Física Quântica. Efeito fotoelétrico

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1 Física Quântica Você pode estar se perguntando: por que devo estudar física quântica? Um dia vou usar? Talvez nunca use... mas se um dia por ventura quiser se aventurar pela modelagem molecular, biofísica molecular ou alguma aplicação de biofísica, noções de quântica e atomística serão muito úteis! Digo por experiência própria. Pois bem, o que é física quântica? É difícil definir em poucas linhas. Nem mesmo velhos físicos definem direito (pois é... que novidade!). Vou somente introduzir esse assunto. Uma introdução muito, muito breve (juro que não vai doer!). Acho que você sabe que a luz é onda eletromagnética, certo? Quando estudamos interferência, polarização da luz, vemos que a luz tem uma natureza ondulatória. Porém, quando estudamos emissão, absorção e espalhamento da radiação eletromagnética, observamos um comportamento estranho. A onda é emitida e absorvida em pacotes semelhantes a partículas com energias definidas, chamados de fótons ou quanta. A energia de um fóton. é proporcional à frequência da radiação. Ou seja, uma onda eletromagnética é quantizada. A energia interna de um átomo também é quantizada. Em um dado átomo, a energia não pode assumir qualquer valor; somente alguns valores da energia, chamados níveis de energia, são possíveis. Tratarei disso em uma apostila futura! Efeito fotoelétrico O efeito fotoelétrico é a emissão de elétrons que ocorre quando a luz incide sobre uma superfície. Um exemplo muito legal é o binóculo de visão noturna, que recebe fótons do ambiente externo, cria-se uma corrente que é multiplicada e que por sua vez faz cintilar uma tela sensível dentro do binóculo. Os elétrons do material absorvem energia da radiação incidente e, portanto, podem superar a atração das cargas positivas e ser libertados da superfície. Essa atração produz uma barreira de energia potencial que geralmente mantém os elétrons confinados. A quantidade mínima de energia necessária que um elétron precisa absorver para escapar de uma dada superfície é chamada de função trabalho dessa superfície, e o símbolo é φ. Mas, nenhum elétron é emitido se a frequência da luz incidente é menor do que a chamada frequência de corte. Essa frequência mínima, abaixo da qual não ocorre emissão de elétrons, é uma característica do catodo. Quando a frequência f é maior do que a frequência de corte, alguns elétrons são emitidos do catodo com velocidade inicial alta. Quando o módulo do campo elétrico não é muito elevado, os elétrons com velocidades mais altas continuam a atingir o anodo e ainda assim existe uma corrente. Podemos determinar a energia cinética máxima dos elétrons emitidos ajustando o potencial no anodo em relação ao catodo, V AC, de modo que seu valor negativo seja suficiente para fazer a corrente se anular. Isso ocorre quando V AC = -V 0, em que V 0 é chamado potencial de corte. À medida que o elétron se desloca do catodo para o anodo, o potencial diminui de V 0 e o trabalho ev 0 é realizado sobre o elétron (com carga negativa); os elétrons com velocidade máxima deixam o catodo com energia cinética K max e possuem energia cinética igual a zero no anodo. Pelo teorema do trabalho-energia:

2 W total = ev 0 = K = 0 K max K max = 1 2 mv 2 max = ev 0 Em 1905, Einstein fez uma análise correta do efeito fotoelétrico. Desenvolveu uma hipótese apresentada por Max Planck, postulando que um feixe de luz era constituído por pequenos pacotes de energia, chamados fótons. A energia E de um fóton é igual a uma constante h vezes a frequência f. De acordo com a relação f = c λ para ondas eletromagnéticas no vácuo, temos E = hf = hc λ Em que h é uma constante universal chamada de constante de Planck (h = 6, Js). Um fóton que atinge uma superfície é absorvido por um elétron. Essa transferência de energia é um processo do tipo tudo ou nada, ou seja, o elétron ou ganha a energia total do fóton ou não absorve energia (e isso contraria o principio da transferência de energia continua da física clássica!). Quando essa energia é maior do que a função trabalho, o elétron pode escapar da superfície. Einstein mostrou, através da lei da conservação da energia K max = 1 2 mv 2 max = hf φ A função trabalho e as energias dos elétrons são geralmente expressas em elétrons-volt (ev) (1 ev = 1, J). Transformando a constante de Planck temos h = 6, Js = 4, ev s Onda de De Broglie Se um partícula se comporta como onda, ela deve ter um comprimento de onda e uma frequência. De Broglie postulou que uma partícula livre com massa de repouso m, deslocandose com velocidade não-relativística v (v << c), deve ter um comprimento de onda λ associado a seu momento linear p = mv do mesmo modo que um fóton (λ = h p). O comprimento de onda de De Broglie de uma partícula é λ = h p = h mv Onde h é a constante de Planck. Mas se a velocidade da partícula é uma fração considerável da velocidade da luz c, devemos substituir mv da equação acima por

