Função de onda A Equação de onda de Schrödinger Exercícios. Fundamentos de Física Moderna ( ) - Capítulo 03. I. Paulino* *UAF/CCT/UFCG - Brasil

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1 INTRODUÇÃO À MECÂNICA QUÂNTICA Fundamentos de Física Moderna ( ) - Capítulo 03 I. Paulino* *UAF/CCT/UFCG - Brasil / 81

2 Sumário Função de onda Princípios utilizados na Mecânica Quântica Interpretação da função de onda Partícula numa caixa Valores esperados A Equação de onda de Schrödinger Postulados da Mecânica Quântica A Equação de onda de Schrödinger independente do tempo Poço potencial infinito e finito Oscilador harmônico quântico Reflexão e transmissão de elétrons Exercícios Exercícios 2 / 81

3 Princípio da incerteza de Heisenberg Todo o desenvolvimento da mecânica quântica é baseado no princípio da incerteza que é uma consequência da dualidade onda-partícula. Este princípio afirma que: É impossível medir com precisão a posição e o momentum linear de uma partícula. Para tentar entender este princípio considere a seguinte situação: Uma maneira de medir a posição de uma partícula é iluminá-la com um feixe de luz de tal forma que a luz espalhada serviria para localizá-lo. Seja λ o comprimento de onda luz, então a incerteza na posição ( x) deve ser proporcional a λ por causa dos efeitos de difração. Ou seja, x λ. Para reduzir a incerteza, utiliza-se, por exemplo, comprimento de onda curtos como o raios-x, etc. 3 / 81

4 Princípio da incerteza de Heisenberg Para medir o momentum linear de uma partícula é preciso conhecer sua massa e sua posição em dois instantes distintos de forma a puder calcular sua velocidade. Os fótons espalhados pela colisão com a partícula possui momentum linear h/λ. Após a colisão dos fótons com a partícula o momentum linear sofre mudança (efeito Compton). Desta maneira a imprecisão na determinação do momentum linear deve ser proporcional a momentum linear dos fótons espalhados, ou seja, p x h λ. O produto das imprecisões pode ser escrito por: x p x λ h λ = h. 4 / 81

5 Princípio da incerteza de Heisenberg Definindo com mais exatidão o que significa incerteza nas medidas, pode-se mostrar que x p x 2. Esta equação é a formulação matemática do princípio da incerteza de Werner Heisenberg enunciado em 1927 e ganhador do prêmio Nobel de Física em Este princípio da incerteza também pode ser aplicado à outra grandezas físicas como, por exemplo, uma medida de energia de uma partícula realizada num dado intervalo de tempo t deve ter uma incerteza E de forma que: E t. 5 / 81

6 Princípio da incerteza de Heisenberg A Figura a seguir ajuda a compreender pictoricamente o princípio da incerteza. como λ = 2π/k e p x h/λ. Significa que uma precisão total na determinação da posição da partícula levaria a uma indeterminação total do momentum linear e vice-versa. 6 / 81

7 Interpretação da função de onda Um elétron pode ser considerado uma onda de acordo com a hipótese de De Broglie. No entanto, a função de onda que descreve o elétron deve ser solução da equação de onda de Schrödinger. Sendo assim, surge uma questão: o que representa a função de onda ψ que descreve o elétron? Por exemplo, para uma onda se propagando numa corda, a função de onda descreve o deslocamento vertical da onda. Para ondas sonoras, a função de onda descreve o deslocamento do ar ou a pressão. Para onda eletromagnéticas, a função de onda informa o estado do campo elétrico e magnético. 7 / 81

8 Interpretação da função de onda Para ondas clássica, o quadrado da função de onda representa a densidade de energia. Como a energia de uma onda luminosa é quantizada, a energia por unidade de volume (densidade de energia) é proporcional ao quadrado das respectivas funções de onda, que é proporcional ao número de fótons por unidade de volume. Suponha então que se tenha uma fonte de luz muito baixa de tal maneira que apenas um fóton seja emitido de cada vez. Desta maneira, numa unidade de volume arbitrária, pode conter o fóton ou não. Sendo assim, o quadrado da função de onda deve estar relacionado com a probabilidade de encontrar o fóton num certo volume. 8 / 81

9 Interpretação da função de onda Por esta analogia, pode-se concluir que o quadrado da função de onda que descreve uma partícula quântica e que é solução da equação de onda Schrödinger deve descrever a densidade de probabilidade. Pensando no caso unidimensional, a probabilidade de encontrar uma partícula em uma região dx em torno de x pode ser escrita por: p(x) = ψ 2 (x)dx. A função de onda geralmente depende do tempo e da posição, portanto, ψ = ψ(x, t). Quando se tratar de ondas estacionárias ψ = ψ(x). 9 / 81

