Sistemas de Controle 1

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Suzana Oliveira Barbosa
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1 Pontifícia Universidade Católica de Goiás Escola de Engenharia Sistemas de Controle 1 Cap2 - Modelagem no Domínio de Frequência Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro

2 Sistemas de Controle 1 Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro 2. Modelagem no Domínio de Frequência 2.1 Introdução 2.2 Revisão sobre Transformada de Laplace 2.3 Função de Transferência 2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos 2.5 Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação 2.6 Funções de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação 2.7 Funções de Transferência de Sistemas com Engrenagens 2.8 Funções de Transferência de Sistema Eletromecânico 2.9 Circuitos Elétricos Análogos 2.10 Não-linearidades 2.11 Linearização Estudos de Caso

2.1 Introdução Desenvolvimento de modelos matemáticos a partir de diagramas de sistemas físicos: Elétricos - Aplicação das leis de Kirchhoff (tensões em malhas e correntes em nós) - Aplicação da lei

3 2.1 Introdução Desenvolvimento de modelos matemáticos a partir de diagramas de sistemas físicos: Elétricos - Aplicação das leis de Kirchhoff (tensões em malhas e correntes em nós) - Aplicação da lei de Ohm Mecânicos - Aplicação das leis de Newton (soma de forças e torques) Eletromecânicos - Leis de Kirchhoff - Leis de Newton Métodos - Funções de transferência no domínio da frequência - Equações de estado no domínio do tempo 3

- Em equações diferenciais a entrada e a saída do sistema

Representação em diagramas de blocos Representação

4 - Em equações diferenciais a entrada e a saída do sistema aparecem ao longo da equação. - Com a aplicação da transformada de Laplace, entrada e saída podem ser isolados. Representação em diagramas de blocos Representação algébrica simples Definições Transformada de Laplace: Variável complexa: Transformada inversa de Laplace: Função degrau unitário 4

5 5

6 6

7 2.1 - Transformada de Laplace de uma função no tempo Resolvendo pela definição Definição 7

8 Resolvendo usando as tabelas Exemplo 1 f t = 5t + 4t 2 8 F s = L{f t } = L{5t + 4t 2 8} F s = L{5t} + L{4t 2 } L{8.1} F s = 5L{t} + 4L{t 2 } 8L{1} F s = 5 s 2 + 4(2! s 3) 8 s F s = 5 s s 3 8 s *Simplificando: u(t) = 1 nos exercícios 8

9 Exemplo 2 f t = 6e 5t + sen 3t 8cos(9t) F s = L{6e 5t } + L{sen 3t } L{8cos(9t)} F s = 6L{e 5t } + L{sen 3t } 8L{cos(9t)} F s = 6 1 s s s s F s = 6 s s s s

10 Exemplo 3 f x = 3 + 2x 2 F s = L{3} + L{2x 2 } F s = 3L{1} + 2L{x 2 } F s = 3 s + 2( 2! s 2+1) F s = 3 s + 4 s 3 10

11 Exemplo 4 f x = 2sen x + 3cos(2x) F s = L{2sen x + 3cos(2x)} F s = L{2sen x } + L{3cos(2x)} F s = 2L{sen x } + 3L{cos(2x)} F s = 2L{sen 1. x } + 3L{cos(2x)} 1 s F s = 2( s ) + 3( s ) 2 F s = s s s

12 Exemplo 5 f t = t. e 4t F s = L{t. e 4t } L e 4t = 1 s 4 F s = L t. e 4t = s 4 Derivando: y = 1 s 4 y = f g y = f g fg g 2 L t n f t F s = = 1 n dn F(s) ds n 1 (s 4) 2 = 1 (s 4) 2 f = 1 f = 0 g = s 4 g = 1 y = 0.(s 4) 1.1 (s 4) 2 = 1 s

13 Exemplo 6 f t = t. cos(5t) F s = L{t. cos 5t } L t n f t = 1 n dn F(s) ds n L cos 5t = s s F s = L t. cos 5t = 1 1 s s F s = s2 25 s Derivando: y = s s f = s f = 1 g = s g = 2s y = f g y = f g fg g 2 y = 1. (s2 + 25) s. 2s (s ) 2 y = 25 s2 (s ) 2 13

14 Exemplo 7 f t = e 2t. sen(5t) F s = L{sen(5t)} L sen 5t = 5 s F s = L e 2t. sen(5t) = 5 s L t n f t = 1 n dn F(s) ds n F s = 5 s

