UFABC - Física Quântica - Curso Prof. Germán Lugones. Aula 9. Soluções da equação de Schrödinger: partícula numa caixa infinita

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1 UFAB - Física Quântica - urso Prof. Germán Lugones Aula 9 Soluções da equação de Schrödinger: partícula numa caixa infinita 1

2 Dada uma função de energia potencial V(x) que representa um certo sistema, queremos usar uma equação de Schrödinger independente de tempo, para: - determinar os possíveis níveis de energia - determinar as funções de onda ψ(x) correspondentes.

3 A equação de Schrödinger para o potencial nulo Mostraremos que, para uma partícula livre de massa m movendo-se em uma dimensão, a função ψ(x) = A e ikx + B e ikx é uma solução para a equação de Schrödinger independente do tempo para quaisquer valores das constantes A e B. Não há forças agindo sobre uma partícula livre. omo a força sobre uma partícula é dada por F = dv(x)/dx, temos que para uma partícula livre V(x)=constante. Neste exemplo adotaremos V(x)=0. Portanto, a equação de Schrödinger independente do tempo fica: ~ m d (x) dx + V (x) (x) =E (x) ~ m d (x) dx = E (x) 3

4 Derivamos ψ(x) = A e ikx + B e ikx para checar se se verifica a equação: d (x) dx = ikaeikx ikbe ikx d (x) dx = k Ae ikx k Be ikx Substituindo na Eq. de Schrödinger, temos: ~ m d (x) dx = E (x) ~ m k Ae ikx k Be ikx = E Ae ikx + Be ikx ~ k m (x) =E (x)

5 omo temos V(x)=0, a energia total é: E = p /(m)+v(x) = p /(m) Usando a relação de De Broglie, p=ħk, temos: E = p /(m) = ħ k /(m) Substituindo na equação do slide anterior obtemos: E ψ(x) = E ψ(x) Logo, a função ψ(x) = A e ikx + B e ikx é uma solução para a equação de Schrödinger independente do tempo para quaisquer valores das constantes A e B.

6 Revisão de equações diferenciais ordinárias Teorema 1: Seja a equação diferencial: d f(x) dx + f(x) =0 onde f(x) é uma função real ou complexa, e α é uma constante real, i.e. α é um número real positivo. No curso de EDO, se demonstra que a solução dessa equação é: f(x) =Ae i x + Be i x onde A e B são constantes arbitrárias. Temos uma combinação linear de exponenciais complexas.

7 Teorema : Seja a equação diferencial: onde α é uma constante real. d f(x) dx f(x) =0 A solução dessa equação é: onde A e B são constantes arbitrárias. f(x) =Ae x + Be x Temos uma combinação linear de exponenciais reais.

8 Partícula em uma caixa infinita Vamos resolver a equação Schrödinger independente de tempo para um potencial V(x) com forma de poço quadrado infinito. Este problema é às vezes chamado de "partícula em uma caixa". Podemos construir uma "caixa" para um elétron usando dois eletrodos e duas grades dentro de um tubo contendo vácuo. Electron G G V V 8

9 (a) V G Electron G V olocamos dois eletrodos c o n e c t a d o s a u m potencial V. Ao lado de cada um, colocamos grades G conectadas a terra. (b) Potential energy Não há força sobre o elétron colocado entre as grades. (c) Potential energy G G x Nas regiões entre cada e G há um campo elétrico cuja força depende da magnitude de V. G G x Esse dispositivo pode manter o elétron confinado entre as duas grades. 9

10 (a) Electron G G (b) (c) V Potential energy G G V x As paredes podem ser feitas arbitrariamente altas e íngremes, aumentando o potencial V e reduzindo a separação entre e G. Potential energy G G x 10

11 No limite, a função de energia potencial V(x) tende ao potencial de um poço quadrado infinito. V(x) Para este problema, a energia potencial é da forma: V(x) = 0 para 0 < x < L V(x) = para x<0 e x>l 0 L x O potencial V(x) é bastante artificial, mas vale FIGURE a pena 6- estudá-lo cuidadosamente por vários motivos: (1) não precisa de matemática difícil. () o problema está intimamente relacionado com o problema da corda vibrante na física clássica; (3) esse potencial é uma aproximação relativamente boa para algumas situações reais, por exemplo, o movimento de um elétron livre dentro de um metal. 11