10 Interpretação da função de onda Se quisermos a probabilidade de encontrar a partícula num intervalo dx em torno de x 1 e x 2, podemos escrever como a soma das probabilidades, ou seja, p = p(x 1 ) + p(x 2 ) = ( ψ 2 (x 1 ) + ψ 2 (x 2 ) ) dx. Naturalmente, o somatório das probabilidades em todo o espaço deve ser igual a 1, o que implica em: ψ 2 dx = 1. Esta equação é conhecida como condição de normalização. Caso ψ(x, t) satisfaça a condição de normalização, esta função deve tender a zero quando x tende a ±. Desta maneira, a condição de normalização impõe restrições às soluções da equação de Schrödinger. 10 / 81

11 Exemplo Interpretação da função de onda Suponha uma partícula clássica movendo-se entre duas paredes em x = 0 e x = a. (a) Qual é a probabilidade de encontrar a partícula em x = b que pertence ao intervalo [0, a]? (b) Qual é a probabilidade de encontrar a partícula entre b e c, com c > b e c < a? A densidade de probabilidade é constante neste caso e pode ser caculada por: ρ(x)dx = 1 ρ = 1 a. 11 / 81

12 Interpretação da função de onda Exemplo Suponha uma partícula clássica movendo-se entre duas paredes em x = 0 e x = a. (a) Qual é a probabilidade de encontrar a partícula em x = b que pertence ao intervalo [0, a]? (b) Qual é a probabilidade de encontrar a partícula entre b e c, com c > b e c < a? A probabilidade de encontrar a partícula pode ser calculada por p = ρ x. Sendo assim, para o item (a) p = 0 e para o item (b) p = c b a. 12 / 81

13 Partícula numa caixa Características importantes da mecânica quântica podem ser ilustradas sem resolver a equação de Schrödinger. Apenas fazendo analogia com problemas da física clássica. Considere uma partícula de massa m confinada numa caixa unidimensional de comprimento L. Na física clássica, quando a partícula oscila dentro da caixa de um lado para o outro, sua energia e momentum linear podem assumir quaisquer valores. Na teoria quântica, a partícula é descrita por uma função de onda ψ, cujo quadrado descreve a probabilidade de encontrar a partícula nas vizinhanças de um ponto. 13 / 81

14 Partícula numa caixa Se a partícula estiver realmente na caixa, tem-se ψ = 0, para x 0 e x L. Esta situação é semelhante ao caso de ondas estacionárias numa corda esticada presa nas extremidades em x = 0 e x = L. os comprimentos de onda permitidos são regidos por: L = 1 2 nλ n, n = 1, 2, 3, Esta situação é ilustrada na figura a seguir: 14 / 81

15 Partícula numa caixa As regiões onde os deslocamentos verticais da onda são nulos é chamada de nodos ou nós. As regiões em que os deslocamentos verticais são máximos são chamadas de antinodos ou antinós. 15 / 81

16 Partícula numa caixa A energia total da partícula é igual a sua energia cinética, ou seja, E = 1 2 mv 2 m m = 1 2m (mv)2 = p2 2m. Sabe-se ainda, da hipótese de De Broglie, que sendo assim, λ = h p p = h λ, E = h2 2mλ. 16 / 81

17 Partícula numa caixa Sabe-se ainda que a condição de ondas estacionárias permite escrever então, a energia fica: neste caso, λ n = 2L n, E = n2 h 2 8mL 2 = n2 E 1, E 1 = h2 8mL 2 é a energia do menor estado ou estado fundamental. Para n = 2 E 2 = 4E 1, para n = 3 E 2 = 9E 1 e assim por diante. Este resultado pode ser representado no diagrama a seguir: 17 / 81

18 Partícula numa caixa Pode-se observar que a energia mais baixa não é nula e que é uma característica da teoria quântica. Se uma partícula está confinada no espaço, esta possui um mínimo de energia cinética conhecida como energia energia do ponto zero que é inversamente proporcional à dimensão do confinamento. 18 / 81

19 Partícula numa caixa As funções de onda referentes às ondas estacionárias para uma corda vibrante fixa em x = 0 e x = L podem ser escritas por: em que k n = 2π λ n y n (x) = A n sin k n x é o número de onda e A n é a amplitude da onda. Fazendo uma analogia com este problema, pode-se pensar nas funções de onda para a partícula da seguinte forma: ψ n (x) = A n sin k n x. 19 / 81

