Funções Polinomiais: uma visão analítica
|
|
- Marisa Carlos Beretta
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Funções Polinomiais: uma visão analítica Uma das principais razões pelas quais estamos interessados em estudar o gráfico de uma função é determinar o número e a localização (pelo menos aproximada) de seus zeros. (Recorde que zero de uma função f é uma solução da equação ). O problema de calcular as raízes de uma equação sempre foi objeto de estudo da matemática ao longo dos séculos. Já era conhecida, na antiga Babilônia, a fórmula para o cálculo das raízes exatas de uma equação geral do segundo grau. No século XVI, matemáticos italianos descobriram fórmulas para o cálculo de soluções exatas de equações polinomiais do terceiro e do quarto grau. Essas fórmulas são muito complicadas e por isso são raramente usadas nos dias de hoje. Perguntas do tipo: o o o Qual é o maior número de zeros que uma função polinomial pode ter? Qual é o menor número de zeros que uma função polinomial pode ter? Como podemos encontrar todos os zeros de um polinômio, isto é, como podemos encontrar todas as raízes de uma equação polinomial? ocuparam as mentes dos matemáticos até o início do século XIX, quando este problema foi completamente resolvido. Nesta seção vamos tentar responder a estas perguntas refazendo o caminho percorrido por famosos matemáticos desde o século XVI. Pela experiência adquirida no estudo das equações de primeiro e segundo grau é razoável supor que o número de raízes de um polinômio está relacionado ao seu grau. Sabemos, por exemplo, que a equação tem uma única raiz igual a zero. Na verdade, esta equação tem duas raizes idênticas, ambas iguais a zero. Esta equação pode ser escrita como. Esta forma (fatorada) de escrever a equação permite perceber, claramente, que a mesma possui duas raízes iguais. O mesmo se dá com a equação que apresenta duas raizes idênticas e iguais a 1.
2 Podemos encontrar facimente, muitos exemplos de equações de segundo grau que não têm nenhuma raiz real. Considere, por exemplo, a equação. Ao tentarmos encontrar as raizes desta equação, chegaremos a, que não tem solução real. No entanto, como já vimos, se admitirmos que as raízes podem pertencer ao conjunto dos números complexos, esta equação tem duas raízes complexas conjugas, a saber, = i e = i. Da mesma maneira que no exemplo anterior, esta equação pode ser escrita na forma fatorada como. No caso geral mais geral de uma equação de segundo grau, temos que a equação pode sempre ser escrita na forma y = a (x x 1 ) (x x 2 ), onde e são as duas raízes da equação, que como já vimos pelos exemplos acima, podem ser distintas, repetidas, isto é, iguais, ou mesmo complexas. Este fato pode ser generalizado para equações polinomiais de qualquer grau. De um modo geral, sempre que for um zero complexo de um polinômio P(x), isto é sempre que for uma raiz complexa da equação, temos que ( ) é um fator de P(x). Este fato foi estabelecido por René Descartes na sua obra "Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la verité dans les sciences" (Discurso do método para bem conduzir a razão e procurar a verdade nas ciências), publicada em Suas conclusões podem ser resumidas no teorema do fator, enunciado a seguir: Teorema do Fator
3 Um número é um zero de um polinômio P se e somente se tem um fator da forma ( ). O exemplo a seguir mostra como o teorema do fator pode ser usado para nos ajudar na tarefa de encontrar as raízes de um polinômio de grau maior do que dois. Exemplo Ache os zeros da função polinomial. Solução A figura ao lado, mostra o gráfico da função p. Os zeros reais de p correspondem aos pontos onde o seu gráfico intercepta o eixo x. Uma dessas interseções parece estar localizada perto do ponto (3,0). Um cálculo rápido nos permite confirmar este palpite. De fato, como ( ) + 2 (3) + 3 = 0. Assim, x = 3 é um zero da função p e, consequentemente, (x 3) é um fator de p(x). Assim, dividindo p(x) por (x 3), obtemos. Esta forma fatorada permite concluir que os outros zeros de p(x) devem ser soluções da equação. Usando a fórmula de Bhaskara para resolver
4 esta última equação, obtemos e que são os outros dois zeros de p. Agora é com você! Use o quadro ao lado para traçar o gráfico de cada uma das funções dadas e use zooms sucessivos para estimar o valor de um dos zeros da função. Comprove o seu palpite e, então, use o teorema do fator e a fórmula de Bhaskara para achar os outros zeros. (a) (b) (c) Conclusões Seja r um número complexo. Para a função polinomial y = f(x) as seguintes afirmações são equivalentes: 1) x = r é uma solução ou raiz da equação f(x) = 0. 2) x = r é um zero da função y = f(x) 3) ( x r ) é um fator de f(x) ou, equivalentemente, f(x) é divisível por (x r) 4) Se r é real, (r,0) é um ponto de interseção do gráfico da função f com o eixo x. O Teorema do fator responde a primeira das perguntas formuladas no início desta seção. Como um polinômio de grau n tem, no máximo, n fatores do primeiro grau, decorre imediatamente, deste teorema que uma função polinomial de grau n tem no máximo n zeros.
