Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva

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1 Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva

2 O Efeito Compton Einstein, em 1919, concluiu que um fóton de energia E se desloca em uma única direção (diferentemente de uma onda esférica) e é portador de um momento (linear): p E c hf c Nas palavras de Einstein: Se um pacote de radiação provoca a emissão ou absorção de um pacote de energia hf por uma molécula, então há uma transferência de momento para a molécula (no valor hf/c),queseránadireçãodo pacote quando houver absorção e na direção oposta à do pacote quando houver emissão. 10/11/2015 Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva 2

3 O Efeito Compton Compton e Debye em 1923, independentemente um do outro, ampliaram mais ainda a ideia de Einstein sobre o momento. Perceberam que o espalhamento de fótons de raios X por elétrons poderia ser explicado considerando-se os fótons como partículas puntiformes, com energia hf emomentohf/c, e conservando-se a energia e o momento do par fóton-elétron na colisão. Modelo Clássico Modelo Quântico 10/11/2015 Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva 3

4 Classicamente esperaríamos somente um pico de da radiação incidente, o que não ocorre. 0 A explicação é baseada no fato do fóton carregar momento linear ( p ) e energia ( E ). 10/11/2015 Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva 4

5 Na sua análise, Compton previu que o pico deslocado deveria depender do ângulo de espalhamento conforme: Equação do deslocamento Compton h 0 (1 cos ) m c 0 onde, m é a massa do elétron. c h m c 0 2, m é o comprimento de onda de Compton da partícula espalhada. ( 1 cos ) c 10/11/2015 Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva 5

6 Exemplo Energia e momento de um fóton Calcular a energia e o momento de um fóton de comprimento de onda de 700 nm. 10/11/2015 Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva 6

7 Exemplo Espalhamento Compton a 45 Um feixe de raios X de comprimento de onda 0 = 0,20 nm é espalhado por um alvo. Os raios X espalhados são observados sob ângulo de 45 em relação ao feixe incidente. Calcular o comprimento de onda dos raios X espalhados sob este ângulo. 10/11/2015 Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva 7

8 Espectros atômicos Toda substância a uma certa temperatura emite radiação térmica, caracterizada por uma distribuição contínua de comprimentos de onda. A forma da distribuição depende da temperatura e das propriedades da substância. Material aquecido emite no visível 10/11/2015 Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva 8

9 10/11/2015 Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva 9

10 Espectro de emissão He Espectro de absorção 10/11/2015 Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva 10

11 H H H H A série de Balmer das raias espectrais do hidrogênio Série de Balmer: R H n n = 3, 4, 5, 6,... R H 1, m (Constante de Rydberg) 1 10/11/2015 Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva 11

12 Outras séries espectrais para o hidrogênio foram descobertas: Série de Lyman: R H n n = 2, 3, 4, 5,... Série de Paschen: R H n n = 4, 5, 6, 7,... Série de Brackett: R H n n = 5, 6, 7, 8,... Série de Pfund: R H n n = 6, 7, 8, 9,... 10/11/2015 Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva 12

13 O modelo quântico de Bohr para o átomo No início do século XX, os cientistas estavam perplexos ante ao fracasso da física clássica em explicar as características dos espectros atômicos. Por que o hidrogênio só emite certas raias na região do espectro visível? Por que o hidrogênio só absorve as raias que têm os comprimentos de onda que emite? 10/11/2015 Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva 13

14 O átomo na Antiga Mecânica Quântica Rutherford então propôs um modelo no qual toda a carga positiva dos átomos, que comportaria praticamente toda a sua massa, estaria concentrada numa pequena região do seu centro: o núcleo. Os elétrons, então, ficariam orbitando em torno deste núcleo: Modelo planetário. Entretanto, estes elétrons em órbita estariam acelerados (aceleração centrípeta). Assim, segundo o eletromagnetismo, deveriam emitir energia na forma de radiação eletromagnética, até colapsarem para o núcleo! 10/11/2015 Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva 14

15 A teoria de Bohr era uma combinação de ideias: Da teoria quântica original de Planck Da teoria de fótons de luz, de Einstein Do modelo atômico de Rutherford O modelo de átomo de Bohr tem aspectos clássicos e também postulados revolucionários. 10/11/2015 Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva 15

16 As ideias básicas da teoria de Bohr para o átomo de hidrogênio são as seguintes: 1) O elétron se move em órbitas circulares em torno do próton, sob influência da força de atração coulombiana do núcleo. (Mecânica Clássica) 2) Somente certas órbitas são estáveis. Estas órbitas estáveis são aquelas nas quais o elétron não irradia. Então, a energia está fixa, ou estacionária, e a mecânica clássica pode ser usada para descrever o movimento do elétron. 10/11/2015 Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva 16

