TUTORIAL PARA RESOLVER PROBLEMAS USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE

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1 49 TUTORIAL PARA RESOLVER PROBLEMAS USANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE Sâmila Cruz Morais 1 Fernanda Carla Lima Ferreira 2 Francisco Ferreira de Sousa 3 Resumo: Este trabalho apresenta alguns passos necessários para resolver problemas físicos regidos por uma Equação Diferencial Ordinária, usando o método de solução da transformada de Laplace. Por estar associado a um método algébrico, a transformada facilita a resolução do problema proporcionando melhor compreensão e aprendizagem ao estudante de graduação. Este método de solução foi escolhido por basear-se em métodos algébricos simples e por fazer parte de um dos conteúdos excluídos do programa da disciplina de Equações Diferenciais Ordinárias nos Cursos de Licenciatura em Matemática. Palavras-chave: Ensino superior. Problema de física. Transformada de Laplace. 1. Introdução Ao resolver um problema regido por uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) é importante usar a transformada de Laplace quando se pretende passar de um domínio para outro. Por exemplo, quando é necessário resolver um determinado problema utilizando a frequência (f) e temos os dados em t (tempo), então aplicamos a transformada de Laplace para obter o domínio f. A transformada de Laplace tem numerosas aplicações nos mais variados ramos da matemática e das engenharias, sendo particularmente útil em problemas envolvendo força motriz-mecânica ou elétrica com descontinuidades, impulsiva ou periódica, em que elas são geralmente definidas como uma função seccionalmente contínua 4, por isso, é um dos métodos muito estudados nos curso de Ciências Exatas. 1 Graduada pelo curso de Matemática da Universidade Federal do Pará-UFPA, Campus de Marabá. E- mail: [email protected] 2 Doutora em Física pela Universidade Federal de Sergipe-UFS. Professora adjunta da UNIFESSPA. E- mail: [email protected] 3 Doutor em Física pela Universidade Federal do Ceará-UFC. Professor adjunto da UNIFESSPA. [email protected] 4 Uma função é chamada seccionalmente contínua ou contínua por partes num intervalo α t β se o intervalo pode ser subdividido num número finito de intervalos em cada um dos quais a função é contínua e tem limites, à direita e à esquerda, finitos.

2 50 O procedimento matemático para revolver problemas usando a transformada de Laplace baseia-se no uso de algumas propriedades da transformada de Laplace, muito bem estabelecidas, e em propriedades algébricas que geralmente são de fácil manipulação matemática, como será mostrado mais adiante. Por isso, acreditamos que este trabalho será muito útil para todos os alunos do curso de Licenciatura em Matemática e dos cursos de Engenharias, no sentido de auxilá-los a resolver problemas equacionados na forma de EDOs. 2. Definição e propriedades da transformada de Laplace 2.1 Definição A transformada de Laplace é uma transformação linear que auxilia na resolução de equações diferenciais, que consiste em transformar as equações diferenciais em equações algébricas, passando a função de um domínio para outro. Desse modo, seja F uma função de t definida para t 0. Então a transformada de Laplace de F(t) é definida como: { } Aqui a variável t representa o domínio da função F(t) enquanto que a variável s representa o domínio da função f(s), a qual está associada a outro espaço (FIGUEIREDO, 2012). Para que a transformada de Laplace de F(t) exista, a integral acima deve convergir para um valor de s. 2.2 Propriedades A seguir veremos algumas propriedades importantes da transformada de Laplace que são bastante úteis na resolução de problemas que envolvam uma EDO. Todas estas propriedades foram extraídas de Spiegel (1965). i) Propriedade da linearidade Se c 1 e c 2 são constantes quaisquer, enquanto F 1 (t) e F 2 (t) são funções com transformadas de Laplace f 1 (s) e f 2 (s), respectivamente: { } { } { }.