20 Partícula numa caixa Para este caso, as constantes k n podem ser escritas por: mas, k n = 2π λ n, λ n = 2L n, então, k n = nπ L. Logo, as funções de onda ficam ( nπ ) ψ n (x) = A n sin L x. 20 / 81

21 Partícula numa caixa As constantes A n podem ser determinadas a partir da condição de normalização, ou seja, ψ 2 dx = A 2 n L 0 L cos A 2 n sin 2 ( nπ L x ) dx = 1 ( 2nπ L x) dx = 1 2 A 2 L n 2 = 1 A n = L / 81

22 Partícula numa caixa Portanto, L ( nπ ) ψ n (x) = 2 sin L x. O número n é chamado de número quântico. Este número surge devido ás condições de contorno que estabelecem limites para a função de onda. Graficamente as funções de onda para a partícula podem ser representadas por: 22 / 81

23 Partícula numa caixa O quadrado das funções de onda que representam a densidade de probabilidade de encontrar a partícula numa dada regi ao podem ser representadas da seguinte forma: Note que nas regiões dos nodos, a probabilidade de encontrar a partícula é mínima, enquanto que nas regiões dos antinodos, a probabilidade aumenta bastante. 23 / 81

24 Partícula numa caixa A medida que o número quântico cresce, os valores de máximos e mínimos tendem a se aproximar conforme ilustra a figura abaixo: Quando n é muito grande, praticamente, não é possível distinguir os máximos e mínimos. Este é o princípio da correspondência de Bohr, que estabelece uma conexão entre as teorias quânticas e clássicas. Desta forma pode-se perceber que a teoria quântica é uma generalização da teoria clássica. 24 / 81

25 Valores esperados Se for conhecida uma série de medidas de um parâmetro qualquer, pode-se então escrever uma distribuição de probabilidades para o evento. O valor médio do parâmetro x que é obtido a partir de tais medidas é chamado de valor esperado de x ou esperança de x que é denotado por x ou < x >. Matematicamente, o valor esperado de x para n medidas fica: < x >= n x i p i i=1 em que x i é o parâmetro de interesse e p i é sua respectiva probabilidade. 25 / 81

26 Valores esperados Por exemplo, para o caso da posição de uma partícula quântica, o valor esperado pode ser obtido por: < x >= xψ 2 (x)dx. Para qualquer outro parâmetro f, pode-se escrever: < f (x) >= f (x)ψ 2 (x)dx. 26 / 81

27 Exemplo: Valores esperados Uma partícula em uma caixa unidimensional de comprimento L está no estado fundamental. Calcule a probabilidade de encontrar a partícula no (a) intervalo x = 0, 01L, em x = L 2 e (b) na região 0 < x < 1 4 L. Sabe-se que a função de onda para uma partícula numa caixa no estado fundamental vale: 2 ( πx ) ψ(x) = L sin. L A densidade de probabilidades fica: ψ 2 (x) = 2 ( πx ) L sin2 L. 27 / 81

28 Valores esperados Exemplo: Uma partícula em uma caixa unidimensional de comprimento L está no estado fundamental. Calcule a probabilidade de encontrar a partícula no (a) intervalo x = 0, 01L, em x = L 2 e (b) na região 0 < x < 1 4 L. Para o ponto x = L/2, tem-se ψ 2 ( L 2 ) = 2 ( π ) L sin2 = 2 2 L. Sendo assim a probabilidade será: ( ) L p = ψ 2 = 2 0, 01L = 0, L 28 / 81

29 Valores esperados Exemplo: Uma partícula em uma caixa unidimensional de comprimento L está no estado fundamental. Calcule a probabilidade de encontrar a partícula no (a) intervalo x = 0, 01L, em x = L 2 e (b) na região 0 < x < 1 4 L. A probabilidade de encontrar a partícula entre x = 0 e x = 1 4 L pode ser calculada por: p = L ( πx ) L sin2 dx = 1 ( 1 L ) = π 2 π 4π. 29 / 81

30 Exemplo: Valores esperados Calcule o < x > para uma partícula no estado fundamental preza numa caixa unidimensional de comprimento L. O valor esperado pode ser calculado por: L < x >= xψ 2 (x)dx = 2 ( x sin 2 πx ) dx. L 0 L Esta integral pode ser resolvida da seguinte forma: x 1 x sin 2 (ax)dx = x dx 2 cos(2ax)dx + c e esta outra pode ser resolvida por partes, i.e, 1 2 cos(2ax)dx = 1 ( ) x sin(2ax) 2 4a sin(2ax) + c. 2a 30 / 81