3 mv 1 v2 c 2 A frequência f, de acordo com De Broglie é também relacionada com a energia da partícula E da mesma forma que ocorre com um fóton, ou seja, E = hf. Exemplo Calcule a velocidade e a energia cinética de um nêutron (m = 1, kg) com comprimento de onda de De Broglie λ = 0,200 nm, valor aproximadamente igual ao espaçamento entre os átomos em muitos cristais. Resposta Calculando a velocidade do nêutron: E a energia cinética é v = h λm = 6, (0, )(1, ) = 1, m/s K = 1 2 mv2 = 1 2 (1, )( 1, ) 2 = 3, J = 0,0204 ev Probabilidade e incerteza A descoberta de que a matéria possui uma natureza dual onda-partícula nos forçou a fazer uma reavaliação da linguagem cinemática que usávamos para descrever a posição e o momento linear de uma partícula. Na mecânica clássica newtoniana uma partícula era descrita como um ponto. Podemos descrever sua posição e seu estado de movimento com três coordenadas espaciais e três componentes para a velocidade. Contudo, geralmente tal descrição especifica não é possível. Quando observamos uma partícula em uma escala suficientemente pequena, existem limitações fundamentais que impedem a exata determinação da sua posição e sua velocidade. Muitos aspectos do comportamento de uma partícula só podem ser descritos em termos de probabilidade Você irá um experimento agora. Você tem um canhão de elétrons de um tubo catódico que dispara um feixe estreito de elétrons com mesma velocidade, mesma direção, logo com o mesmo comprimento de onda de De Broglie. Suponha que você está no vácuo, então os elétrons não sofrem desvios. Com uma placa fotográfica em frente do canhão registra a chegada desses elétrons. A figura abaixo mostra um padrão de difração, e fornece uma evidência adicional da natureza ondulatória do elétron. Cerca de 85% dos elétrons incidentes atingem a placa fotográfica dentro do máximo central. Os elétrons restantes formam os máximos secundários adjacentes.

4 Supondo que os elétrons sejam ondas, o comportamento ondulatório comprovado por essa experiência não é surpreendente. Mas, se imaginarmos que os elétrons são partículas, estaremos diante de problemas muito sérios. Em primeiro lugar, nem todos os elétrons seguem a mesma trajetória, embora todos se encontrassem na mesma situação no estado inicial. Na verdade, não podemos prever a trajetória exata de nenhum elétron individual a partir do conhecimento de seu estado inicial. O máximo que podemos dizer é que muitos elétrons incidem em uma região, alguns poucos incidem em outra, e assim por diante. Ou seja, podemos dizer qual é a probabilidade de que um elétron atinja uma determinada área da placa fotográfica. Essa indeterminação fundamental não encontra nenhuma contrapartida na física clássica. Em segundo lugar, existem incertezas fundamentais quanto à posição e ao momento linear de uma partícula individual, e essas duas incertezas são inseparáveis. Quando a coordenada x apresenta uma incerteza x e o momento linear correspondente p x apresenta uma incerteza p x, então os desvios-padrão associados com as incertezas são relacionados de forma geral por meio da desigualdade x p x ħ Que é chamada de principio da incerteza de Heisenberg. Nessa expressão, ħ é ħ = h 2π Esse princípio afirma que, em geral, não podemos determinar nem a posição nem o momento linear de uma partícula com uma precisão arbitrariamente grande, como é previsto pela física clássica. Ao contrário, as incertezas dessas duas grandezas desempenham papéis complementares. Função de onda e a equação de Schrödinger Agora sabemos que uma partícula, como um elétron ou qualquer coisa em escala atômica ou subatômica, não pode ser descrita simplesmente como um ponto. Em vez disso, usamos uma função de onda para descrever o estado da partícula. Até agora, usamos as funções de onda