5 Este fato foi primeiro estabelecido no início do século XVII pelo matemático alemão Peter Rothe e, mais tarde, por Descartes e Albert Girard ( ), ambos matemáticos franceses. Girard e Descartes reconheceram a natureza dos zeros de um polinômio porque eles estavam entre os primeiros matemáticos a admitir a possibilidade de trabalhar com números complexos. Multiplicidade das Raízes Nós agora poderíamos começar a indagar se um polinômio de grau n tem sempre n zeros. A resposta depende da maneira como contamos estes zeros. Se admitirmos somente zeros reais a resposta é não pois, como já vimos, uma equação do tipo não possui raízes reais. Embora esta equação não tenha raízes reais, ela tem duas raízes complexas. Isto sugere que, talvez, um polinômio de grau n tenha sempre n raízes complexas. Será verdade? A resposta ainda depende da maneira como contamos estes zeros. Se cada zero puder ser contado somente uma vez a resposta ainda é negativa. Considere, por exemplo, o polinômio =. Como mostra a sua forma fatorada, este polinômio tem duas raízes distintas x = 1 ex = 8. Embora a função deste exemplo tenha somente dois zeros distintos, tem 3 fatores de primeiro grau: dois fatores iguais a (x 1) e um fator igual a (x 8). Neste caso, dizemos que p(x) tem um duplo zero, ou um zero de multiplicidade 2, em x = 1, correspondente ao fator repetido. De um modo geral se k é um inteiro positivo e x = é um zero da função f(x) correspondente ao fator então é um zero simples de f,se k= 1 e um zero de multiplicidade k, se k > 1. O número k determina a multiplicidade do zero. No exemplo anterior, o zero x = 1 tem multiplicidade 2 e o zero x = 8, multiplicidade 1.
6 Voltemos agora a questão de saber se um polinômio de grau n tem sempre n zeros. A discussão acima sugere que se contarmos os zeros complexos e os zeros repetidos a resposta é sim. Este resultado é conhecido como o Teorema Fundamental da Álgebra e é enunciado a seguir. Teorema Fundamental da Álgebra Todo polinômio P de grau n pode ser escrito na forma fatorada como... onde,... são as raízes complexas, não necessariamente distintas, de P(x). Equivalentemente todo polinômio P de grau n tem exatamente n zeros complexos. (Estes zeros são contados levando-se em conta a sua multiplicidade.) Zeros Conjugados e Zeros de um polinômio de grau ímpar Se estivermos interessados somente nos zeros reais de um polinômio, a fatoração do polinômio poderá conter, além dos fatores de primeiro grau, fatores quadráticos que não têm raízes reais. Cada um destes fatores quadráticos, como já vimos, admitem duas raízes complexas conjugadas. (Lembre-se que para equações quadráticas com coeficientes reais, se o discriminante é negativo, as raízes são números complexos e o sinal ± na fórmula de Bhaskara assegura que estes zeros ocorrem em pares conjugados.) Desse modo, se a + bi é um zero complexo da função polinômial f(x), então seu conjugado a bi também é um zero de f(x). O Teorema Fundamental da Álgebra garante que um polinômio de grau ímpar tem um número ímpar de zeros (o número de zeros complexos é igual ao grau do polinômio). Como os zeros complexos ocorrem em pares conjugados, um polinômio de grau ímpar deve ter, pelo menos, um zero real.