3 51 ii) Primeira propriedade de translação e deslocamento Se { } { } iii) Propriedade de mudança de escala Se { }, então: { } iv) Propriedade das derivadas a) Se é contínua para 0 t N e de ordem exponencial para t > N, enquanto é seccionalmente contínua 0 t N, logo: { }. b) Se { }, então: { } c) Se e suas derivadas possuem uma transformada de Laplace e as derivadas de são contínuas (pelo menos por parte) até a ordem, assim: { }, em que n corresponde a n-ésima derivada. 3. A transformada inversa de Laplace Definição: Se a transformada inversa de Laplace de uma função F(t) é f(s), isto é, se L {F(t)} = f(s) então F(t) é chamada de transformada inversa de Laplace (ou antitransformada) de f(s), e escrevemos simbolicamente F(t) = L -1 {f(s)} onde L -1 é denominado operador da transformada inversa de Laplace (SPIEGEL, 1965). Para encontrar a transformada inversa de Laplace, podemos fazer uso da tabela 1 ou se f (s) não estiver sob uma forma reconhecível, poderá ser feita uma redução de frações mediante transformadas algébricas. O procedimento recomendável para o uso

4 52 deste método consiste em reduzir primeiro o denominador da fração para uma forma conhecida e, em seguida, aplicar o mesmo processo para o numerador (SPIEGEL, 1965). 4. Tabela da transformada de Laplace A tabela 1 apresentada abaixo mostra a transformada de Laplace de algumas funções elementares. Ela foi construída com o intuito de facilitar a utilização das transformadas na determinação das soluções das EDOs. Todas as transformadas apresentadas nesta tabela foram determinadas a partir do uso da definição vista na seção anterior. L{F(t)} = f(s) T 3. t n 4. e at 5. sen at 6. cos at 7. senh at 8. cosh at Tabela 1: Funções elementares da transformada de Laplace 5. Aplicações da transformada de Laplace O método de resolver EDO por meio da transformada de Laplace consiste em três etapas principais:

5 53 Inicialmente a equação diferencial é transformada numa equação algébrica, mediante o cálculo da transformada de Laplace de cada um dos membros da equação diferencial; Em seguida, a equação algébrica é resolvida por meio de manipulações algébricas, obtendo-se uma solução de equação algébrica; A solução da equação algébrica é transformada na solução procurada da equação diferencial utilizando-se a transformação inversa de Laplace. A figura 1 mostra um esquema simples com os passos a serem utilizados na resolução de problemas que envolvem EDOs. Figura 1: Esquema de resolução 5.1 O problema do oscilador harmônico submetido a uma força dissipativa Agora será exemplificado o uso do método da transformada de Laplace com um dos problemas mais conhecidos nas áreas da Matemática, Física e Engenharias, o famoso problema de Oscilação Harmônica, porém com amortecimento. O mundo está rodeado de sistemas que oscilam. Oscilações do mundo real são normalmente amortecidas; ou seja, o movimento vai diminuindo gradualmente até desaparecer, transferindo energia mecânica para energia térmica pela ação de forças dissipativas. Apesar de não podermos eliminar totalmente tal perda de energia mecânica, podemos reabastecer a energia a partir de alguma fonte como, por exemplo, empurrar o balanço com o tronco ou as pernas a fim de manter ou aumentar as

6 54 oscilações do balanço, transferindo dessa maneira a energia bioquímica para a energia mecânica do sistema que está oscilando. Um pêndulo oscilará apenas um pouco debaixo d água porque a água exerce uma força de atração sobre ele, fazendo com que o movimento seja eliminado. Um pêndulo oscilando no ar funciona melhor, mas ainda assim o movimento para após certo tempo, porque o ar também exerce uma força de atração sobre o pêndulo. Assim, quando o movimento do oscilador é reduzido por uma força externa, diz-se que o oscilador e o seu movimento são amortecidos. Vejamos agora um problema envolvendo Movimento Harmônico Simples Amortecido. Problema: Uma partícula de massa m se move (oscila) ao longo do eixo dos X e é atraída na direção da origem O com uma força igual a k.x, k > 0. Uma força de amortecimento dada β.dx dt, β > 0 (coeficiente de atrito) também atua. Discuta o movimento, tratando todos os casos de amortecimento, supondo que,. Solução: A equação que rege o movimento é representada por: Redefinindo: Sendo: β: constante de amortecimento α Assim, Para resolução da equação, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os membros da equação, sendo aplicada no primeiro membro da propriedade das derivadas e no segundo membro a transformada da constante, o qual pode ser observada no item 1 da tabela 1, obtemos:

7 55 [ ] Agora, substituindo as condições iniciais, e isolando a variável x na equação, temos que, Para facilitar o uso da inversa de Laplace, vem que, Fazendo a manipulação algébrica no denominador das frações acima, como segue: em que definimos: =,, e com o auxílio da tabela 1, podemos encontrar facilmente a transformada inversa para toda a expressão acima e, consequentemente, a solução geral da equação de diferencial do problema da partícula realizando um movimento oscilatório amortecido, como segue: ou ainda, que é a solução geral, válida para quaisquer valores de. Agora, precisamos analisar os casos de amortecimento subcrítico, supercrítico e crítico. Caso I: Movimento oscilatório subcrítico Quando o movimento oscilatório é subcrítico, o amortecimento é pequeno. A solução para este caso é a equação abaixo: A figura 2 permite visualizar claramente o comportamento da partícula, onde a mesma oscila em torno do ponto de equilíbrio (ponto de origem), em que a amplitude de cada oscilação vai diminuindo a cada embalo com o passar do tempo.