5 para descrever, por exemplo, o deslocamento de um ponto da corda, na forma y = (x, t), que representa o deslocamento de qualquer ponto x a partir da origem em qualquer instante t. Para a mecânica quântica, não será muito diferente. O símbolo geralmente usado para designar a função de onda é a letra grega Ψ ou ψ. Constuma-se empregar Ψ para designar uma função das coordenadas e do tempo e ψ para designar uma função apenas das coordenadas, sem incluir o tempo. Podemos usar a função de onda da mecânica quântica Ψ(x, y, z, t) de uma partícula para encontrar os valores médios da posição, do momento linear, da energia e do momento angular da partícula. A função de onda descreve a distribuição de probabilidade de uma partícula no espaço. Quando calculamos o quadrado da função de onda em cada ponto, podemos descobrir a probabilidade de encontrar a partícula nas vizinhanças do ponto. Mais precisamente, devemos dizer o quadrado do módulo da função de onda Ψ 2, já que Ψ não é necessariamente uma grandeza real. Existe a relação Ψ(x, y, z, t) = ψ(x, y, z)e iet/ħ A função exponencial acima é definida pela formula de Euler, a qual afirma que, para qualquer ângulo θ, e iθ = cosθ + isenθ e iθ = cos isenθ Ou seja, a equação acima indica que a função de onda é uma função complexa. Vamos agora analisar a função de distribuição de probabilidade Ψ 2. Note que Ψ 2 é o produto de Ψ pelo seu complexo conjugado Ψ. Para encontrar o complexo conjugado de um número complexo, basta substituir todos os i por i. Por exemplo, o conjugado complexo de c = a + ib, onde a e b são reais, é c* = a ib, portanto c 2 = c c = (a + ib)(a ib) = a 2 + b 2 (lembre-se de que i 2 = -1). O conjugado complexo é então Ψ (x, y, z, t) = ψ (x, y, z)e iet/ħ Logo, Ψ(x, y, z, t) 2 = Ψ (x, y, z, t)ψ(x, y, z, t) = ψ (x, y, z)ψ(x, y, z)e +iet ħ e iet ħ = ψ(x, y, z) 2

6 Como ψ(x, y, z) 2 não depende do tempo, a equação acima indica que o mesmo deve ser verdade para uma função de distribuição de probabilidade Ψ(x, y, z, t) 2. Isso justifica a aplicação da expressão estado estacionário a um estado de energia definida. Para descrever um estado estacionário precisamos conhecer a sua função de onda espacial ψ(x, y, z) e sua energia E. Para encontrar esses valores, usamos uma ferramenta desenvolvida em 1926 por Schrödinger. Esta equação desempenha o mesmo papel central na mecânica quântica que as leis de Newton na mecânica e as equações de Maxwell no eletromagnetismo. Nossa compreensão de todo o sistema da mecânica quântica, inclusive átomos, moléculas, núcleos atômicos e elétrons em sólidos, baseia-se nas soluções dessa equação nesse sistema. A forma mais simples de uma equaçõa de Schrödinger é aplicada a uma partícula de massa m que se desloca em apenas uma dimensão, paralela ao eixo Ox, de modo que a função de onda espacial ψ é uma função apenas de x. Supomos que a partícula se desloque na presença de uma força conservativa que tenha apenas um componente no eixo Ox, de modo que haja uma energia potencial U(x) correspondente. A equação de Schrödinger para tal partícula com uma energia definida E é ħ d 2 ψ(x) 2m dx 2 + U(x)ψ(x) = Eψ(x) Como exemplo, considere uma partícula livre sobre a qual nenhuma força é aplicada. Se não forças, U(x) é independente de x; para simplificar, tomamos U(x) = 0. Se essa partícula livre estiver se deslocando no sentido +x com momento linear de módulo p, a sua energia cinética (e, portanto, sua energia total) é E = p 2 2m. Essa partícula está em um estado de energia definida (um estado estacionário). De acordo com as equações de De Broglie, a partícula tem um comprimento de onda λ = h/p e uma frequência f = E/f definidos. Por analogia com as ondas mecânicas progressivas, escrevemos a função de onda como Ψ(x, t) = Acos(kx ωt) + Bsen(kx ωt) Onde A e B são constantes. Usamos o numero de onda k = 2π/λ e a frequência angular ω = 2ππf: k = 2π λ = 2π h h λ = p h ω = 2πf = 2π h hf = E ħ Fazendo B = ia, a função de onda resultante será Ψ(x, t) = Acos(kx ωt) + iasen(kx ωt) = A[cos(kx ωt) + isen(kx ωt)] = Ae i(kx ωt) = Ae ikx e iωt

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