12 omo a energia potencial é infinita fora do poço, a função de onda deve ser zero nessa região (lembremos que a densidade de probabilidade da posição da partícula é proporcional a ψ ). Logo, precisamos resolver a equação de Schrödinger independente do tempo apenas na região dentro do poço, 0<x<L.. omo V(x)=0, a equação de Schrödinger fica: ~ m d (x) dx = E (x) ) d (x) dx + me (x) =0 ~ A função de onda deve ser contínua, ψ(x) deve ser zero em x=0 e x=l, logo: ψ(0) = 0 ψ(l) = 0 Estas são as duas condições de contorno da equação diferencial acima, no caso de uma caixa infinita. 1

13 A solução da equação diferencial do slide anterior é: r me onde k =. ~ (x) =Ae ikx + Be ikx Agora, só falta determinar os valores das constantes A e B que permitem que sejam verificadas as condições de contorno ψ(0) = 0 e ψ(l) = 0. Primeiro usamos a condição ψ(0) = 0: (0) = Ae ik0 + Be ik0 = A + B =0 ) A = B 13

14 Usando a condição A = B, podemos re-escrever a solução de nosso problema: (x) =Ae ikx Ae ikx = A [cos(kx)+i sin(kx)] A [cos(kx) i sin(kx)] =ia sin(kx) Agora usamos a condição ψ(l) = 0: (L) =ia sin(kl) =0 Para que a condição acima seja verificada, poderíamos adotar A=0. Mas isso nos levaria à solução nula ψ(x)=0, que não representa o problema de uma partícula numa caixa infinita. Devemos, portanto, adotar sin(kl)=0: sin(kl) =0 ) kl = n, n =0, 1,, 14

15 Substituindo k em função da energia: kl = n ) p me ~ L = n E = n ~ ml n =1,, Discussão: 1. As condições de contorno levaram à quantização da energia! E não pode adotar qualquer valor!. O valor n=0 não foi considerado pois E=0 significa que a equação de Schrödinger fica -ħ /(m) d ψ/dx =0 ψ(x) = A + B x. Para verificar as condições de contorno ψ(0) = 0 e ψ(l) = 0, deveríamos ter A=B=0, o que nos levaria à solução nula ψ(x) = 0. 15

16 3. Podemos escrever E da seguinte maneira: Energy E n n ml n E 1 onde E 1 é a menor energia permitida (energia do ponto zero): 5E 1 V n 5 E 1 ml 16E 1 4 E n = n E 1 E 1 = ml 9E 1 3 4E 1 E V = 0 L x 16

17 A constante A, que aparece na função de onda, pode ser determinada a partir da condição de normalização: Z L 0 Z +1 Agora definimos n = ia n, e usamos k = nπ/l. Logo: 1 (x) (x)dx =1 ( i)a n sin(kx) ia n sin(kx)dx =1 Z L 0 n sin (n x/l)dx =1 Podemos calcular essa integral usando a identidade trigonométrica sen θ= (1 cosθ)/; o resultado é n L/. Portanto, n L =1 ) n = r L 17

18 Então as funções de onda normalizadas para uma partícula em uma caixa são: r n x n(x) = L sin n =1,, 3, L O número n recebe o nome de número quântico. Ele identifica a função de onda e a energia correspondente. 18

19 Funções de onda ψ n (x) e densidades de probabilidade ψ n (x) para n=1,, 3. Para x<0 e x>l temos ψ n (x)= /L /L 0 L/3 L/3 L x 0 L/3 L/3 L x /L /L 0 L/ L x 0 L/ L x 1 1 /L /L 0 L x 0 L x 19

20 Até agora, obtivemos a solução da equação de Schrödinger independente do tempo. Sabemos (ver aula anterior) que se ψ(x) é a função de onda para um estado definido de energia E, a função de onda dependente do tempo é: ψ(x, t) = ψ(x) e iet/ħ. Portanto, as funções de onda dependentes do tempo para um estado estacionário, para uma partícula em uma caixa, são: n(x, t) = n (x)e ie nt/~ = r n x L sin e ie nt/~ L n =1,, 3, 0

21 Partículas na caixa de um polímero Poliacetileno faz parte de uma classe de moléculas orgânicas de cadeia longa que conduzem eletricidade ao longo de seu comprimento. A molécula é constituída por um grande número de unidades ( H ), chamadas monômeros (apenas três monômeros são mostrados aqui). Os elétrons podem se mover livremente ao longo do comprimento da molécula, mas não perpendicularmente ao comprimento, de modo que a molécula é como uma caixa unidimensional de elétrons. Monômero H H H Ligação dupla Ligação simples H Poliacetileno H H H L Elétrons são confinados ao comprimento L da molécula (como partículas em uma caixa). 1

22 O comprimento L da molécula depende do número de monômeros. Poliacetileno A experiência mostra que os níveis de energia permitidos estão bem de acordo com a Equação: E n = n ~ ml n =1,, Monômero H H H Ligação dupla Ligação simples H H H L Quanto maior for o número de monômeros e quanto maior for o comprimento L, mais baixos serão os níveis de energia e menor o espaçamento entre esses níveis. H Elétrons são confinados ao comprimento L da molécula (como partículas em uma caixa).