31 Exemplo: Valores esperados Calcule o < x > para uma partícula no estado fundamental preza numa caixa unidimensional de comprimento L. Efetuando a integração conforme, obtém-se: < x >= 2 [ ] L 2 L 4 L2 L2 sin 2π (cos 2π cos 0) = L 4π 4 2. Por exemplo, o valor esperado de < x 2 > pode ser determinado da mesma maneira e o resultado é o seguinte: < x 2 >= 2π2 3 6π 2 L / 81

32 Postulado I - Observáveis e operadores Para qualquer observável bem definido e auto consistente, designado por A (como por exemplo, momentum linear, posição,energia, massa, momentum angular, etc.) existe um operador correspondente chamado de  tal que as medidas de A, chamadas de a são os autovalores de Â. Ou seja, os autovalores de a são aqueles que satisfazem a seguinte equação: Âϕ = aϕ. (1) que é uma equação de autovalores. Existem diversos operadores utilizados na matemática que não possuem conexões diretas com a física. Outros, no entanto, são bem utilizados na física, como o operador gradiente. Aqui vamos estudar apenas os operadores que correspondem observáveis físicos. 32 / 81

33 O operador momentum linear O operador que corresponde ao observável físico momentum linear é escrito por: ˆ p = i. (2) Considerando uma partícula movendo-se apenas numa dimensão (x). O operador momentum linear passa a ser escrito por: ˆp x = i x. (3) Quais são as auto funções e os autovalores do operador momentum linear? 33 / 81

34 O operador momentum linear A equação de autovalor para este operador fica: i ϕ x = p xϕ. (4) Os valores de p x representam os possíveis valores da componente x do momentum linear do sistema em estudo. As autofunções ϕ(x) correspondendo a um valor específico do momentum linear p x são tais que: ϕ 2 dx é a probabilidade de encontrar a partícula com um momentum linear p x no intervalo x e x + dx. 34 / 81

35 O operador momentum linear Por exemplo, considere uma partícula que pode se mover livremente, isto é, não está confinada ao londo do eixo x. Para este caso, não há condições de contorno para ϕ e a solução da equação de autovalor deve ter a seguinte forma: i ϕ x = p xϕ ϕ ip x x = ϕ ϕ = Ae ipx x = Ae ikx. (5) em que k é o número de onda que é dado por: k = p. (6) 35 / 81

36 O operador momentum linear A autofunção dadas pela Equação (5) é periódica em x. Para encontrar o comprimento de onda, faz-se: e ikx = e ik(x+λ) que é satisfeita se: 1 = e ikλ = cos kλ + i sin kλ, (7) { cos kλ = 1 sin kλ = 0. (8) 36 / 81

37 O operador momentum linear Uma solução aceitável para o sistema (8) é: que é equivalente a relação de De Broglie: kλ = 2π, (9) k = 2π λ = p p = h λ. (10) Conclui-se então que a autofunção do operador momentum linear correspondente ao autovalor p tem um comprimento de onda que é o comprimeno de onda de De Broglie. 37 / 81

38 O operador momentum linear Na mecânica quântica é mais comum escrever o número de onda k do que o momentum p. Nesta notação, diz-se que as autofunções e os autovalores do operador momentum linear são: ϕ k = Ae ikx ; p = k. (11) O subscrito k indica que há uma continuidade de autofunção e autovalores, k, que resulta numa solução não trivial da equação de autovalores. 38 / 81

39 O operador de energia O operador correspondente à energia é o operador hamiltoniano Ĥ, que pode ser escrito substituindo o operador momentum linear da seguinte forma: Ĥ = ˆp2 ( i )2 + V ( r) = 2m 2m A equação de autovalor é 2 + V ( r) = 2m 2 + V ( r). (12) Ĥϕ( r) = Eϕ( r) (13) e é conhecida como equação de Schrödinger independente do tempo. esta equação resulta nas possíveis energias E que uma partícula pode ter. 39 / 81

40 Postulado II - Medidas na Mecânica Quântica Medições de um observável A que resultam num valor a, deixam o sistema no estado ϕ a que é uma autofunção do operador  que corresponde ao autovalor a. Como exemplo, suponha uma partícula movendo-se numa dimensão. Num dado instante, é medido o momentum linear da partícula e encontras-se p = k. Esta medida deixa a partícula no estado ϕ k, então, uma medida de p imediatamente depois irá resultar em k. 40 / 81