7 Tanto Descartes quanto Girard enunciaram o teorema mas tanto eles quanto grandes matemáticos do porte de Newton, Euler, DÁlembert e Lagrange não obtiveram sucesso em demonstrá-lo. O Teorema Fundamental da Álgebra só foi demonstrado em 1799, quando Carl Friedrich Gauss conseguiu estabelecer a sua prova na sua Tese de Doutorado, quando tinha 22 anos. A última questão que nos resta responder é se é possível encontrar todos os zeros de um polinômio. O Teorema Fundamental da Álgebra nos diz quantos zeros existem mas não nos diz como encontrá-los! A tarefa de achar os zeros de uma função polinomial se torna cada vez mais complexa à medida em que aumenta o grau do polinômio. Nossos ta-ta-ta-...-ta- ravós já eram capazes de resolver equações de primeiro e de segundo graus. Métodos de resolução de equações do primeiro grau já eram conhecidos pelos egípcios em 3500 A.C. A fórmula quadrática foi estabelecida pelos Babilônios, em 1700 A.C. Fórmulas similares para equações de terceiro grau foram publicadas por Girolamo Cardano ( ), em 1545 em sua "Arte Magna". Este trabalho também continha a fórmula de Ludovico Ferrari ( ) para a resolução da equação geral de quarto grau. Cardano rejeitava tanto as raízes imaginárias quanto as raízes negativas por não encontrar significado físico neste tipo de raízes. Este tipo de soluções continuou a ser rejeitado até 1732, quando Leonhard Euler ( ) demonstrou que a fórmula de Cardano poderia ser usada para obter três zeros complexos qualquer que fosse a equação cúbica considerada. Por cerca de 250 anos após a publicação da Arte Magna, os matemáticos europeus procuraram em vão por uma fórmula para encontrar os zeros de um polinômio geral do quinto grau. François Viète ( ), James Gregory ( ), Joseph Louis Lagrange ( ) e Euler tentaram e falharam. Gregory conjecturou que tal fórmula não existia. Em 1824, o matemático norueguês Niels Henrik Abel ( ), trabalhando em cima do trabalho de Lagrange, provou que Gregory estava correto. Não há uma fórmula geral para achar os zeros de um polinômio de grau maior ou igual a cinco. Abel, portanto, respondeu a terceira pergunta que formulamos no início desta seção. A questão de determinar que equações de grau maior ou igual a cinco podem ser resolvidas por fórmulas algébricas foi respondida em 1831, pelo matemático francês Evariste Galois. Embora não possamos calcular analiticamente os zeros de uma grande classe de funções polinomiais, existem vários métodos numéricos para calcular aproximações para esses zeros. Uma das estratégias mais usadas para encontrar os zeros de uma função é por um meio qualquer (usando o gráfico da função, pedindo inspiração divina, tentando um bom palpite, etc..) estimar o valor de um ou mais zeros e, então, usar o teorema do fator para encontrar os zeros restantes. Geralmente, o trabalho de obter um bom palpite pode ser considravelmente simplificado usando o Teorema das Raízes Racionais, devido a Descartes.
8 Teorema das Raízes Racionais Se uma função polinomial com coeficientes inteiros,..., tem zeros racionais, isto é, se com p e q inteiros e na forma irredutível é um zero de f(x), então é divisível por p e é divisível por q. O Teorema das Raízes Racionais nos permite fazer uma lista de todos os possíveis zeros racionais de uma dada função polinomial com coeficientes inteiros. Daí, podemos testá-los e verificar quais dos possíveis candidatos são realmente zeros da função. Exemplo Use o Teorema das Raízes Racionais para achar os zeros do polinômio P(x) = 3x 4 + 8x 3 72x 2 127x Solução Como este é um polinômio de quarto grau, ele tem no máximo quatro raízes reais. Se é uma raiz racional de P(x) = 0, então os possíveis valores de p são os fatores inteiros de 50, que são ± 1, 2, 5, 10, 25 e 50. Os possíveis valores de q são os fatores inteiros de 3, que são ± 1, 3. Assim, os possíveis zeros racionais de P(x) são x = ± 1, 2, 5, 10, 25, 50, 1/3, 2/3, 5/3, 10/3, 25/3, 50/3. Após, uma rápida inspeção, podemos concluir que x = 2 é um zero de P(x). Desse modo, dividindo P(x) por (x + 2) obtemos:
9 P(x) = (x + 2) (3x 3 + 2x 2 76x + 25) Da mesma formas, podemos verificar que x = 1/3 é um outro zero de P, então P(x) = (x + 2) ( x 1/3) (3x 2 + 3x 75) Os demais zeros são as raízes da equação quadrática 3x 2 + 3x 75 = 0 que podem ser achados, sem dificuldade, usando a fórmula de Bhaskara.
