Propriedades Ondulatórias da matéria

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1 Propriedades Ondulatórias da matéria 184 Postulado de de Broglie: A luz que apresenta fenômenos como difração e interferência tem também propriedades que só podem ser interpretadas como se ela fosse tratada como um conjunto de corpúsculos (energia, momento linear) comportamento dual Dualidade onda-partícula Se aplica também a matéria: Fóton tem associado uma onda luminosa que governa seu movimento Partícula tem associado uma onda de matéria Matéria e radiação tem energia total E 11/10/007 FNC Fisica V 1

2 Fótons E h ν p c E h ν c h λ Por simetria de Broglie, postulou que: Matéria ν E h λ Onde λ é o comprimento de onda de de Broglie de uma onda de matéria associada ao movimento de uma partícula material que tem momento p É como no caso da ótica: geométrica e física. Geométrica raios (trajetórias) Física ondas (interferência, difração,...) 11/10/007 FNC Fisica V h p Se λ << a ou λ >> a geométrica. Se λ ~ a física.

3 Exemplo: Corpos macroscópicos massa momento λ pequeno Objeto de massa de 1 kg com v10 m/s λ h/mv 6,6 x J.s/10 kg.m/s λ 6,6 x m 6,6 x 10-0 fm. E impossível de ser observado Elétron Qual é o comprimento de onda associado, se este possui energia cinética de 100 ev: h h hc 1,4keVnm λ 0,1nm 1. Α p 5 me mc E ( ev ) Comprimento de onda parecido como de raios-x típicos Propriedades ondulatórias dos e - podem ser observadas semelhantemente ao efeitos de difração e interferência parecido como os raios-x 11/10/007 FNC Fisica V 3

4 Testes experimentais da hipótese de de Broglie 197 Davisson e Germer (USA) e G. Thomson (Escócia): difração de elétrons (feixe de e - acelerados incidem em um monocristal Potencial faz com que os e - sejam emitidos com E (ev) Máximo λ dsenθ ϕ cos E e 54 ev E a energia que tem corrente máxima no detector A existência deste pico mostra qualitativamente o postulado de de Broglie pois só pode ser explicado com uma interferência construtiva de ondas espalhadas 11/10/007 FNC Fisica V 4

5 Medidas com raios-x d 0,091 nm Máximo em ϕ 50 o λ dcosϕ/ x0,091x0,906 0,165 nm Mas h h hc 1,4keVnm λ 0,168nm p 5 mk mc E ( ev ) G.P. Thomson Nobel em 1937 Difração de feixe de elétrons Semelhantes experimentos com feixes de prótons, nêutrons e mesmo átomos apresentam o mesmo fenômeno de difração mostrando que as relações de de Broglie são universais. O pai G. Thomson ganhou o Nobel por ter descoberto e - e ter caracterizado-o como partícula. E o filho ganhou o Nobel por mostrar que o e - é uma onda 11/10/007 FNC Fisica V 5

6 Caso relativístico Para se determinar uma expressão equivalente que se aplique tanto as partículas relativísticas como não-relativísticas: E + 0 Energia total E E 0 + λ h p ( ) ( pc mc ) E K hc ( E E ) 1/ K + E 0 K mc E Energia de repouso da partícula ( ) ( ) E + E pc ( ) K + 0 E0 p ( E E + E ) 0 K c K 1/ Aplicável a qualquer partícula com qualquer energia 11/10/007 FNC Fisica V 6

7 Associaremos uma função de onda que representa a onda de de Broglie Função de onda que é solução da equação de onda Uma solução simples é a chamada onda harmônica Cujo n o de onda Ψ( x, t) Ψ 1 Ψ x v t Ψ x, t Acos k( x vt Ψ ( ) ) ( x, t) Asenk( x vt) π k Ψ( x, t) Acos( kx wt) λ Curva que viaja na direção de x positivo 11/10/007 FNC Fisica V 7 v é a velocidade de fase