41 Postulado III - Função de Estado e valores esperados O terceiro postulado da Mecânica Quântica estabelece a existência da função de estado e sua relevância com as propriedades do sistema. O estado de uma sistema num dado instante pode ser representado por um estado ou uma função de onda de onda ψ que é contínua e diferenciável. Todas as informações relacionadas ao estado do sistema estão contidas na função de onda. Por exemplo, se um sistema está no estado ψ( r, t), a média de uma observável físico C num dado instante é: C = ψ Ĉψd r. (14) A média C, é o valor esperado de C. 41 / 81

42 Postulado III - Função de Estado e valores esperados O significado físico da média do observável C pode ser entendido da seguinte forma: Um observável C é medido num experimento específico X. Um número muito grande de experimentos idênticos a X é aplicado. Os estados iniciais ψ( r, 0) de cada replica do experimentos são todos idênticos. Num dado instante t, medidas de C resultam em C 1, C 2, C N. A média de C é portanto: C = 1 N N C i. (15) O Postulado III afirma que a média calculada experimentalmente pela Equação (15) produz o mesmo resultado da integral (14). De um outra forma, a média pode ser calculada por: i=1 42 / 81

43 Postulado III - Função de Estado e valores esperados C = para todo C C i P(C i ), (16) em que P(C i ) é a probabilidade de medir C i. Transformando num somatório contínuo, obtém-se C = CP(C)dC (17) integrando sobre todo C. Neste caso, P(C)dC é a probabilidade de encontrar C no intervalo entre C e C + dc. Neste caso, C é o valor esperado de C. O desvio padrão é dado por C: ( C) 2 = (C C ) 2 = C 2 C 2. (18) 43 / 81

44 Postulado IV - Desenvolvimento temporal de ψ O desenvolvimento da função de estado ψ( r, t) para um dado sistema obedece a seguinte equação: i ψ( r, t) = Ĥψ( r, t) (19) t que é conhecida com Equação de Schrödinger dependente do tempo. O operador Ĥ é o operador Hamiltoniano do sistema. Se o operador Hamiltoniano independe do tempo então pode-se escrever: Ĥ = Ĥ( r) (20) e pode-se construir as soluções para Equação de Schrödinger dependente do tempo a partir da técnica de separação de variáveis. 44 / 81

45 A Equação de onda Schrödinger A equação de onda de Schrödinger mostrada no postulado IV é uma equação diferencial parcial no tempo e no espaço muito semelhante a equação de onda utilizada na mecânica clássica. Na sua forma unidimensional, a equação de Schrödinger dependente do tempo pode ser escrita por: 2 2 ψ(x, t) ψ(x, t) 2m x 2 + Uψ(x, t) = i t em que U é a função energia potencial. 45 / 81

46 A Equação de onda Schrödinger As funções de onda que são soluções desta equação não são necessariamente funções reais. Portanto, ψ(x, t) não é necessariamente uma função real, ou seja, uma função que pode ser medida. Por outro lado, a probabilidade de encontrar uma partícula numa dada região é obrigatoriamente um número real. Desta forma, p(x, t)dx = ψ(x, t) 2 dx = ψ(x, t) ψ(x, t)dx em que ψ(x, t) é o conjugado complexo de ψ(x, t). 46 / 81

47 A Equação de onda de Schrödinger independente do tempo As soluções de ondas estacionárias da equação de Schrödinger são expressas por: Agora, ψ(x, t) = ψ(x)e iωt. que é a fórmula de Euler. e iωt = cos(ωt) i sin(ωt), O lado direito da equação de onda de Schrödinger, para este caso, fica: ψ(x, t) i = i ( iω)ψ(x)e iωt = ωψ(x)e iωt = Eψ(x)e iωt, t em que E = ω é a energia da partícula. 47 / 81

48 A Equação de onda de Schrödinger independente do tempo Substituindo ψ(x, t) = ψ(x)e iωt na equação de onda Schrödinger, obtém-se: 2 2m 2 ψ(x) x 2 e iωt + U(x)ψ(x)e iωt = Eψ(x)e iωt 2 2 ψ(x) 2m x 2 + U(x)ψ(x) = Eψ(x), que é a equação de onda de Schrödinger independente do tempo e só vale quando U = U(x). Neste Capítulo será considerado apenas este caso particular da equação de onda de Schrödinger. 48 / 81