15 Exemplo 8 f t = e t. t. cos(2t) F s = L{e t t. cos(2t)} L cos(2t) = s s L t 1. cos(2t) = 1 1 = 1 L t n f t = 1 n dn F(s) ds n s s = s s. 2s s s 2 s = s 2 4 s F s = L e t. t. co s 2t = (s + 1) 2 4 (s + 1)

16 Exemplo 9 f t = e 2t t 3 F s = L{e 2t t 3 } L t 3 = 3! s 3+1 = 6 s 4 F s = L e 2t t 3 6 = (s + 2) 4 16

17 Exemplo 10 f t = e 3t δ(t 4) L δ t 4 = e 4s δ t a e as F s = L e 3t δ(t 4) = e 4(s+3) 17

18 Exemplo 11 f t = e 2t [3 cos 6t 5sen(6t)] F s = L e 2t [3 cos 6t 5sen(6t)] δ t a e as F s = L 3e 2t cos 6t } L{5e 2t sen(6t)] F s = 3L e 2t cos 6t } 5L{e 2t sen(6t)] L cos 6t = s s L sen(6t) = 6 s F s = 3 (s + 2) (s + 2) (s + 2) F s = 3 s s 24 (s + 2) = s 2 + 4s

19 2.2 - Transformada de Laplace inversa Solução: Logo: 19

20 Expansão em Frações Parciais 20

21 Expansão em Frações Parciais - Exemplos Caso 1 - Exemplo 1: Raizes reais e distintas Resolvendo frações parciais: 2 (s + 2)(s + 1) = K 1 S K 2 S + 2 s = 1 0 K 1 = 2 2 (s + 1) = K 1(s + 2) s = K S (s + 1) = K 1(s + 2) + K S F(s) = 2 S S K 2 = 2 Aplicando inversa de Laplace: F(s) = 2 S S

22 Expansão em Frações Parciais - Exemplos Caso 1 - Exemplo 2: Solução de equação diferencial com transformada de Laplace e frações parciais Transformada de Laplace 22

23 Expansão em Frações Parciais - Exemplos Caso 1 Exemplo 3 1 x 2 4 = 1 (x 2)(x + 2) = A (x 2) + B (x + 2) 1 (x 2)(x + 2) = A(x + 2) B(x 2) + (x 2)(x + 2) (x 2)(x + 2) 1 = A x B(x 2) Escolhendo valores apropriados de x para encontrar A e B x = 2 1 = A B( 2 2) B = 1 4 x = 2 1 = A B(2 2) A = x = 1/4 (x 2) + 1/4 (x + 2) 23

24 Expansão em Frações Parciais - Exemplos Caso 1 Exemplo 4 x 1 x 3 x 2 2x = x 1 x(x 2)(x + 1) = A x + x 1 x(x 2 x 2) = x 1 x(x 2)(x + 1) B x 2 + C x + 1 x 1= A x 2 x Bx x Cx(x 2) x = 2 B = 1 6 x = 1 C = 2 3 x 1 x(x 2)(x + 1) = 1/2 x + 1/6 x 2 + 2/3 x + 1 x = 0 A =

25 Expansão em Frações Parciais - Exemplos Exemplo 5 - Numerado maior ou igual que o denominador - Caso 1 4x 3 2x 3 + x 2 2x 1 Índice do numerador maior que do denominador Dividir polinômios 4x 3 + 0x 2 + 0x + 0 2x 3 + x 2 2x 1 4x 3 + 2x 2 4x 2 2 2x 2 4x 2 4x 3 2x 3 + x 2 2x 1 = 2 + 2x2 4x 2 2x 3 + x 2 2x + 1 = 2 + 2x2 4x 2 x 2 2x + 1 (2x + 1) Frações parciais: 2x 2 4x 2 2x + 1 (x 1)(x + 1) = = 2 + A 2x x 2 4x 2 2x + 1 (x 1)(x + 1) B x 1 + C x

26 Expansão em Frações Parciais - Exemplos Exemplo 5 continuação... - Numerado maior ou igual que o denominador - Caso 1 Frações parciais: 2x 2 4x 2 2x + 1 (x 1)(x + 1) = A 2x B x 1 + C x + 1 2x 2 4x 2 = A x 1 x B 2x + 1 x C 2x + 1 (x 1) x = 1 2x 2 4x 2 = A x 1 x B 2x + 1 x C 2x + 1 (x 1) B = 2 3 x = 1 2x 2 4x 2 = A x 1 x B 2x + 1 x C 2x + 1 (x 1) C = 2 x = 1 2 2x 2 4x 2 = A x 1 x B 2x + 1 x C 2x + 1 (x 1) A = 2 3 4x 3 2/3 2x 3 + x 2 = 2 + 2x 1 2x /3 x x