Equação algébrica Equação polinomial ou algébrica é toda equação na forma anxn + an 1 xn 1 + an 2 xn a 2 x 2 + a 1 x + a 0, sendo x
EQUAÇÃO POLINOMIAL Equação algébrica Equação polinomial ou algébrica é toda equação na forma a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0, sendo x C a incógnita e a n, a n 1,..., a
Leia maisEQUAÇÕES POLINOMIAIS
EQUAÇÕES POLINOMIAIS Prof. Patricia Caldana Denominamos equações polinomiais ou algébricas, as equações da forma: P(x)=0, onde P(x) é um polinômio de grau n > 0. As raízes da equação algébrica, são as
Leia maisFunção polinomial. Pré-Cálculo. Função polinomial. Função polinomial: exemplos. Humberto José Bortolossi. Parte 6. Definição
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Função polinomial Parte 6 Parte 6 Pré-Cálculo 1 Parte 6 Pré-Cálculo 2 Função polinomial Função polinomial:
Leia maisφ(x) = 0 Marcelo Viana IMPA - Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada Marcelo Viana φ(x) = 0
φ(x) = 0 Marcelo Viana IMPA - Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada Resolução de equações A resolução de equações (encontrar o valor de x ) é um dos problemas mais básicos e antigos da Matemática,
Leia maisRelações de Girard - Parte II
Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Álgebra - Nível 2 Prof. Marcelo Mendes Aula 19 Relações de Girard - Parte II Vamos continuar vendo mais exemplos das Relações de Girard. Veremos também um resultado
Leia maisPolinômios e equações algébricas 2. Fascículo 12. Unidade 38
Polinômios e equações algébricas 2 Fascículo 12 Unidade 38 Polinômios e equações algébricas 2 Para início de conversa... Conforme vimos na unidade Geometria Espacial: pirâmides e cones, que tratava das
Leia maisO DNA das equações algébricas
Reforço escolar M ate mática O DNA das equações algébricas Dinâmica 3 3º Série 4º Bimestre DISCIPLINA SÉRIE CAMPO CONCEITO Aluno Matemática 3ª do Ensino Médio Algébrico-Simbólico Polinômios e Equações
Leia maisUm método numérico para encontrar as raízes de um polinômio baseado no vetor gradiente.
Um método numérico para encontrar as raízes de um polinômio baseado no vetor gradiente. Flaulles Boone Bergamaschi 1 1 Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia (UESB) Cep 45.083-900- Vitória da Conquista
Leia maisDenominamos equação polinomial ou equação algébrica de grau n a toda equação da forma:
EQUAÇÕES POLINOMIAIS. EQUAÇÃO POLINOMIAL OU ALGÉBRICA Denominamos equação polinomial ou equação algébrica de grau n a toda equação da forma: p(x) = a n x n + a n x n +a n x n +... + a x + a 0 = 0 onde
Leia maisREVISÃO DE ÁLGEBRA. Apareceu historicamente em processos de contagem. Obs.: dependendo da conveniência, o zero pode pertencer aos naturais.
REVISÃO DE ÁLGEBRA 1ª. AULA CONJUNTOS BÁSICOS: Conjuntos dos números naturais: * + Apareceu historicamente em processos de contagem. Obs.: dependendo da conveniência, o zero pode pertencer aos naturais.
Leia maisMatemática 1 INTRODUÇÃO 1 TEOREMA DAS RAÍZES COMPLEXAS 3 TEOREMA DAS RAÍZES RACIONAIS 2 TEOREMA DAS RAÍZES IRRACIONAIS. Exercício Resolvido 2
Matemática Frente II CAPÍTULO 22 EQUAÇÕES POLINOMIAIS 1 INTRODUÇÃO Nos capítulos anteriores, durante o estudo de polinômios, já estudamos alguns teoremas que nos ajudam a encontrar as raízes de polinômios.
Leia maisMaterial Teórico - Módulo Equações do Segundo Grau. Equações de Segundo Grau: outros resultados importantes. Nono Ano do Ensino Funcamental
Material Teórico - Módulo Equações do Segundo Grau Equações de Segundo Grau: outros resultados importantes Nono Ano do Ensino Funcamental Autor: Prof. Fabrício Siqueira Benevides Revisor: Prof. Antonio
Leia maisparciais primeira parte
MÓDULO - AULA 3 Aula 3 Técnicas de integração frações parciais primeira parte Objetivo Aprender a técnica de integração conhecida como frações parciais. Introdução A técnica que você aprenderá agora lhe
Leia maisétodos uméricos ZEROS DE FUNÇÕES Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
étodos uméricos ZEROS DE FUNÇÕES Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI PRÓ-REITORIA DE PESQUISA CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA
Leia maisPOLINÕMIOS E EQUAÇÕES POLINOMIAIS 2016
POLINÕMIOS E EQUAÇÕES POLINOMIAIS 06. (Unicamp 06) Considere o polinômio cúbico p() a, onde a é um número real. a) No caso em que p() 0, determine os valores de para os quais a matriz A abaio não é invertível.