49 Soluções de equações diferenciais lineares de 2 a ordem Quando U(x) =CONSTANTE, a equação de onda de Schrödinger resume-se a uma equação diferencial linear de segunda ordem suja a solução é exemplificada abaixo: Considere a seguinte equação diferencial: d 2 y dx 2 + b dy dx + cy = 0. Pode-se se escrever uma equação auxiliar da forma: que é uma equação quadrática. λ 2 + bλ + c = / 81

50 Soluções de equações diferenciais lineares de 2 a ordem A solução da equação diferencial é do tipo y = c 1 e λ 1x + c 2 e λ 2x se λ 1 e λ 2 são soluções distintas da equação auxiliar. Quando λ 1 = λ 2, a solução fica: y = c 1 e λ 1x + c 2 xe λ 2x, neste caso, c 1 e c 2 são contantes que podem ser determinadas pelas condições iniciais do problema. 50 / 81

51 A Equação de onda de Schrödinger em três dimensões A equação de Schrödinger independente do tempo pode ser facilmente aplicada para três dimensões. Em coordenadas retangulares, pode-se escrever: ( ) 2 2 ψ(x, y, z) + 2 ψ(x, y, z) + 2 ψ(x, y, z) +Uψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z), 2m dx 2 dy 2 dz 2 ou, 2 2m 2 ψ(x, y, z) + Uψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z). As soluções deste tipo de equações requer técnicas sofisticadas. No entanto, para problemas simples como o poço potencial infinito, pode-se obter a forma das soluções por analogia. 51 / 81

52 A Equação de onda de Schrödinger em três dimensões Sabe-se que A 2 1 sin2 (k 1 x)dx é a probabilidade de encontrar a partícula no eixo x entre x e x + dx. Para os outros eixos, a solução é análoga, portanto, ψ(x, y, z) = A sin(k 1 x) sin(k 2 y) sin(k 3 z). Substituindo na equação de Schrödinger tridimensional, tem-se E = 2 2m (k2 1 + k k 2 3 ). 52 / 81

53 A Equação de onda de Schrödinger em três dimensões Sendo assim, E = h2 8mL 2 (n2 1 + n2 2 + n3) 2 = E 0 (n1 2 + n2 2 + n3) 2 em que, n 1, n 2 e n 3 são números inteiros e E 0 é a energia do estado fundamental. O primeiro estado excitado pode ser obtido para este sistema de três formas diferentes, cada um com sua própria função de onda, neste caso, diz-se que o nível de energia é degenerado. 53 / 81

54 Poço potencial infinito Esta situação é idêntica ao problema de uma partícula presa numa caixa unidimensional. Neste caso, pode-se escrever a função potencial da seguinte forma: U(x) = No interior da caixa, tem-se: { 0, 0 < x < L, x 0 ou x L 2 d 2 ψ(x) 2m dx 2 = Eψ(x). d 2 ψ(x) dx 2 pode-se escrever k 2 = 2mE mE 2 ψ(x) = 0, 54 / 81

55 Poço potencial infinito A solução geral desta equação diferencial é da forma: ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx), em que A e B são contantes a serem determinadas pelas condições iniciais. Em x = 0, tem-se: ψ(x = 0) = 0 = 0 + B B = / 81

56 Em x = L, tem-se: Poço potencial infinito kl = nπ k = nπ L, n = 1, 2, 3, Desta forma, ( nπx ) ψ n (x) = A sin L que são as mesmas funções de onda obtidas para o caso de uma partícula presa numa caixa unidimensional. A constante A pode ser obtida pela condição de normalização. 56 / 81

57 Além do mais, pode-se escrever: Poço potencial infinito lembrado que E n = 2 kn 2 2m = 2 ( nπ ) 2 = 2m L ( ) h E n = n 2 2 8mL 2 = n 2 E 1, E 1 = h2 8mL 2 é a energia do estado fundamental, que foi a mesma obtida no problema da partícula presa na caixa unidimensional. 57 / 81

58 Poço potencial finito Considere agora a energia do poço potencial finito dada por: { 0, 0 < x < L U(x) =. U 0, x 0 ou x L que pode ser esquematizada por: 58 / 81

59 Poço potencial finito É fácil perceber que a solução da equação de Schrödinger independente do tempo é a mesma para o caso do poço potencial infinito na região interior ao poço, isto é: d 2 ψ(x) dx 2 e as soluções são da forma: + 2mE 2 ψ(x) = 0, ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx). Agora, ψ(x) não é necessariamente nula para x = 0, portanto, B / 81

