±l)π u cos udu. Ela pode ser obtida integrando por partes, udv uv vdu, com dv cos udu, v sen u: (j±l)π Como cos(nπ) ( ) n, obtemos (j±l)π u cos udu u sen u (j±l)π sen udu cos u (j±l)π. (j±l)π u cos udu ( ) (j±l). Verificamos que se j ± l é um número par, a integral se anula. Se j ± l é um número ímpar o resultado é. Observe que a diferença j l tem a mesma paridade que a soma j + l. Assim, obtemos a regra de seleção para o poço infinito: só são não nulos os elementos de matriz do dipolo entre estados de paridade diferente, ou seja, se j l for um número ímpar. Assim, +/ / [ x cos (x + /) dx, para (j ± l) ímpar. (j ± l) π 7

8 Substituindo este resultado na expressão (6) para x j,l, temos: x j,l π +/ / +/ / [ [ (j l)π x cos [ (j + l)π x cos (j l) (j + l) (x + /) dx (x + /) dx Ou seja, x j,l x l,j π [ 4jl, para (j ± l) ímpar. (j l ), para (j ± l) par. Para a função de onda do problema j, l e, x, 6/9π. Com c c /, c e φ, resulta x x,, e x 6 9π cos[(ω ω )t. Para computar a incerteza na posição é necessário obter x. O procedimento para obter x deve ser refeito com x no lugar de x. É tudo muito similar e tedioso. Valor esperado do momento Ao momento linear é associado o operador ˆp i, e o seu valor esperado no estado x Ψ(x,t) se escreve p i Com a forma dada de Ψ(x,t) teremos i p c + +c c e i(ω ω )t + ψ(x) dψ dx dx + c + Ψ (x,t) Ψ(x,t) dx. x + ψ (x) dψ dx dx ψ (x) dψ dx dx + c c e +i(ω ω )t + ψ (x) dψ dx dx. Pela paridade dos integrandos podemos notar que as duas primeiras integrais são nulas (se f(x) é par, df/dx é ímpar, e vice-versa, de modo que o produto fdf/dx é sempre ímpar). As outras duas são da forma p j,l i i + +/ lπ ψj (x) dψ l dx dx [ jπ sen / 8 [ lπ (x + /) cos (x + /) dx.

9 O produto pode ser expresso como uma soma utilizando sen(a + B) + sen(a B) sen A cos B, e obtemos integrais simples do seno: p j,l i lπ i lπ i l +/ / { [ (j + l)π sen { [ (j + l)π (j + l)π cos [ (j l)π (j l)π cos (x + /) { cos[(j + l)π cos[(j l)π + j + l j l [ (j l)π (x + /) + sen +/ (x + /) +/ / / } }. } (x + /) dx Se j±l são pares, cos[(j±l)π e as integrais são nulas. Se j±l são ímpares, cos[(j±l)π e obtemos: p j,l i l { j + l + }, j l e finalmente, p j,l p l,j i 4jl, para (j ± l) ímpar l j, para (j ± l) par. Note que a regra da paridade diferente também se aplica a estes resultados. Substituindo este resultado, utilizando a identidade sin(u) (e +iu e iu )/(i), e escrevendo como antes c c c e iφ, obtemos para p, depois: Verifique que vale a relação: p c 4jl l j sen[(ω l ω j )t + φ. p m d x dt. Para a função de onda do problema j, l, c c /, c e φ, resultando Valor esperado da energia p 8 3 sen[(ω ω )t. O operador associado á energia é o hamiltoniano, H K +V, que neste caso é simplesmente H p m m 9 d dx.

10 Assim, E H + Ψ (x,t)hψ(x,t)dx. O efeito de aplicar H sobre a função de onda Ψ(x,t) é simples neste caso, uma vez que os auto-estados Ψ n (x,t) obedecem a HΨ n (x,t) Hψ n (x)e iωnt E n ψ n (x)e iωnt E n Ψ n (x,t). Assim, para Ψ(x,t) c Ψ (x,t) + c Ψ (x,t) e HΨ(x,t) c E Ψ (x,t) + c E Ψ (x,t), E [c Ψ (x,t) + c Ψ (x,t) [c E Ψ (x,t) + c E Ψ (x,t) dx [ c E Ψ + c E Ψ dx [c c E Ψ Ψ + c c E Ψ Ψ dx. A segunda integral é nula, devido à ortogonalidade dos auto-estados (equação 4). As duas primeiras ficam + + E c E Ψ dx + c E Ψ dx c E + c E. embre-se que a condição de normalização exige que c + c. O valor médio da energia, portanto, resulta E E E. Observe que o valor esperado da energia é constante, ou seja, independente do tempo. Esta é a versão quântica da conservação da energia. No caso do problema c c / e E E + E π + m Para calcular a incerteza na energia, σ E operação é tão simples quanto a anterior, uma vez que 5 π 4 m. H Ψ n (x,t) H(HΨ n (x,t)) E nψ n (x,t). E E, falta computar E. Esta Assim, simplesmente substituindo E n no lugar de E n nas fórmulas da energia, obtemos E c E + c E. Para a incerteza, temos: σ E E E c ( c )E + c ( c )E c c E E.

11 Observe que quando um dos coeficientes é tal que c n e, conseqüentemente, o outro é nulo, o sistema se encontra no estado estacionário Ψ n (x,t). Neste caso o valor médio da energia é E E n e a incerteza é σ E. Nos estados estacionários a energia é perfeitamente definida na teoria de Schrödinger. Para o caso do problema em que c c esta expressão se reduz a que resulta em σ E (E E ) 4 σ E E E 3 π 4m. Observe também que no caso do poço infinito H p /m, e portanto E p /m. Assim, no estado do problema p m E 5 π. A incerteza no momento pode ser então computada facilmente. O resultado é σp p ( ) [ ( ) π p 5 8 3π sen[(ω ω )t.