27 Expansão em Frações Parciais - Exemplos Caso 2 Denominador com termos repetidos Exemplo 6 3x 2x + 1 x 1 2 = A 2x B x 1 + C x 1 2 3x = A x B 2x + 1 x 1 + C 2x + 1 x = 1 3x = A x B 2x + 1 x 1 + C 2x + 1 C = 1 x = 1 2 3x = A x B 2x + 1 x 1 + C 2x + 1 A = 2 3 x = 0 0 = A + B 1 + C B = 1 3 3x 2x + 1 x 1 2 = 2/3 2x /3 x x

28 Expansão em Frações Parciais - Exemplos Caso 2 Denominador com termos repetidos Exemplo 7 x + 2 x 3 (x 1) = A x + B x 2 + C x 3 + D x 1 x + 2 = Ax 2 x 1 + Bx x 1 + C x 1 + Dx 3 x = 1 D = 3 x = 0 x = 1 x = 2 C = 2 1 = A 2 + B ( 1) 4 = A B (8) 0 = A + B 9 = 2A + B A = B = 3 x + 2 x 3 (x 1) = 3 x + 3 x x x 1 28

29 Expansão em Frações Parciais - Exemplos Caso 3 Denominador com fatores de segundo grau (raízes complexas imaginárias) Exemplo 8 x 2 x 4 (x 2 + 1) = A Bx + C + x 4 (x 2 + 1) x 2 = A x (Bx + C) x 4 x = 4 A = x = 0 C = 4 17 x = 1 B = 1 17 x 2 x 4 (x 2 + 1) = 16/17 (1/17)x + (4/17) + x 4 (x 2 + 1) 29

30 Transformada Inversa de Laplace Exemplo 1: F s = 1 s 3 L 1 F s = f t = L 1 { 1 s 3} f t = 1 2 L 1 { 1.2! s 2+1} f t = 1 2 L 1 { 1.2! s 2+1} 30

31 Transformada Inversa de Laplace Exemplo 2: L 1 1 s 2 1 s + 1 s 2 = L 1 1 s 2 L 1 1 s + L 1 1 s 2 = = t 1 + e 2t L 1 1 s = 1 L 1 1 s 2 = e2t. 1 31

32 Transformada Inversa de Laplace Exemplo 3: 2s 6 L 1 s 2 9 = L 1 2s s s 2 9 = L 1 2L 1 2L 1 2s s L 1 s 2 9 = s s L 1 s 2 9 = s s L 1 s = 2cos(3t) 6 3 sen(3t) = 2cos(3t) 2sen(3t) 32

33 Transformada Inversa de Laplace Exemplo 4: L 1 2s + 1 s(s + 1) = 2s + 1 s(s + 1) = A s + B s + 1 Frações parciais caso 1 2s + 1 s(s + 1) = 1 s + 1 s + 1 L 1 1 s + 1 s + 1 = L 1 1 s + L 1 1 s + 1 = 1 + e t 33

34 Transformada Inversa de Laplace Exemplo 5: L 1 1 s 2 6s + 8 = L 1 1 (s 4)(s 2) = Expandindo em Frações parciais 1 (s 4)(s 2) = A s 4 + L 1 1/2 s 4 + 1/2 s 2 = L 1 s L 1 s 2 = 1 2 e4t 1 2 e2t = 1 2 e4t e 2t Resolvendo equação de segundo grau B s 2 = 1/2 s 4 + 1/2 s 2 34

35 Resolução de equações diferenciais Exemplo 1 d 2 y dy dt y = 32u(t) dt s 2 Y s sy 0 Aplicando transformada de Laplace yሶ sY s y Y s = 32 s Condições iniciais iguais a zero s 2 Y s +12sY s + 32Y s = 32 s Y s (s s + 32) = 32 s Y s = 32 s(s s + 32) = 32 s s + 4 (s + 8) Y s = 1 s 2 s s + 8 L 1 Y s = L 1 1 s L 1 2 s L 1 1 s + 8 Expandindo em frações parciais Aplicando transformada inversa de Laplace y(t) = 1 2e 4t + e 8t u(t) Solução 35

36 Exercício de avaliação 2.1 Exercício de avaliação

37 2.3 Função de Transferência Função que relaciona algebricamente saída à entrada do sistema. Permite combinar algebricamente subsistemas para obter a representação do sistema total. Equação diferencial de um Sistema físico genérico Aplicando transformada de Laplace Isolando entrada R(s) e saída C(s) Dividindo a saída pela entrada, obtendo função de transferência G(s) 37

38 2.3 Função de Transferência Exemplo 2.4 Solução: Solução: 38

39 2.3 Função de Transferência 39

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