60 Poço potencial finito Do lado de fora do poço, a equação de Schrödinger fica: ou 2 d 2 ψ(x) 2m dx 2 + U 0 ψ(x) = Eψ(x), d 2 ψ(x) dx 2 2m 2 [U 0 E]ψ(x) = 0 d 2 ψ(x) dx 2 α 2 ψ(x) = / 81

61 Poço potencial finito Note que porque 0 E U 0. α 2 = 2m 2 (U 0 E) > 0, A solução deste tipo de equação diferencial é da seguinte forma: ψ(x) = Ce α 1x + De α 2x. Determinar as constantes C e D a partir das condições iniciais requer muita manipulação matemática. 61 / 81

62 Poço potencial finito A maioria das funções de onda fora do poço não são bem comportadas, ou seja, tendem a infinito quando x ±. Encontra-se funções de ondas bem comportadas apenas para certos valores de energia que são as energias permitidas no poço quadrado finito. Esquematicamente, tem-se: 62 / 81

63 Poço potencial finito As soluções que satisfazem o problema fisicamente podem ser escritas por: Observe que as funções de onda se estendem para além da caixa, para regiões conhecidas como proibidas classicamente, mesmo que E < U / 81

64 Oscilador harmônico quântico A energia potencial para uma partícula de massa m presa a uma mola de constante k é dada por: U(x) = 1 2 kx 2. Porém, pode-se escrever a frequência angular por: k ω 0 = m, que é a frequência angular do oscilador. Desta forma, a energia potencial pode ser escrita por: U(x) = 1 2 mω2 0x 2. Classicamente sabe-se que a partícula pode oscilar entre A e A e sua energia total é E = 1 2 mω2 0 A2. 64 / 81

65 Oscilador harmônico quântico A equação de onda de Schrödinger para o oscilador harmônico fica: 2 d 2 ψ(x) 2m dx mω2 0x 2 ψ(x) = Eψ(x). Procurar soluções para esta equação é um pouco trabalhoso e requer ferramentas matemáticas mais sofisticadas, mesmo que esta equação seja uma equação ordinária. A função de onda para o estado fundamental é da seguinte forma: ψ 0 (x) = A 0 e γx2. 65 / 81

66 Oscilador harmônico quântico Tomando a segunda derivada da função de onda no estado fundamental obtém-se d 2 ψ 0 (x) dx 2 = 2γA 0 e γx2 + 4γ 2 x 2 e γx2. Substituindo este resultado na equação de onda de Schrödinger, tem-se: ( 1 x 2 2 mω γ 2 ) ( ) γ 2 + m m E = 0. Como não há restrições para valores de x pode-se escolher x = 0, desta forma. a energia pode ser escrita por: E = γ 2 m. 66 / 81

67 Oscilador harmônico quântico De uma forma mais geral, para valores de x 0, pode-se encontrar: E 0 = ω. Para o primeiro estado excitado, a função de onda pode ser escrita por que resulta numa energia ψ 1 (x) = A 1 xe γx2, E 1 = 3 2 ω e, assim por diante, até encontrar o termo geral dado por: 67 / 81

68 Oscilador harmônico quântico ( E m = n + 1 ) ω, para n = 0, 1, 2, 3, 2 Os níveis de energia do oscilador harmônico podem ser ilustrados conforme figura abaixo: Note que o espaçamento entre os níveis de energia do oscilador harmônico é uniforme. 68 / 81

69 Potencial degrau Até agora, foram estudados apenas problemas envolvendo estados ligados em que a energia potencial era maior que a energia total do sistema para grande valores de x. Considere agora uma partícula movendo-se numa região na qual a energia potencial é uma função degrau que pode ser escrita da seguinte forma: que pode ser ilustrada por U(x) = { 0, x < 0 U 0, x / 81

70 Potencial degrau Deseja-se compreender o que acontece quando uma partícula move-se da esquerda para direita atingindo o degrau. A solução clássica diz que, à esquerda do degrau, a partícula move-se com velocidade 2E v = m. Em x = 0, uma força impulsiva age sobre a partícula refletido-a se E < U 0. Caso E > U 0, a partícula continuará seu movimento para a direita, só que com velocidade 2(E U0 ) v =. m Este problema pode ser ilustrado por uma bola rolando em uma planície e chegando a atingir uma colina de altura h. 70 / 81

71 Potencial degrau O resultado do ponto de vista da mecânica quântica é similar ao caso clássico em que E < U 0, a função de onda tende a se anular em x = 0 e decai exponencialmente, semelhante ao caso do poço potencial finito. A onda penetra na região classicamente proibida mas é completamente absorvida. A figura a seguir auxilia na compreensão deste resultado. 71 / 81