Leia maisPARTE I EQUAÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
PARTE I EQUAÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL. Introdução Considere f uma função, não constante, de uma variável real ou complexa, a equação f(x) = 0 será denominada equação de uma incógnita. EXEMPLO e x + senx
Leia maisFicha de trabalho Decomposição e resolução de equações e inequações polinomiais
Ficha de trabalho Decomposição e resolução de equações e inequações polinomiais 1. Verifique, recorrendo ao algoritmo da divisão, que: 6 4 0x 54x + 3x + é divisível por x 1.. De um modo geral, que relação
Leia maisFORMAÇÃO CONTINUADA EM MATEMÁTICA. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ. Matemática do 3º Ano 3º Bimestre Plano de Trabalho 1
FORMAÇÃO CONTINUADA EM MATEMÁTICA Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Matemática do 3º Ano 3º Bimestre 2014 Plano de Trabalho 1 Conjunto dos Números Complexos Tarefa: 001 PLANO DE TRABALHO 1 Cursista: CLÁUDIO
Leia maisMatemática E Extensivo V. 7
Matemática E Etensivo V. 7 Eercícios ) B ) A P() = ³ + a² + b é divisivel por. Pelo teorema do resto, = é raiz de P(). P() = ³ + a. ² + b a + b = Da mesma maneira, P() é divisível por. Pelo teorema do
Leia mais3. Equações Algébricas
3. Equações Algébricas 3.1 Introdução Em muitos problemas de Ciência e Engenharia há necessidade de se determinar um número ξ para o qual um número ξ para o qual uma função f(x) seja zero, ou seja, f(ξ)
Leia maisExemplos de equações diferenciais
Transformadas de Laplace - EDO's Prof. E.T.Galante Denição. Uma equação diferencial é uma equação na qual: a incógnita é uma função; há ao menos uma derivada da função incógnita. Antes de mais nada, vamos
Leia maisFunções da forma x elevado a menos n
Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções da forma x elevado a menos n Parte 5 Parte 5 Pré-Cálculo 1 Parte 5 Pré-Cálculo 2 Funções
Leia maisAula 3 11/12/2013. Integração Numérica
CÁLCULO NUMÉRICO Aula 3 11/12/2013 Integração Numérica Objetivo: Calcular integrais utilizando métodos numéricos Cálculo Numérico 3/64 Integração Numérica Cálculo Numérico 4/64 Integração Numérica Em determinadas
Leia maisAula 19 06/2014. Integração Numérica
CÁLCULO NUMÉRICO Aula 19 06/2014 Integração Numérica Objetivo: Calcular integrais utilizando métodos numéricos Cálculo Numérico 3/41 Integração Numérica Cálculo Numérico 4/41 Integração Numérica Em determinadas
Leia maisTécnicas de. Integração
Técnicas de Capítulo 7 Integração TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 7.4 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais Nessa seção, vamos aprender como integrar funções racionais reduzindo-as a uma soma de
Leia maisCálculo Numérico BCC760 Raízes de equações algébricas e transcendentes
Cálculo Numérico BCC760 Raízes de equações algébricas e transcendentes Departamento de Computação Página da disciplina http://www.decom.ufop.br/bcc760/ Introdução Dada uma função y = f(x), o objetivo deste
Leia maisPolinômios. 02) Se. (x 1), então. f(x) (x 2) (x 1) 5ax 2b, com a e b reais, é divisível por a b 1. 04) As raízes da equação
Polinômios 1. (Ufsc 015) Em relação à(s) proposição(ões) abaixo, é CORRETO afirmar ue: 01) Se o gráfico abaixo representa a função polinomial f, definida em por f(x) ax bx cx d, com a, b e c coeficientes
Leia maisA = B, isto é, todo elemento de A é também um elemento de B e todo elemento de B é também um elemento de A, ou usando o item anterior, A B e B A.
