TRANSFORMADAS INTEGRAIS LAPLACE E FOURIER

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1 TRANSFORMADAS INTEGRAIS LAPLACE E FOURIER

2 Transformada integral Em Física Matemática há pares de funções que satisfazem uma expressão na forma: F α = a b f t K α, t dt f t = A função F( ) é denominada de transformada integral de f(t) pelo núcleo K(,t), e vice-versa. A operação também pode ser descrita como o mapeamento de uma função f(t) no espaço t para uma outra função, F( ), no espaço. a b F α K α, t dα

3 Transformada de Laplace Definição G s = f t = 0 0 f t e st dt G s e st ds Núcleo K s, t = e st Para t > 0 G(s) é a Transformada de Laplace de f(t) e vice-versa L f(t) = G(s) L 1 G(s) = f(t)

4 Transformada de Fourier Definição F ω = 1 2π 1/2 + f t e iωt dt f t = 1 2π 1/2 + F ω e iωt dω Núcleo: K ω, t = 1 2π 1/2 e iωt

5 Transformada de Laplace (TL)

6 Cálculo da TL para funções elementares G s = 0 f t e st dt f t = 0 G s e st ds Exemplos: f t = 1 G s = 1 s f t = cos at s G s = s 2 + a 2

7 Tabela de TL de funções elementares G(s) G(s)

8 G(s) G(s) Tabela de TL de funções elementares cont.

9 Algumas Propriedades da TL Observe que nesta tabela F(s) = G(s)

10 Observe que nesta tabela F(s) = G(s) Algumas Propriedades da TL cont.

11 Utilização de TL

12 Exemplo: Solução de problemas de valor inicial d 2 y + y = sen2t Com dt2 y(0) = 2 e y (0)=1 Aplica a TL na equação diferencial 0 d 2 y dt 2 e st dt + 0 y e st dt = 0 sen2t e st dt sen2t Ou L d2 y dt 2 + L y = L sen2t L y + L y = L sen2t

13 Exemplo: Solução de problemas de valor inicial d 2 y dt2 + y = sen2t Com y(0) = 2 e y (0)=1 L d2 y dt 2 + L y = L sen2t TL de funções elementares f(t)=y(t) e F(s) = Y(s) L y = Y s = 0 y e st dt L L L s 2 Y s sy 0 y 0 + Y s = 2 s Substitui-se os valores iniciais: s 2 Y s 2s 1 + Y s = 2 s Isola-se Y(s): Y s = 2s3 + s 2 + 8s + 6 (s 2 + 1)(s 2 + 4)

14 A ideia é escrever Y(s) em vários termos já conhecidos da Tabela de TL e calcular a transformada inversa para obter y(t): Y s = 2s3 + s 2 + 8s + 6 (s 2 + 1)(s 2 + 4)

15 Frações parciais Y s = 2s3 + s 2 + 8s + 6 (s 2 + 1)(s 2 + 4) Devem ser iguais Y s = as + b cs + d (s ) (s 2 +4) Y s = as + b s (cs + d) (s 2 + 1) (s 2 + 1)(s 2 + 4) Expandindo o numerador de Y(s) as + b s cs + d s = a + c s 3 + b + d s 2 + 4a + c s + 4b + d Logo: 2s 3 + s 2 + 8s + 6 = a + c s 3 + b + d s 2 + 4a + c s + 4b + d Comparando-se os termos, determina-se a, b, c e d: a + c = 2 b + d = 1 4a + c = 8 4b + d = 6

16 Y s = as + b cs + d (s ) (s 2 +4) Y s = 2 s (s 2 + 1) (s 2 + 1) 1 3 a + c = 2 b + d = 1 4a + c = 8 4b + d = 6 2 (s 2 +4) a = 2 b = 5/3 c = 0 d = -2/3 Aplicando-se a TL inversa: L 1 Y s = 2L 1 s (s 2 + 1) L 1 1 (s 2 + 1) 1 3 L 1 2 (s 2 +4) Logo, a solução y(t) para a ED com condições iniciais é: y(t) = 2 cos t sin t 1 sin 2t 3 d 2 y dt2 + y = sen2t Com y(0) = 2 e y (0)=1

17 Transformada de Fourier (TF)

18 Transformada de Fourier Forma exponencial F ω = 1 2π 1/2 + f t e iωt dt f t = 1 2π 1/2 + F ω e iωt dω

19 TF: Em senos e cossenos Obtidas a partir da forma exponencial e usando: e ±iωt = cosωt ± isenωt f t = f t PAR f t = f(t) IMPAR F ω = 2 π 1/2 0 + f t cosωt dt F ω = 2 π 1/2 0 + f t senωt dt f t = 2 π 1/2 0 + F ω cosωt dω f t = 2 π 1/2 0 + F ω senωt dω

20 Tabela de TF

21 Tabela de TF - continuação

22 Alguns problemas são difíceis de solucionar diretamente. Pode ser mais fácil resolver o problema transformado e aplicar a transformada inversa na solução. Exemplo: A representação de um sinal no domínio do tempo (do espaço,...) está presente, naturalmente, no nosso dia a dia. Porém, certas operações tornam-se muito mais simples e esclarecedoras se trabalharmos no domínio da frequência, domínio este, conseguido a partir das Transformadas de Fourier (TF). t f x k

23 Exemplo Imagine um trem de ondas sen 0 t f t = senω 0 t para t < Nπ ω 0 0 para t > Nπ ω 0 Considere que esta onda passe por um filtro de abertura finita. Trem de ondas original para N = 5.