17 3) A radiação é emitida pelo átomo quando o elétron salta de um estado estacionário inicial, com energia maior, para um estado com menor energia. Este salto não pode ser visualizado ou tratado classicamente. Em particular, a frequência f do fóton emitido no salto é independente da frequência do movimento orbital do elétron. A frequência da luz emitida está relacionada com a variação da energia do átomo e é dada pela fórmula de Planck-Einstein E i E f = h f E i é a energia do estado inicial E f a energia do estado final E i > E f 10/11/2015 Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva 17

18 4) O tamanho das órbitas permitidas do elétron é determinado pela condição quântica adicional imposta ao movimento angular orbital do elétron. Ou seja, as órbitas permitidas são aquelas nas quais o movimento angular orbital do elétron é um múltiplo inteiro de mvr n n = 1, 2, 3, 4,... 10/11/2015 Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva 18

19 Níveis de Energia e comprimentos de onda permitidos 2 2 n r n 2 mke n = 1, 2, 3, 4,... O raio das órbitas estacionárias 2 a 0, nm mke A órbita com n =1 tem o menor raio, 2 é o chamado raio de Bohr E n 2 ke 1 2a n ,6 E n ev 2 n Quantização da energia n = 1, 2, 3, 4,... 10/11/2015 Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva 19

20 O estado fundamental, n = 1, tem a energia: E1 13, 6eV O primeiro estado excitado, n = 2, tem a energia: E E 3, 4eV ,6 E n ev 2 n 10/11/2015 Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva 20

21 10/11/2015 Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva i f f i n n h a ke h E E f Juntamente com o terceiro postulado de Bohr, permite que se calcule a frequência do fóton emitido quando o elétron salta de uma órbita mais externa para uma órbita mais interna: i f H n n R n f n i hc a ke c f Frequência: Comprimento de onda:

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23 Bohr generalizou imediatamente o seu modelo para o hidrogênio e aplicou-o a outros elementos em que todos os elétrons, exceto um, tivessem sido removidos. Elementos ionizados como: He +, Li ++ e Be +++ Carga do núcleo +Ze 2 a0 r n n Z E n 2 ke Z 2a0 n 2 2 n = 1, 2, 3, 4,... 10/11/2015 Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva 23

24 Exemplo Raias espectrais da estrela -Puppis As misteriosas raias observadas por Pickering, em 1896 no espectro da estrela -Puppis, ajustam-se à formula empírica RH 2 2 n 2 2 f ni Mostre que estas raias podem ser explicadas pela teoria de Bohr como originando-se do He +. 10/11/2015 Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva 24

25 Exemplo Uma transição eletrônica no hidrogênio O elétron, no átomo de hidrogênio, faz uma transição do estado de energia n = 2 para o estado fundamental (correspondente a n =1). Ache o comprimento de onda e a frequência do fóton emitido. Qual o comprimento de onda do fóton emitido quando o elétron faz uma transição do estado n =3paraoestadon =1? 10/11/2015 Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva 25

26 Exemplo Série de Balmer para o hidrogênio A série de Balmer para o átomo de hidrogênio corresponde a transições eletrônicas que terminam no estado de número quântico n =2. (a) Achar o comprimento de onda do fóton de maior comprimento de onda emitido e determinar sua energia. (b) Achar o comprimento de onda do fóton de menor comprimento de onda emitido e determinar sua energia. 10/11/2015 Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva 26

27 Princípio da correspondência No estudo da relatividade, vimos que a mecânica newtoniana não podia ser usada para descrever fenômenos que ocorressem a velocidades que se aproximavam da velocidade da luz. A mecânica newtoniana é um caso especial da mecânica relativística e só aplicável quando v for muito menor do que c. Analogamente, a mecânica quântica concorda com a física clássica quando os números quânticos são muito grandes. Este princípio, enunciado pela primeira vez por Bohr, é o princípio da correspondência. 10/11/2015 Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva 27

28 Fótons e as ondas eletromagnéticas A explicação do efeito fotoelétrico e do efeito Compton contribui com indícios convincentes a favor do conceito corpuscular (fótons) da luz. Energia hf emomentoh/ Como a luz pode ser considerada um fóton (corpúsculo) se ela exibe propriedades ondulatórias? A luz é uma onda ou partícula? A resposta depende do fenômeno particular que se observa... A teoria dos fótons e a teoria ondulatória da luz se complementam mutuamente. 10/11/2015 Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva 28

29 Ondas de rádio de 2,5 MHz correspondem a um fóton de energia de apenas 10-8 ev. Muito pequena para ser percebida como um fóton único. Um receptor de rádio sensível precisa de cerca de desses fótons para provocar um sinal perceptível. Frequências cada vez mais altas. O momento e a energia do fóton aumentam, por isso a natureza corpuscular da luz se torna mais evidente que sua natureza ondulatória. É possível detectar, com facilidade, a absorção de um fóton de raios X como um evento singular. Porém, quando o comprimento de onda diminui, os efeitos ondulatórios, como os de interferência e difração, tornam-se mais difíceis de observar. A luz tem dupla natureza: exibe características ondulatórias e características corpusculares. 10/11/2015 Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva 29