Capítulo 1 Números Reais 1.1 Conjuntos Numéricos Um conjunto é uma coleção de elementos. A relação básica entre um objeto e o conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos elementos
Leia maisNúmeros complexos na forma algébrica
Números complexos na forma algébrica A gênese do complexos Durante dois mil anos a matemática cresceu sem se importar com o fato de que as raízes quadradas dos negativos não podiam ser calculadas. Os gregos,
Leia maisMatemática E Extensivo V. 6
Etensivo V. 6 Eercícios ) a) P() é sempre igual à soma dos coeficientes de P(). b) P() é sempre igual ao termo independente de P(). c) P() é a raiz de P(), pois P() =. ) D a) P() = ³ + 7. ² 7. P() = +
Leia maisRACIOCÍNIO LÓGICO ÁLGEBRA LINEAR
RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 11 ÁLGEBRA LINEAR I - POLINÔMIOS POLINÔMIOS E EQUAÇÕES ALGÉBRICAS 1 Definição Seja C o conjunto dos números complexos ( números da forma a + bi, onde a e b são números reais e i
Leia mais1.1 Conceitos Básicos
1 Zeros de Funções 1.1 Conceitos Básicos Muito frequentemente precisamos determinar um valor ɛ para o qual o valor de alguma função é igual a zero, ou seja: f(ɛ) = 0. Exemplo 1.1 Suponha que certo produto
Leia maisRevisão de Pré-Cálculo
Revisão de Pré-Cálculo EQUAÇÕES E POLINÔMIOS Prof. Dr. José Ricardo de Rezende Zeni Departamento de Matemática, FEG, UNESP Lc. Ismael Soares Madureira Júnior Guaratinguetá, SP, Outubro, 2016 Direitos reservados.
Leia maisRREGUOJMatemática Régis Cortes. Matemática Régis Cor POLINÔMIOS PROPRIEDADES E RELAÇÕES DE GIRARD
POLINÔMIOS PROPRIEDADES E RELAÇÕES DE GIRARD 1 Propriedades importantes: P1 - Toda equação algébrica de grau n possui exatamente n raízes. Exemplo: a equação x 3 - x = 0 possui 3 raízes a saber: x = 0
Leia maisGABARITO. 01) a) c) VERDADEIRA P (x) nunca terá grau zero, pelo fato de possuir um termo independente de valor ( 2).
01) a) P (1) = 1 + 7 1 17 1 P (1) = 1 + 7 17 P (1) = 11 P (1) é sempre igual a soma dos coeficientes de P (x) b) P (0) = 0 + 7 0 17 0 P (0) = 0 + 0 0 P (0) = P (0) é sempre igual ao termo independente
Leia maisResumo: Nestas notas faremos um breve estudo sobre as principais propriedades. mínimos, gráficos e algumas aplicações simples.
Universidade Estadual de Maringá - Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral: um KIT de Sobrevivência c Publicação Eletrônica do KIT http://www.dma.uem.br/kit Equação quadrática Prof. Doherty
Leia maisPOLINÔMIOS. Nível Básico
POLINÔMIOS Nível Básico. (Eear 07) Considere P(x) x bx cx, tal que P() e P() 6. Assim, os valores de b e c são, respectivamente, a) e b) e c) e d) e. (Epcar (Afa) 05) Considere o polinômio a) x 0 não é
Leia mais( ) ( ) Polinômios. Polinômios. a n x n + a n-1 x n a 1 x + a 0. O Teorema Fundamental da Álgebra afirma que todo polinômio de grau n
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA. Técnicas de fatoração O
Leia mais4 de outubro de MAT140 - Cálculo I - Método de integração: Frações Parciais
MAT140 - Cálculo I - Método de integração: Frações Parciais 4 de outubro de 2015 Iremos agora desenvolver técnicas para resolver integrais de funções racionais, conhecido como método de integração por
Leia maisResumo: Nestas notas faremos um breve estudo sobre as principais propriedades. mínimos, gráficos e algumas aplicações simples.
Universidade Estadual de Maringá - Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral: um KIT de Sobrevivência c Publicação Eletrônica do KIT http://www.dma.uem.br/kit Equação quadrática Prof. Doherty
Leia maisPolinômios com Coeficientes da Seqüência de Fibonacci
COP 0/008 Polinômios com Coeficientes da Seqüência de Fibonacci Viviane de Jesus Lisboa 1 de setembro de 007 Resumo Abordar o conteúdo de polinômios implica em tratar de sua definição, história, ensino,
Leia maisO DNA das equações algébricas
Reforço escolar M ate mática O DNA das equações algébricas Dinâmica 3 3º Série 4º Bimestre DISCIPLINA SÉRIE CAMPO CONCEITO Matemática 3ª do Ensino Médio Algébrico-Simbólico Polinômios e Equações Algébricas.
Leia maisRevisão de Pré-Cálculo
Revisão de Pré-Cálculo EQUAÇÕES E POLINÔMIOS Prof. Dr. José Ricardo de Rezende Zeni Departamento de Matemática, FEG, UNESP Lc. Ismael Soares Madureira Júnior Guaratinguetá, SP, Outubro, 2016 Direitos reservados.
