6. Mecânica Quântica

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1 6. Mecânica Quântica

2 Sumário A função de onda A equação de Schrödinger Partícula em uma caixa Poço de potencial Barreira de potencial e o efeito túnel Oscilador harmônico

3 A função de onda Ψ descreve uma partícula material na mecânica quântica não tem uma interpretação física direta (pode ser complexa!) o problema da mecânica quântica consiste em determinar Ψ para uma partícula como função da posição e do tempo

4 Interpretação probabilística Ψ 2 = Ψ*Ψ é proporcional à probabilidade de encontrar a partícula num dado ponto do espaço Ψ 2 é uma densidade de probabilidade. dv Ψ 2 = 1 (condição de normalização) a partícula deve estar em algum ponto do espaço!

5 Ondas progressivas numa corda y: deflexão vertical x: direção de propagação y = A cos (kx-ωt) A: amplitude (y máximo) k = 2π/λ: número de onda λ: comprimento de onda ω = 2πν: frequência angular y = A cos[-2π(-x/λ + νt)] usando a relação: e iα = cos α+i sen α onde cosα = Re(e iα ) é a parte real de e iα y = A Re[e -2πi( -x/λ + νt) ]

6 Ondas de matéria Ψ é, em geral, um número complexo Ψ = A e -2πi(-x/λ + νt) Planck: E = h ν ν = E/h, De Broglie: λ = h/p Ψ = e (-2πi/h)(-px+Et), Ψ/ x = (2πi/h) p Ψ 2 Ψ/ x 2 = (2πi/h) 2 p 2 Ψ 2 Ψ/ t = -(2πi/h) E Ψ para uma partícula livre: E = K = p 2/2m E Ψ = (p 2Ψ)/2m, isto é, a onda de matéria de uma partícula livre satisfaz a equação diferencial: -(h/2πi) Ψ/ t = -(h 2 /8mπ 2 ) 2 Ψ/ x 2

7 Partícula num campo de força forças conservativas: são deriváveis de uma energia potencial V(x): F(x) = - dv(x)/dx ex: energia potencial elástica V(x) = kx 2 /2 F(x) = - kx (Lei de Hooke) energia total E = K + V(x) = p 2 /2m + V(x)

8 Equação de Schrödinger (1927) para uma partícula com energia potencial V(x) temos que E Ψ = (p 2 Ψ)/2m + V(x) Ψ a função de onda satisfaz a seguinte equação diferencial: -(h/2πi) Ψ/ t = V(x) Ψ -(h 2 /8mπ 2 ) 2 Ψ/ x 2

9 Equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula livre Ψ(x,t) = e (-2πi/h)(-px+Et) se a partícula tiver energia potencial V(x) Ψ(x,t) = ψ(x) e (-2πi/h)Et substituindo na equação de Schrödinger -(h 2 /8mπ 2 ) d 2 ψ/dx 2 + V(x)ψ = E ψ

10 Densidade de probabilidade Ψ 2 = Ψ* Ψ Vimos que Ψ(x,t) = ψ(x) e (-2πi/h)Et Complexo conjugado: Ψ*(x,t) = ψ*(x) e (+2πi/h)Et Logo Ψ(x,t) 2 = ψ(x) 2 : para uma partícula que está num estado com a energia definida a densidade de probabilidade é independente do tempo Condição de normalização da função de onda (em uma dimensão): dx Ψ(x,t) 2 = 1 Portanto dx ψ(x) 2 = 1

11 Partícula em uma caixa caixa unidimensional de paredes infinitamente rígidas (impenetráveis) V = 0 se 0 < x < L -(h 2 /8mπ 2 ) d 2 ψ/dx 2 = E ψ definindo k 2 = 8mπ 2 E/h 2 ψ'' + k 2 ψ = 0 que tem a solução ψ = A sen kx + B cos kx

12 Autofunções e autovalores a função de onda deve se anular nas paredes ψ(0) = 0 A = 0 ψ(l) = 0 sen kl = 0 kl = nπ (n=1,2,3,... ) autovalores de energia E n = n 2 h 2 /8mL 2 autofunções da energia ψ(x) = A sen (nπx/l)

13 Normalização da função de onda condição de normalização: dx ψ 2 = B dx sen (nπx/l) = 1 (0<x<L) obtemos daí B = 2/L autofunções normalizadas ψ(x) = 2/L sen (nπx/l) densidade de probabilidade = ψ 2 = 2/L sen 2 (nπx/l)