24 Exemplo f t = senω 0 t para t < Nπ ω 0 0 para t > Nπ ω 0 F f(t) = F ω = 2 π 1/2 0 Nπ ω 0 senω 0 t senωt dt Fazendo a integral, ou usando a tabela de TF obtém-se:

25 Para 0 Somente o primeiro termo é importante pois o denominador é pequeno. Somente o máximo central é relevante e a dispersão em frequências pode ser dada por: Se N for grande, pulso longo, a dispersão da frequência será pequena. Por outro lado, se o pulso for limitado, N pequeno, a distribuição será mais larga e os máximos secundários mais importantes.

26 Princípio da Incerteza Análogo clássico do Princípio da Incerteza da MQ. Se tivemos tratando de ondas eletromagnéticas, sendo h a constante de Planck: E = hω 2π E = h ω 2π E representa a incerteza na energia do pulso. Há também uma incerteza no tempo, pois a onda de N ciclos leva 2N / 0 segundos para passar ( t < Nπ ). ω 0 t = 2N 0 E t = h ω 2π 2N 0 com E t = h Pelo Princípio da Incerteza: E t h 4π = ħ/2

27 Transformada de Fourier de Derivadas F ω = 1 2π 1/2 + f t e iωt dt F 1 ω = 1 2π 1/2 + df dt eiωt dt F 1 ω = iω 1 2π 1/2 + f t e iωt dt = iωf(ω) F n ω = ( iω) n F ω

28 Linearidade Derivada Convolução Translação Escalonamento Algumas Propriedades da TF

29 Exemplo: ED Fluxo de Calor ψ t = 2 ψ α2 x 2 ψ ψ x, t Ψ(k, t) Transformada em x, fazendo = k. g k = 1 2π 1/2 + f x e ikx dx Ψ k, t = 1 2π 1/2 + ψ x, t e ikx dx

30 Aplica a TF na EDP: ψ t = 2 ψ α2 x 2 Aplica a TF inversa para Ψ k, t : Ψ t = α2 k 2 Ψ ψ(x, t) = 1 2π 1/2 + Ψ k, t = Cexp( α 2 k 2 t) Ψ k, t e ikx dk ψ(x, t) = C α 1 2t exp x 2 4α 2 t

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32 Sinais... Ondas... Distribuição de elétrons em um átomos pode ser obtida de uma transformada de Fourier da amplitude de raios X espalhados. Na Mecânica Quântica, a origem Física das relações de Fourier é a natureza ondulatória da matéria e a descrição que fazemos em termos de ondas (k).

33 Funções periódicas são representadas por séries de Fourier; Funções não-periódicas oscilantes são representadas por transformadas de Fourier (espectro do sinal); A TF decompõe um sinal em suas componentes elementares seno e cosseno

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36 Fontes rmadadefourier.pdf FÍSICA MATEMÁTICA - MÉTODOS MATEMÁTICOS PARA ENGENHARIA E FÍSICA, GEORGE ARFKEN, Ed. CAMPUS ELSEVIER. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ELEMENTARES E PROBLEMAS DE VALORES DE CONTORNO, William E. Boyce, Richard C. DiPrima, 9ª. Ed., Editora LTC.

37 Exercícios para TL 1) Mostrar que: L e βt sin αt = α (s β) 2 +α 2 2) Mostrar que: L 0 t f t dt = F(s) s 3) Usando o método das frações parciais mostre que: L 1 s (s+a)(s+b) = ae at be bt (a b) com a b 4) Encontre a solução da ED do oscilador harmônico simples usando TL, sendo m a massa do oscilador, a mola é ideal e tem constante elástica k, desprezando o atrito. As condições iniciais são: X(0)=X 0 e X (0)=0 m d2 X + kx = 0, dt2 X(t)

38 Exercícios para TF 1) Na Tabela de Transformadas de Fourier demonstrei as propriedades 1 e 13. Dica: Use a definição integral.

39 Dicas para resolver os exercícios de TL Nos exercícios 1 e 2, usar a definição integral da TL. No exercício 3 seguir a mesma sistemática de resolução usada em Frações parciais resolvido em sala. No exercício 4 seguir a mesma sistemática do exemplo dado em aula, ou seja, aplica-se a TL na equação diferencial e determina-se a TL. Depois reescrever a TL de forma a identificar termos que aparecem na Tabela de funções elementares.