Leia maisTeoremas e Propriedades Operatórias
Capítulo 10 Teoremas e Propriedades Operatórias Como vimos no capítulo anterior, mesmo que nossa habilidade no cálculo de ites seja bastante boa, utilizar diretamente a definição para calcular derivadas
Leia maisx exp( t 2 )dt f(x) =
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL 1 As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia e não têm a intenção de substituir o livro-texto, nem qualquer outra bibliografia Aproximação
Leia maisPOLINÔMIOS 1. INTRODUÇÃO Uma função é dita polinomial quando ela é expressa da seguinte forma:
POLINÔMIOS 1. INTRODUÇÃO Uma função é dita polinomial quando ela é expressa da seguinte forma: n P(x) a a x a x... a x, onde 0 1 n Atenção! o P(0) a 0 o P(1) a a a... a 0 1 n a 0,a 1,a,...,a n :coeficientes
Leia maisMAT 1351 : Cálculo para Funções de Uma Variável Real I. Sylvain Bonnot (IME-USP)
MAT 1351 : Cálculo para Funções de Uma Variável Real I Sylvain Bonnot (IME-USP) 2016 1 Informações gerais Prof.: Sylvain Bonnot Email: sylvain@ime.usp.br Minha sala: IME-USP, 151-A (Bloco A) Site: ver
Leia maispolinômios com coeficientes da sequência de fibonacci
V Bienal da SBM Sociedade Brasileira de Matemática UFPB - Universidade Federal da Paraíba 18 a 22 de outubro de 2010 polinômios com coeficientes da sequência de fibonacci viviane de jesus lisboa & islanita
Leia maisPolinômios. 1.Introdução 2.Técnicas de fatoração 3.Fatoração de polinômios de terceiro grau ou de grau superior 4.Teorema do zero racional
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Polinômios Prof.:
Leia maisDISCIPLINA SÉRIE CAMPO CONCEITO
Reforço escolar M ate mática Real ou imaginário? Dinâmica 1 3º Série 3º Bimestre DISCIPLINA SÉRIE CAMPO CONCEITO Matemática 3ª Série do Ensino Médio Algébrico Simbólico Números Complexos Aluno Primeira
Leia maisEquações Algébricas - Propriedades das Raízes. Teorema da Decomposição. 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda
Equações Algébricas - Propriedades das Raízes Teorema da Decomposição 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Equações Algébricas - Propriedades das Raízes Teorema da Decomposição 1 Exercícios
Leia maisFunção de 2º Grau. Parábola: formas geométricas no cotidiano
1 Função de 2º Grau Parábola: formas geométricas no cotidiano Toda função estabelecida pela lei de formação f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c números reais e a 0, é denominada função do 2º grau. Generalizando
Leia mais... Onde usar os conhecimentos os sobre...
IX NÚMEROS COMPLEXOS E POLINÔMIOS Por que aprender sobre Números Complexos?... Ao estudar os Números Complexos percebemos que sua ligação à geometria nos dá uma perspectiva mais rica dos métodos geométricos
Leia maisMATEMÁTICA. A partir dessas informações, quantas pessoas foram entrevistadas?
MATEMÁTICA 1 Um estudante fez uma pesquisa com um grupo de universitários para obter um panorama a respeito da utilização de três redes sociais. Ao computar as informações fornecidas pelas pessoas entrevistadas,
Leia maisDIREÇÃO DE ENSINO EMENTA DE DISCIPLINA - MATEMÁTICA AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL ELETRÔNICA ELETROMECÂNICA MEIO AMBIENTE
Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia Fluminense Campus Macaé DIREÇÃO DE ENSINO EMENTA DE DISCIPLINA - MATEMÁTICA Nível Curso Série CH Semanal CH Anual Ensino Médio Integrado AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL
Leia maisTEORIA CONSTRUINDO E ANALISANDO GRÁFICOS 812EE 1 INTRODUÇÃO
CONSTRUINDO E ANALISANDO GRÁFICOS 81EE 1 TEORIA 1 INTRODUÇÃO Os assuntos tratados a seguir são de importância fundamental não somente na Matemática, mas também na Física, Química, Geografia, Estatística
Leia maisTICOS. NÚMEROS COMPLEXOS Leia e descubra que eu não vim do além
ANÁLISE DE MÉTODOS M MÁTEMÁTICOS TICOS NÚMEROS COMPLEXOS Leia e descubra que eu não vim do além 1 Os números complexos desempenham um papel extremamente importante nos mais diversos ramos da Matemática
Leia maisDesenho e Projeto de Tubulação Industrial Nível II
Desenho e Projeto de Tubulação Industrial Nível II Módulo I Aula 02 EQUAÇÕES Pense no seguinte problema: Uma mulher de 25 anos é casada com um homem 5 anos mais velho que ela. Qual é a soma das idades
Leia maisPlano de Trabalho 1 Polinômios e Equações Algébricas ( REELABORAÇÃO)
Plano de Trabalho 1 Polinômios e Equações Algébricas ( REELABORAÇÃO) Aluno: Anderson Ribeiro da Silva Tutor: Cláudio Rocha de Jesus Grupo: 7 Curso: 3º Ano / Ensino Médio Duração: 400min INTRODUÇÃO Sabe-se
Leia maisMatemática E Extensivo V. 6
Etensivo V. 6 Eercícios ) a) P() é sempre igual à soma dos coeficientes de P(). b) P() é sempre igual ao termo independente de P(). c) P() é a raiz de P(), pois P() =. a) P() = ³ + 7. ² 7. P() = + 7 7
Leia maisAula 16. Integração Numérica
CÁLCULO NUMÉRICO Aula 16 Integração Numérica Integração Numérica Cálculo Numérico 3/41 Integração Numérica Em determinadas situações, integrais são difíceis, ou mesmo impossíveis de se resolver analiticamente.