14 Uma partícula está no estado fundamental, num poço de potencial verticial e infinito. Achar a probabilidade de se encontrar a partícula (a) na região 0 < x < L/4, e (b) em x = 0,01 L, nas vizinhanças de x = L/2. Problema resolvido

15 Problema proposto Achar a energia (em ev) de um elétron, confinado numa caixa unidimensional, de comprimento 0,1 nm, no seu estado fundamental. Fazer um diagrama dos níveis de energia e achar os comprimentos de onda dos fótons emitidos em todas as transições que principiam no estado n = 3, ou num estado mais baixo, e terminam em qualquer estado mais baixo

16 Potencial degrau Caso E > V0 : há transmissão (com diminuição da velocidade) e reflexão de partículas Caso E < V0 : a onda de matéria penetra na região classicamente proibida (com atenuação exponencial), e as partículas são totalmente refletidas

17 Poço de potencial finito é uma caixa de paredes não-rígidas E = K + V(x) se E > V0 a região é classicamente permitida (K positiva) se E < V0 a região é classicamente proibida (K negativa, velocidade imaginária)

18 Penetração da parede nas regiões classicamente proibidas a onda de matéria penetra um pouco mas é exponencialmente atenuada partícula é refletida após penetrar um pouco na parede autofunções e autovalores mudam em relação à caixa de paredes rígidas

19 Valores esperados valor médio na medição da posição de um grande número de partículas com a mesma função de onda ψ(x) <x> = dx x ψ(x) 2 <f(x)> = dx f(x) ψ(x) 2 Problema resolvido: Calcular o valor esperado da posição x de uma partícula no estado fundamental de um poço quadrado infinito Problema proposto: idem para x 2

20 Barreira de potencial nas regiões classicamente permitidas a onda se propaga normalmente dentro da barreira (E < V0) a região é classicamente proibida e há atenuação exponencial da onda se a barreira for curta o suficiente a partícula atravessa a barreira (efeito túnel)

21 Efeito túnel ondas de matéria podem penetrar barreiras intransponíveis para partículas clássicas parte da onda é refletida pela barreira parte da onda é transmitida com amplitude menor aplicações em eletrônica

22 Problema resolvido Um elétron com energia 5,1 ev aproxima-se de uma barreira com altura 6,8 ev e largura 750 pm. (a) Qual o comprimento de onda do elétron incidente? (b) Qual o coeficiente de transmissão pela Problema proposto: repita o problema se a partícula incidente for um próton. barreira?

23 Exemplos de efeito túnel elétrons num metal: poço de potencial com paredes finitas junção metal-isolantemetal: há uma barreira de potencial aplicação de campo elétrico: emissão fria de elétrons conexão USB

24 Microscopia de varredura de tunelamento

25 Oscilador harmônico partícula de massa m presa a uma mola de constante elástica k Lei de Hooke F = -kx energia potencial elástica V(x) = k x 2 /2 solução da equação de movimento x(t) = A cos(ωt) ω = k/m: frequência natural

26 Equação de Schrödinger -(h 2 /8mπ 2 ) d 2 ψ/dx 2 + (kx 2 /2) ψ = E ψ só possui solução se os valores da energia forem quantizados E n = (n+1/2) h ν (n = 0, 1, 2,...) energia de ponto zero E 0 = h ν/2 níveis de energia são igualmente espaçados de ΔE = hν

27 Autofunções de energia (nãonormalizadas) n=0: ψ0 = e -x2 /2 n=1: ψ1 = x e -x2 /2 n=2: ψ 2 = (2x 2-1) e -x2 /2 n=3: ψ3 = (2x 3-3x) e -x2 /2 anulam-se em x = autofunções ímpares se anulam na origem há alguma penetração na região classicamente proibida

28 Problema resolvido Normalize a autofunção do estado fundamental do oscilador harmônico Problema proposto: normalize a autofunção para o primeiro estado excitado

29 Densidade de probabilidade P(x) = ψ 2 dx : probabilidade de achar a partícula entre x e x+dx n=0: e -2x2/2 n=1: x 2 e -2x2 /2 n=2: (2x 2-1) 2 e -2x2 /2 n=3: (2x 3-3x) 2 e -2x2 /2 P=0: pontos onde é menos provável encontrar a partícula

30 Problema resolvido Determine os valores esperados de x e x2 para uma partícula no estado fundamental do oscilador harmônico Problema proposto: idem para a autofunção com n = 1

31 Determine a energia de ponto zero (em ev) para um pêndulo de período igual a 1s. Problema proposto

32 FIM