Exemplos de equações diferenciais

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1 Transformadas de Laplace - EDO's Prof. E.T.Galante Denição. Uma equação diferencial é uma equação na qual: a incógnita é uma função; há ao menos uma derivada da função incógnita. Antes de mais nada, vamos a um breve comentário a respeito da classicação das equações diferenciais. De modo geral, classicam-se as equações diferenciais:. em EDO x EDP: consiste em saber se a função incógnita depende de apenas uma variável (neste caso a equação é uma EDO, ou seja, uma Equação Diferencial Ordinária) ou se depende de várias variáveis (daí temos uma EDP, ou seja, uma Equação Diferencial Parcial); 2. quanto à ordem: a ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem; 3. quanto à linearidade: a EDO F (t, y, y,..., y (n) ) 0 é dita linear se a função F é linear com respeito às variáveis y, y,..., y (n). Analogamente para EDP's. Exemplos de equações diferenciais O campo das equações diferenciais é uma das maiores e mais importantes conexões entre a matemática e a física. Talvez não seja exagero dizer que para praticamente qualquer fenômeno físico (ou químico, ou biológico, ou nanceiro, etc...) corresponde uma certa equação diferencial e, reciprocamente, para toda equação diferencial corresponde algum fenômeno na natureza. Abaixo apresentamos alguns exemplos de equações diferenciais. y + y 0, y + y sen(2t), y (4) y 0,... Equação para a carga Q(t) em um capacitor em um circuito RLC: Equação do calor: Equação da onda: L d2 Q(t) dt 2 + R dq(t) dt α 2 2 u(x, t) x 2 + Q(t) E(t). C u(x, t). t a 2 2 u(x, t) x 2 2 u(x, t) t 2. Equação para o ângulo θ de um pêndulo com a vertical: d 2 θ dt + g sen(θ) 0. 2 L

2 Sistema de equações predador-presa (ou Lotka-Volterra): dx dt ax αxy dy dt cy + γxy. Antes de voltarmos às transformadas e partirmos para a resolução de EDO's, precisamos fazer um comentário nal. Com a técnica da transformada de Laplace resolveremos na verdade PVI's (Problemas de Valor Inicial). Um PVI nada mais é do que uma EDO acompanhada de condições iniciais. Essas condições iniciais são valores da função incógnita e de suas derivadas em t 0. Lembre-se que quando temos apenas uma EDO, sem nenhuma condição inicial, o que na realidade encontramos ao resolvê-la é uma família de soluções, também chamada de solução geral da EDO. Na verdade, tal família é o conjunto de todas as possíveis soluções para aquela EDO. Já quando agregamos à equação diferencial algumas condições iniciais (tipicamente são n condições para uma EDO de ordem n) obtemos não uma família de soluções, mas sim uma solução especíca ou particular. Esta solução particular é a solução do PVI. Portanto o que vamos fazer é resolver PVI's utilizando as transformadas de Laplace. Iremos obter como resposta soluções particulares, isto é, funções especícas que não só resolvem a EDO, mas também satisfazem as condições iniciais. Resolução de EDO's por transformadas de Laplace Exemplo. Seja o seguinte PVI: y 5y + 6y 0, com y (0) y(0). Neste primeiro exemplo (e apenas neste), vamos antes obter a solução pela técnica básica, isto é, a técnica da equação característica. Assim, poderemos depois confrontar esta solução com a que será obtida via transformadas de Laplace. Dessa forma, supomos uma solução da EDO da forma y(t) e λt. y (t) λe λt e que y (t) λ 2 e λt. Substituindo esses valores na EDO obtemos: Isso implica que λ 2 e λt 5λe λt + 6e λt 0 e [ λt λ 2 5λ + 6 ] 0. OBS: Note que a equação característica desta EDO é λ 2 5λ Como e λt > 0, para todo λ, t R então λ 2 5λ + 6 0, o que implica λ 2, λ 2 3. Portanto, nossa solução geral é: y(t) c e 2t + c 2 e 3t. () Para descobrirmos os valores das constantes c e c 2 iniciais do PVI: temos de utilizar as condições y(0) c + c 2 e y (0) 2c + 3c 2. 2

3 Resolvendo o sistema de equações nas variáveis c, c 2 obtemos: c 2, e c 2. Portanto, a solução do PVI obtida pelo método da equação característica é: y(t) 2e 2t e 3t. Vamos agora retornar ao início do PVI e resolvê-lo novamente, agora via transformadas de Laplace. Começamos por aplicar a transformada (como um operador linear) a ambos os lados da EDO: L {y 5y + 6y} L{0} L{y } 5L{y } + 6L{y} 0 s 2 F (s) sy(0) y (0) 5 (sf (s) y(0)) s 2 F (s) s 5sF (s) Agora, fatorando obtemos: s 4 s 2 5s + 6. s 4 A (s 2) + B (s 3) Consequentemente: A(s 3) + B(s 2) (A + B)s (3A + 2B). s 4 (A + B)s (3A + 2B) A 2, B. Portanto: 2 (s 2) + ( ) ( ) (s 3) 2. s 2 s 3 Agora vem o passo fundamental da transformada inversa. Note que F (s) é a transformada de Laplace da solução da EDO, mas então: L{y(t)} F (s) y(t) L {F (s)}. Isto é, devemos agora aplicar L a ambos os lados da expressão obtida para F (s). ( ) ( )} { } { } y(t) L {F (s)} L {2 2L L. (s 2) (s 3) (s 2) (s 3) Agora, como já sabemos que L{e at } /(s a), vem que: y(t) 2e 2t e 3t, o que coincide com a equação (), que foi o resultado encontrado anteriormente pelo método da equação característica. 3