72 Potencial degrau Para o caso de E > U 0, o resultado da mecânica quântica difere significativamente do resultado clássico. Em x = 0, o comprimento de onda muda abruptamente de para λ 1 = h p 1 = λ 2 = h p 2 = h 2mE h 2m(E U0 ). Quando isto acontece, sabe-se que parte da onda foi transmitida e parte foi refletida. Neste caso, diz-se que o elétron hora é refletido, hora é transmitido porque ele pode ser representado por uma função de onda. 72 / 81

73 Potencial degrau As probabilidades de reflexão e transmissão podem ser calculadas solucionando a equação de onda de Schrödinger em ambas as regiões do potencial degrau e comparando as amplitudes das ondas transmitidas e refletidas com a onda incidente de forma a se escrever: R = (k 1 k 2 ) 2 (k 1 + k 2 ) 2 em que, k 1 é o número de onda incidente e k 2 é o número de onda transmitido. A probabilidade de transmissão é calculada por T = 1 R que é a condição de normalização. 73 / 81

74 Penetração de barreiras Considere uma barreira potencial que pode ser escrita por: 0, x < 0 U(x) = U 0, 0 x a 0, x > a. Considere uma partícula de energia E ligeiramente menor que U 0 que incide sobre a barreira vinda da esquerda. Nesta situação, tem-se 74 / 81

75 Penetração de barreiras 75 / 81

76 Lembrando que Penetração de barreiras pode-se escrever: α 2 = 2m 2 (U 0 E) 2ma 2 αa = 2 (U 0 E) >> 1. O coeficiente de transmissão, por sua vez, pode ser escrito por: T = e 2αa. Desta forma, a probabilidade de transmissão da barreira diminui exponencialmente com a largura da barreira e com a raiz quadrada da altura relativa da barreira (U 0 E). 76 / 81

77 Penetração de barreiras A penetração de barreiras, também conhecida como efeito tunelamento é representada na figura abaixo: 77 / 81

78 Exercícios 1. O que é a condição de normalização na mecânica quântica? 2. Qualquer função de onda que é solução da Equação de Schrödinger representa um sistema físico? 3. Qual é o significado físico da função de ondaψ na mecânica quântica? 4. Em quais situações é possível utilizar a Equação de Schrödinger independente do tempo? 5. O que são estados ligados e não-ligados na mecânica quântica? 6. O que são estados quânticos degenerados? 78 / 81

79 Exercícios 7. Suponha uma partícula clássica movendo-se entre duas paredes em x = 0 e x = a. (a) Qual é a probabilidade de encontrar a partícula entre b e c, com c > b e c < a? (b) Qual é a probabilidade de encontrar a partícula em x = b que pertence ao intervalo [0, a]? O que é a condição de normalização na mecânica quântica? 8. Utilize a analogia com o problema de uma corda presa nas extremidades e encontre as funções de onda para uma partícula presa numa caixa unidimensional de comprimento L. 9. Encontre o valor esperado de x e x 2 para uma partícula presa numa caixa unidimensional no seu primeiro estado excitado. 10. Uma partícula presa numa caixa unidimensional de comprimento L está no estado fundamental. Calcule a probabilidade de encontrar a partícula (a) no intervalo x = 0, 001L em x = 1 2 L e (b) na região 0 < x < 1 4 L. 79 / 81

80 Exercícios 11. Encontre as soluções da Equação de onda de Schrödinger para o seguinte potencial: {, x 0 oux L U(x) =. 0, 0 x L 12. Encontre as soluções da Equação de onda de Schrödinger para o seguinte potencial: { U 0, x 0 oux L U(x) =. 0, 0 x L 13. Qual é a diferença substancial entre as soluções dos problemas 11 e 12? 80 / 81

81 Exercícios 14. Mostre que ψ 0 (x) = A 0 e γx2 e ψ 1 (x) = A 1 xe γx2 são soluções da equação de onda de Schrödinger independente do tempo. 15. Qual é a diferença entre as soluções clássica e quântica da um sistema submetido a um potencial degrau? 16. Explique o efeito tunelamento na mecânica quântica. 17. Quanto vale as energias dos três primeiros estados excitados no problema de uma partícula presa numa caixa tridimensional? 18. Explique o que significa os coeficientes de transmissão e reflexão nos problemas de potencial degrau e barreiras da mecânica quântica. 19. Por que as funções de onda que representam estados quânticos físicos nem sempre são funções reais? Comente sobre o significado das funções de onda complexas. 81 / 81