Física IV Escola Politécnica GABARITO DA PR 16 de fevereiro de 2017

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1 Física IV Escola Politécnica - 06 GABARITO DA PR 6 de fevereiro de 07 Questão Uma espaçonave de comprimento próprio L 0 move-se com velocidade v = v î em relação ao sistema inercial S De acordo com um observador em repouso em S a espaçonave leva um intervalo de tempo igual a L 0 /c para passar pela origem O de S, conforme a figura t = 0 S=S S S υ t = L 0 / c υ O=O O O (a) (,5 ponto) Calcule o módulo da velocidade da espaçonave v em termos de c (b) (,0 ponto) Calcule o intervalo de tempo para a passagem da espaçonave pela origem O no referencial S da espaçonave

2 Solução da questão (a) Para um observador em S a nave leva um intervalo de tempo igual a T 0 = L v, para passar por O, onde L é o comprimento da nave em S É dado no problema que T 0 = L 0 /c, além disto L = v /c L 0, onde L 0 é o comprimento próprio da espaçonave Portanto, T 0 = L v = v /c L 0 v = L 0 c = v /c v = c = v = c Solução alternativa: A proa da nave passa por O em t = t = 0 Em S a popa da nave passa por O no instante t = L 0 /v Em S a popa da nave passa por O em t = L 0 /c (dado do problema) A transformação de Lorentz para o tempo é t = t xv/c v /c = L 0 v = L 0 /c v /c = v = c (b) Em S os eventos passagem da proa por O e passagem da popa por O ocorrem no mesmo ponto Assim, o intervalo de tempo T 0 entre estes dois eventos em S é o tempo próprio No referencial S T = T 0 v /c = L 0 /c v /c = L 0/c = L 0 / c Solução alternativa: Um observador em S vê a origem O de S passar pela nave com velocidade v O tempo medido por ele é T = L 0 v = L 0 c/ = L 0 c

3 Questão (I) (,0 ponto) Uma onda plana de comprimento de onda λ incide sobre a superfície de um cristal, mostrado em corte transversal na figura Deduza a relação que deve haver entre λ, e d para que os raios e mostrados na figura interfiram construtivamente (fórmula de Bragg-Williams) λ d (II) Elétrons podem exibir um comportamento ondulatório Numa experiência de difração, elétrons não relativísticos com energia cinética K incidem sobre uma fenda de largura a Um detetor sobre uma tela a uma distância L >> a pode ser deslocado ao longo da direção y, conforme a figura eletrons anteparo detetor y fenda L tela (a) (0,5 ponto) Expresse o comprimento de onda λ de de Broglie dos elétrons em termos da sua energia cinética K (b) (,0 ponto) Qual é o menor valor para a posição y do detetor onde não são observados elétrons? 3

4 Solução da questão (I) Fórmula de Bragg-Williams Para haver interferência construtiva, a diferença de percurso entre os raios e que é d sen deve ser um múltiplo inteiro de λ d d sen = mλ; m =,, 3 (II) Difração de elétrons (a) Para elétrons não relativísticos K = p /m Portanto, p = mk = λ = h mk (b) Não vão chegar elétrons no detetor nos mínimos de difração y L O primeiro mínimo ocorre para sen = λ/a Como o ângulo é pequeno, sen tan = y L = λ a = y = Lλ a = Lh a mk 4

5 Questão 3 Um fóton de comprimento de onda λ = h/(m 0 c), onde m 0 é a massa de repouso do elétron, é espalhado por um elétron em repouso O fóton espalhado tem comprimento de onda λ e sua direção de propagação faz um ângulo com a direção de incidência A energia cinética K do elétron após a colisão é igual a m 0 c, conforme a figura υ λ λ Nos itens abaixo forneça suas respostas em termos de h, c e m 0 apenas (a) (,0 ponto) Calcule o comprimento de onda λ do fóton espalhado (b) (,0 ponto) Calcule o ângulo de espalhamento do fóton (c) (0,5 ponto) Calcule o módulo da velocidade v do elétron espalhado 5

6 Solução da questão 3 (a) A conservação de energia fornece hc λ + m 0c = hc λ + γm 0 c = hc λ hc λ = (γ )m 0 c K Substituindo os valores dados de λ e K obtemos hc h/(m 0 c) hc λ = m 0 c = hc λ = m 0 c = λ = h m 0 c (b) A fórmula de espalhamento de Compton fornece λ = λ+ h ( cos ) = h m 0 c m 0 c = h m 0 c + h m 0 c ( cos ) = cos = = = 60 (c) A expressão da energia cinética permite calcular γ: K = (γ )m 0 c = m 0 c = γ = = 3 c v /c = = v = 6

7 Questão 4 Uma partícula de massa m e energia constante E = U 0 / move-se sobre o eixo x na presença de um degrau de potencial E U 0 U(x) 0 x 0 x < 0 U(x) = U 0 x 0 (a) (,0 ponto) Escreva as soluções gerais ψ (x) e ψ (x) da equação de Schrödinger nas regiões (x < 0) e (x 0) (b) (,0 ponto) Escreva as condições de contorno que ψ (x) e ψ (x) devem satisfazer (c) (0,5 ponto) Determine ψ (x) e ψ (x) a menos de uma única constante multiplicativa 7

8 Solução da questão 4 (a) A equação de Schrödinger pode ser reescrita como Na região, U = 0 d ψ U) = m(e ψ, onde E = U 0 dx = d ψ dx = mu 0 ψ k ψ, onde k = A solução geral da equação acima é mu0 ψ (x) = Ae ikx + Be ikx Na região, U = U 0 A solução da equação acima é = d ψ dx = +mu 0 ψ k ψ, onde k = mu0 ψ (x) = Ce kx A solução De kx não é aceitável porque ela diverge quando x (b) As soluções ψ (x) e ψ (x) e suas derivadas satisfazem ψ (0) = ψ (0) = A + B = C dψ (x) dx = dψ (x) x=0 dx = ika ikb = kc = A B = ic x=0 (c) As constantes A e B podem ser resolvidas em função de C A + B = C A B = ic = A = ( + i)c, B = ( i)c = ψ (x) = C(cos(kx) sen (kx)) e ψ (x) = Ce kx 8

9 x = γ (x ut), y = y, Formulário x = γ (x + ut ), y = y, z = z, ( t = γ t ux ), c z = z, ) t = γ (t + ux, c γ u /c, l = l 0 u /c, T = T 0 u /c [ ] sen (β/) I = I 0, β = π a sen, E = γm 0 c ; p = γm 0 v; K = (γ )m 0 c ; β/ λ E f = hf = hc/λ; λ = h/p; λ = λ + h m 0 c ( cos ), onde m 0 é a massa de repouso do elétron e é o ângulo de espalhamento do fóton d ψ(x) + U(x)ψ(x) = Eψ(x) m dx 9