8 Partícula onda localizada (pacote de onda). Como produzir um pacote? 11/10/007 FNC Fisica V 8

9 Soma de ondas 11/10/007 FNC Fisica V 9 k m w m

10 Podemos interpretar a onda soma como sendo um envelope que modula lentamente uma onda com k e w médios Ψ( x, t) Ψ1 + Ψ Acos 1 amplitude (envelope) 1 1 ω k ( kx ωt) cos( kx ωt) ( kx ωt) k x t k( x v t) velocidade de grupo 11/10/007 FNC Fisica V v 10 g 1 A velocidade de propagação das ondas individuais v f w/k g A velocidade de propagação do grupo dω dk

11 Para o postulado de de Broglie E hν hω h p hk λ E p m ω E h p p v f k h p mp m A velocidade de fase não corresponde a velocidade da partícula ( hω) ( k) dω d de p v g dk d h dp m O pacote de onda se propaga com velocidade do elétron 11/10/007 FNC Fisica V 11 v v

12 A incerteza x nesta localização corresponde a distância entre dois nulos consecutivos do envoltório Para um dado instante a distância entre dois nulos consecutivos será: 1 1 kx 1 ( ω t) ( kx ωt) π k ( x x ) k x π e w t 1 π Isto mostra que quanto mais tentamos localizar a partícula no espaço x, maior será o numero de ondas utilizado para a construção do pacote 11/10/007 FNC Fisica V 1

13 Para construir um pacote de ondas realmente localizado como um pulso gaussiano devemos somar um no infinito de ondas A integral de Fourier σ x σ k 11/10/007 FNC Fisica V 13 1

14 O princípio da incerteza Werner Heisenberg, 197: medidas simultâneas de posição e momento conjugados (x e p x, por exemplo) apresentam uma relação entre suas incertezas dada por x p x ħ/. E Um feixe de luz incide sobre um anteparo com duas fendas E e D D 11/10/007 FNC Fisica V 14

15 Interferência A luz ao atravessar duas fendas em um anteparo apresenta um padrão de interferência como o das ondas na superfície da água. A luz apresenta também aquelas outras propriedades (superposição, reflexão, refração,...) fenômeno ondulatório. Mas... I E I D I ED 11/10/007 FNC Fisica V 15 E D Detectores de luz Fonte de luz

16 Fótons z Fotografias com tempos de exposição diferentes dão indicações do comportamento corpuscular da luz. z Aumentando o tempo de exposição, a figura da moça fica mais nítida. z Luz: onda ou partícula? G.I. Taylor: fenda dupla com fótons. Muitos juntos interferência. Um de cada vez interferência. Portanto a interferência ocorre entre partes da onda de 1 partícula. 11/10/007 FNC Fisica V 16

17 Partículas (grandes) Um spray é usado para jogar tinta sobre um anteparo coberto por papel. P D P ED P E D E E D E D Papel Fenda E Fenda D Spray 11/10/007 FNC Fisica V 17

18 Elétrons e ondas Hipóteses: Os elétrons dividem-se em dois e essas metades passam pelas fendas. Os elétrons do feixe ao atingirem as fendas, interagem e produzem esse padrão coletivo de interferência. O que precisamos é saber por onde o elétron passou. 11/10/007 FNC Fisica V 18

19 Observando P ED?? E e D abertas elétrons Fácil: é só marcar por qual fenda o elétron passou. Isto pode ser feito usando uma fonte de fótons após o anteparo. MAS... P D P E E D E E D D Detectores de elétrons Fonte de Fótons Detectores de fótons Fonte de Elétrons 11/10/007 FNC Fisica V 19

20 Tentar observar (hipoteticamente) um 1 e - num microscópio iluminando-o com 1 fóton p x θ p p x Fóton : p x psenθ p psenθ x psenθ h senθ p λ Microscópio: limite na definição da imagem devido à difração poder de resolução ( x) e Portanto: x λ senθ h λ p sen > h x x θ h λ senθ Se x diminui p x aumenta. Por ex.: λ x p x Esta análise mostra que o princípio de incerteza é uma 11/10/007 FNC Fisica V imposição da natureza 0