4 Exemplo. Seja o seguinte PVI: y 3y +2y e 4t, com y(0), y (0) 5. Começamos por aplicar a transformada a ambos os lados da EDO: L {y 3y + 2y} L{e 4t } L{y } 3L{y } + 2L{y} s + 4 s 2 F (s) sy(0) y (0) 3 (sf (s) y(0)) + 2 s + 4 s 2 F (s) s 5 3sF (s) s + 4 (s + 4)(s 2 3s + 2) + s + 2 s 2 3s + 2 Aplicando o método das frações parciais: + (s + 2)(s + 4) (s + 4)(s )(s 2) s 2 + 6s + 9 (s + 4)(s )(s 2). s 2 + 6s + 9 (s + 4)(s )(s 2) A (s + 4) + B (s ) + C (s 2) A(s )(s 2) + B(s + 4)(s 2) + C(s + 4)(s ) (s + 4)(s )(s 2) (A + B + C)s2 + ( 3A + 2B + 3C)s + (2A 8B 4C). (s + 4)(s )(s 2) o que nos leva ao seguinte sistema linear nas variáveis A, B, C: A + B + C 3A + 2B + 3C 6 2A 8B 4C 9 Resolvendo o sistema acima resulta A /30, B 6/5, C 25/6. Portanto: /30 (s + 4) + 6/5 (s ) + 25/6 (s 2) Aplicando a transformada inversa obtemos a solução do PVI: y(t) 30 e 4t 6 5 et e2t. 4

5 2 Frações Parciais Você deve ter notado que nos exemplos resolvidos há sempre o momento em que utilizamos o método das frações parciais. Este processo é de crucial importância no contexto da resolução de EDO's por transformadas de Laplace. Isso porque, em geral, F (s) é uma expressão para a qual é difícil dizer quem é a transformada inversa. Após a aplicação do método das frações parciais, surgem então frações mais simples. Daí facilmente conseguimos calcular a transformada inversa. Nesta seção procuro explicar - ainda que supercialmente - este método das frações parciais. Tudo começa com o Teorema Fundamental da Álgebra. Teorema 2. (Teorema Fundamental da Álgebra). Toda equação polinomial da forma a n x n + a n x n + + a x + a 0 0, onde n é um inteiro positivo e os a i são complexos (em particular, reais) tem exatamente n raízes complexas (algumas das quais podem ser iguais). Foi em 799 que pela primeira vez esse teorema foi demonstrado. Isso ocorreu justamente na tese de doutorado do matemático alemão Carl Friedrich GAUSS. Ele conseguiu o feito após várias tentativas frustradas de grandes matemáticos, como por exemplo D'Alembert, Euler, Lagrange e Laplace. Gauss foi o primeiro matemático a usar números complexos e a geometria do plano complexo com total segurança. Há muitas provas deste teorema (o próprio Gauss apresentou quatro, ao todo), com diferentes níveis de sosticação. Não o demonstraremos aqui pois isso não vem ao caso no momento. Figura : Gauss ( ). Segundo Leopold Kronecker: Seu nome está ligado a quase tudo que a matemática do século XIX criou em matéria de ideias cientícas originais. O que realmente nos interessa aqui e agora é um corolário do teorema 2., o qual diz o seguinte: Corolário 2.2. Teoricamente todo polinômio P (s) pode ser fatorado completamente em fatores da forma (s r) m e (s 2 + as + b) n, alguns dos quais podem ser repetidos. 5

6 Este corolário nos permite armar que sempre que tivermos L{f(t)} F (s) escrita na forma de uma fração Q(s)/P (s) (com o grau de Q < grau de P ), poderemos com certeza expressar o denominador P (s) fatorado em termos lineares e quadráticos, conforme descritos no corolário 2.2. Isso nos dá o gancho para o seguinte teorema: Teorema 2.3 (Teorema das Frações Parciais). Seja Q(s)/P (s). Se ocorrer (s r) m em P (s) então a correspondente decomposição em frações parciais é E se ocorrer (s 2 + as + b) n parciais é A s r + A 2 (s r) A m (s r) m. em P (s) então a correspondente decomposição em frações A s + B s 2 + as + b + A 2s + B 2 (s 2 + as + b) A ns + B n (s 2 + as + b) n. Note que se tivermos em P (s) fatores lineares ou quadráticos de multiplicidade, isto é, se tivermos m ou n, então teremos apenas os primeiros termos dos somatórios apresentados no teorema 2.3. Se não cou claro o enunciado, então procure rever todos os exemplos em que o método foi utilizado e daí reinterprete o enunciado a luz das resoluções. Isso pode ajudar. 3 Um último exemplinho - EDO a ordem Vamos tentar agora aplicar as transformadas de Laplace a uma EDO de a ordem. Exemplo. Seja o seguinte PVI: y + 3y + 2y 3sen(2t), com y(0) 6. L{y 2 } + 3L{y} 3 s sf (s) s (s + 3) s (s + 3) + 26 (s + 3)(s 2 + 4) 6s (s + 3)(s 2 + 4). Aplicando o método das frações parciais: 6s (s + 3)(s 2 + 4) A (s + 3) + Bs + C (s 2 + 4) A(s2 + 4) + (s + 3) que resulta em (faça os cálculos) A 8, B 2, C 6. Portanto: 8 (s + 3) + 2s + 6 (s 2 + 4). (Bs + C)(s + 3), (s 2 + 4) Aplicando a transformada inversa (faça as contas, é fácil) obtemos a solução do PVI: y(t) 8e 3t 2cos(2t) + 3sen(2t). 6