8 56 Figura 2: Movimento oscilatório subcrítico Caso II: Movimento oscilatório supercrítico Neste caso o movimento amortecido é denominado supercrítico porque a força de atrito atua mais fortemente sobre a partícula, por conta do valor de β que é maior. Se, consequentemente será complexo, que pode ser escrito como segue: em que, Assim, pelas definições de números complexos, Como a raiz de ômega é complexa, então vamos definir algumas relações trigonométricas. Logo, pela relação de Euler, tem-se (MACHADO, 2000): e Substituindo as expressões encontradas acima na equação geral, tem-se: Na figura 3 é mostrado comportamento do movimento da partícula, em que a mesma tenta oscilar mas decai rapidamente com o tempo, isto é, sua amplitude de oscilação já no início do movimento diminui bruscamente com o passar do tempo.

9 57 Figura 3: Movimento oscilatório supercrítico Caso III: Movimento criticamente amortecido Este caso é chamado de movimento oscilatório crítico ou criticamente amortecido. Percebe-se que quando o movimento é desta natureza, decorre. Substituindo este resultado na solução geral, obtém-se o resultado abaixo. Para resolver a indeterminação que surgiu no segundo termo da expressão acima, deve-se aplicar a regra de L Hospital (derivando o denominador e o numerador em relação a ω). { } [ ] Lembrando que [ ] Na figura 4 pode ser visto, de maneira muito clara, o comportamento do movimento oscilatório da partícula. Aqui a partícula não oscila indefinidamente em torno de zero, isto é, decai muito mais rapidamente em relação a situação anterior (caso II). Neste caso, o movimento é chamado criticamente amortecido, pois qualquer decréscimo na constante de amortecimento β produzirá oscilações.

10 58 Figura 4: Movimento criticamente amortecido 6. Considerações finais Neste trabalho foi discutido sobre alguns passos matemáticos para resolver problemas que podem ser equacionados por uma Equação Diferencial Ordinária de Segunda Ordem utilizando um dos métodos de soluções mais famosos dentro do mundo da matemática e engenharia, o método da transforma de Laplace. Para facilitar a compreensão da aplicação do método da transformada de Laplace, utilizou-se o problema da partícula que oscila em torno do seu ponto de equilíbrio realizando um movimento oscilatório harmônico amortecido, o qual se enquadra em um excelente exemplo por ser um dos problemas mais usados na disciplina de EDOs dos Cursos de Matemática, Física e Engenharia. Como pode ser observado, o método da transformada de Laplace é predominantemente algébrico podendo ser usado facilmente para encontrar a solução de problemas dinamicamente representados por equações diferenciais, requerendo do aluno apenas um pouco de conhecimento algébrico e das transformadas de Laplace de algumas funções, as quais são determinadas pela própria definição da transformada de Laplace. Portanto, isso implica que qualquer estudante de graduação das áreas de Ciências Exatas, mesmo sendo da Licenciatura em Matemática, aonde a carga horária da disciplina de EDO é muito curta, pode aprender o método com muita facilidade. Referências:, J. M. F.; CATTAN, M. S. D. Elementos de física matemática vol.1: Equações diferenciais ordinárias, transformadas e funções especiais. 1ª ed. São Paulo: Ed. Livraria da Física- Casa Editorial Maluhy e Co, 2012.

11 59 FIGUEIREDO, D. G.; NEVES, A. F. Coleção Universitária: Equações diferenciais aplicadas. 3ª ed. Rio de Janeiro: Impa, MACHADO, K. D. Equações diferenciais aplicadas à física. 2ª ed. Ponta Grossa (PR): UEPG, SPIEGEL, M. R. Coleção Schaum: Transformadas de Laplace. Tradução de Roberto Ribeiro Baldino. São Paulo: McGraw-Hill, ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. Equações diferenciais. Tradução de Antonio Zumpano. 3ª ed. Vol. 1. São Paulo: Pearson Makron Books, 2001.