23 Exemplo 1: Encontre os dois primeiros níveis de energia para um elétron confinado a uma caixa unidimensional com 5, m de diâmetro (cerca do diâmetro de um átomo). Solução: Usando n=1 e n= temos: E 1 = h 8mL = 16,66 * J # s 819,109 * kg 15,0 * m E = h =,4 * J = 1,5 ev 8mL = 4E 1 = 9,6 * J = 6,0 ev 3

24 Exemplo : Um elétron que se move em um fio de metal fino é uma aproximação razoável de uma partícula em um poço infinito unidimensional. O potencial dentro do fio é constante em média, mas aumenta acentuadamente em cada extremidade. Suponha que o elétron esteja em um fio de 1,0 cm de comprimento. (a) alcule a energia do estado fundamental para o elétron. (b) Se a energia do elétron for igual à energia cinética média das moléculas em um gás a T=300 K, cerca de 0.03 ev, qual é o número quântico n do elétron? 4

25 Solução: (a) A energia do estado fundamental é E 1 ml J s kg 10 m J ev O valor de E 1 obtido acima está bem abaixo do limite de mensurabilidade. Também, é menor do que a incerteza na energia de um elétron confinado em 1 cm. (b) usamos E n n E 1, logo: n E n E 1 n E n E ev ev

26 Exemplo 3: alculando probabilidades. Suponha que o elétron do exemplo anterior possa ser "visto" enquanto estiver em seu estado fundamental. (a) Qual seria a probabilidade de encontrá-lo em algum lugar na região 0< x <L/4? (b) Qual seria a probabilidade de encontrá-lo numa região muito estreita, de largura Δx =0.01L centrada em x= 5L/8? Solução: (a) A função de onda para o nível com n=1é: 1 x L sin x L 6

27 A probabilidade de que o elétron seja encontrado na região especificada é a integral entre 0 e L/4 da densidade de probabilidade P(x)= ψ(x) : P(0, L/4) = 0 L 4 L 4 P 1 x dx L sin x dx L 0 Para calcular a integral, fazemos u=πx/l e dx=ldu/π : 0 4 sin u du u sin u Assim, se procuramos a partícula em um grande número de buscas idênticas, a elétron será encontrado na região 0 <x <0.5 cm cerca de 9% do tempo. 7

28 A probabilidade é ilustrada pela área sombreada do lado esquerdo na Figura: = L sin x L 0 L/4 L/ 3L/4 L x A figura mostra a densidade de probabilidade P(x)= ψ(x) em função de x para uma partícula no estado fundamental de um poço de potencial quadrado infinito. (b) omo a região Δx=0.01L é muito pequena comparada com comprimento L, não é necessário integrar, mas podemos procurar a probabilidade como: P P x x x sin 8 L L x

29 Substituindo Δx=0.01L e x=5l/8, obtemos P L sin 5L 8 L 0.01L L L Isto significa que a probabilidade de encontrar o elétron dentro da região especificada é aproximadamente 1.7 %. 9

30 Exemplo 4: (a) Encontre a energia no estado fundamental de um elétron confinado em uma caixa unidimensional de comprimento L=0.1nm. (Esta caixa é aproximadamente do tamanho de um átomo.) (b) Faça um diagrama dos níveis de energia e encontre os comprimentos de onda dos fótons emitidos para todas as transições começando no estado com n=3 ou menor, e terminando no estado fundamental. Solução: (a) A energia do estado fundamental é: E 1 = 1 ~ ml = (hc) 8 mc L Substituído hc = 140 ev.nm e mc = 0.511MeV, temos: E ev nm ev 0.1 nm 37.6 ev 30

31 (b) As energias nesse sistema são dadas por: n E E n n E 1 n 37.6 ev portanto: E 4 (37.6 ev) ev, E 3 9 (37.6 ev) ev E 5 = 5E 1 = 940 ev E 4 = 16E 1 = ev E 3 = 9E 1 = ev 1 E = 4E 1 = ev E 1 = 37.6 ev As energias das transições são: E ev ev ev E ev 37.6 ev ev E ev 37.6 ev 11.8 ev 31

32 Os comprimentos de onda dos fótons emitidos nessas transições são: 3 hc E ev nm ev 6.60 nm hc E 3 1 hc E ev nm ev 140 ev nm 11.8 ev 4.1 nm 11.0 nm 3