30 As propriedades ondulatórias das partículas Na sua tese de doutorado, postulou que, em virtude de os fótons terem características ondulatórias e corpusculares, talvez todas as formas de matéria tenham propriedades ondulatórias e também corpusculares. Conforme de Broglie, os elétrons têm tambémumanaturezadupladepartículae onda. Acompanhando cada elétron havia uma onda (não uma onda eletromagnética), que guiava ou pilotava os elétrons através do espaço. 10/11/2015 Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva 30

31 De Broglie explicou a fonte de sua suposição no seu discurso de aceitação do Prêmio Nobel, em 1929: Por um lado, a teoria quântica da luz não pode ser considerada satisfatória, pois define a energia de uma partícula de luz pela equação E = hf que contém a frequência f. Ora, uma teoria corpuscular não tem nada que nos permita definir uma frequência; só por esta razão, somos compelidos, no caso da luz, a introduzir simultaneamente a ideia de um corpúsculo e a ideia de periodicidade. Por outro lado, a determinação de movimentos estáveis dos elétrons num átomo introduz números inteiros, e até então os únicos fenômenos da física que envolviam inteiros eram os de interferência e os de modos normais de vibração. Este fato sugeriu-me a ideia de que também os elétrons não pudessem ser considerados simplesmente corpúsculos, mas que também lhes fosse associada a periodicidade. 10/11/2015 Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva 31

32 Fóton: Energia E hf hc Momento p E c hc c h De Broglie sugeriu que as partículas de matérias de momento p devem também ter propriedades ondulatórias e um comprimento de onda determinado. Uma vez que o momento de uma partícula de massa m evelocidade vép=mv, o comprimento de onda de de Broglie da partícula é: h p h mv f E h A dupla natureza da matéria é evidente nestas duas equações. Isto é, cada equação contém um conceito corpuscular (mv e E) e um conceito ondulatório ( ef). 10/11/2015 Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva 32

33 Quantização do momento angular no modelo de Bohr O modelo de Bohr para o átomo tem muitas limitações e problemas. Por exemplo: Quando os elétrons orbitam em torno do núcleo, qual a razão de apenas certas energias do elétron serem permitidas? Por que todos os átomos de um certo elemento têm exatamente as mesmas propriedades físicas, independentemente da infinita variedade de velocidades iniciais e de posições iniciais dos elétrons em cada átomo? 10/11/2015 Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva 33

34 A grande intuição de de Broglie foi perceber que as teorias ondulatórias da matéria resolvem elegantemente estes problemas mediante a interferência. Como o elétron descreve um círculo em torno do núcleo, todos estados possíveis são ondas estacionárias, cada qual com seu comprimento de onda, sua velocidade e sua energia. 10/11/2015 Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva 34

35 Outro aspecto da teoria de Bohr, que também é mais fácil de visualizar fisicamente mediante a hipótese de de Broglie é o da quantização do momento angular. Basta admitir que as órbitas permitidas do modelo de Bohr aparecem em virtude de as ondas de matéria dos elétrons constituírem ondas estacionárias quando um número inteiro de comprimento de onda ajusta-se exatamente à circunferência de uma órbita circular. Então: n 2r r é o raio da órbita Comprimento de onda de de Broglie: h mv Condição de Bohr para a quantização do momento angular: mvr n 10/11/2015 Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva 35

36 A experiência de Davisson-Germer Em 1927, Davison e Germer, conseguiram medir o comprimento de onda dos elétrons. A experiência envolvia espalhamento de elétrons de baixa energia (54 ev) por um cristal de níquel no vácuo. 10/11/2015 Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva 36

37 Difração eletrônica: E 2 p h p 2mE Difração de Bragg: d sin 2m 2mE ο ο ο d 2.15A A Usando a relação de de Broglie para elétrons acelerados: V 54V E 54 ev m 9,1110 h 6,6310 ο 1,67 A kg J.s 19 J que é muito próximo do valor obtido por difração e mostra o comportamento ondulatório dos elétrons. 10/11/2015 Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva 37

38 Difração eletrônica: Davisson e Thomson receberam o prêmio Nobel em 1937 C. P. Thomson Raios X Elétrons 10/11/2015 Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva 38

39 Exemplo: Comprimento de onda de um elétron Calcular o comprimento de onda de de Broglie para um elétron (m = 9,11x10-31 kg) que se move com velocidade de 10 7 m/s. 10/11/2015 Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva 39

40 Exemplo: Comprimento de onda de uma pedra Uma pedra, com massa de 50 g, é arremessada com a velocidade de 40 m/s. Qual o comprimento de onda de de Broglie desta pedra? 10/11/2015 Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva 40

41 Exemplo: Uma carga acelerada Umapartículadecargaq emassam é acelerada do repouso por uma diferença de potencial V. a) Achar o comprimento de onda de de Broglie da partícula. b) Calcular se a partícula for um elétron e V =50V. 10/11/2015 Prof. Dr. Lucas Barboza Sarno da Silva 41