Leia mais13 Fórmula de Taylor
13 Quando estudamos a diferencial vimos que poderíamos calcular o valor aproimado de uma função usando a sua reta tangente. Isto pode ser feito encontrandose a equação da reta tangente a uma função y =
Leia mais1 INTRODUÇÃO 3 RELAÇÕES DE GIRARD 2 SOMAS DE GIRARD. Exercício Resolvido 1. Matemática Polinômios CAPÍTULO 04 RELAÇÕES DE GIRARD
Matemática Polinômios CAPÍTULO 04 RELAÇÕES DE GIRARD 1 INTRODUÇÃO Aprendemos, até agora, a resolver equações do primeiro e do segundo grau. Nossa meta, agora, é encontrar maneiras de resolver equações
Leia maisFunção Quadrática ou Função do 2º grau
Bhaskara Função Quadrática ou Função do 2º grau Prof.: Joni Fusinato joni.fusinato@ifsc.edu.br jfusinato@gmail.com Um pouco de História... Babilônia (1.800 a.c) alguns métodos de resolução de equações
Leia maisFormação Continuada em Matemática Fundação CECIERJ/ Consórcio CEDERJ Matemática 3º Ano / 3º Bimestre Plano de Trabalho Números Complexos
Formação Continuada em Matemática Fundação CECIERJ/ Consórcio CEDERJ Matemática 3º Ano / 3º Bimestre Plano de Trabalho Números Complexos Tarefa 3 Reelaboração do PT1 Cursista : Anderson Ribeiro da Silva
Leia maisZero de Funções ou Raízes de Equações
Zero de Funções ou Raízes de Equações Um número ξ é um zero de uma função f() ou raiz da equação se f(ξ). Graficamente os zeros pertencentes ao conjunto dos reais, IR, são representados pelas abscissas
Leia maisIntegração por frações parciais - Parte 1
Universidade de Brasília Departamento de Matemática Cálculo Integração por frações parciais - Parte Neste pequeno texto vamos desenvolver algumas ideias para integrar funções racionais, isto é, funções
Leia maisAlexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira. MAT146 - Cálculo I - Integração por Frações Parciais
MAT146 - Cálculo I - Integração por Frações Parciais Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira Iremos agora desenvolver um método para resolver integrais de funções racionais,
Leia maisEquações não lineares
DMPA IME UFRGS Cálculo Numérico Índice Raizes de polinômios 1 Raizes de polinômios 2 raizes de polinômios As equações não lineares constituídas por polinômios de grau n N com coeficientes complexos a n,a
Leia maisFUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL PROGRAMA DE MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL PROFMAT- CAMPUS DE TRÊS LAGOAS
FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL PROGRAMA DE MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL PROFMAT- CAMPUS DE TRÊS LAGOAS SOLUÇÃO POR RADICAIS DE CERTAS EQUAÇÕES POLINOMIAIS DE
Leia maisPrimeira prova de Álgebra II - 30/09/2010 Prof. - Juliana Coelho
Primeira prova de Álgebra II - 0/09/2010 Prof. - Juliana Coelho JUSTIFIQUE SUAS RESPOSTAS! Questões contendo só a resposta, sem desenvolvimento ou justificativa serão desconsideradas! QUESTÃO 1 (2,0 pts)
Leia maisComo é possível afirmar que a sala ficou com 5,5 m de comprimento após a ampliação?
EQUAÇÕES DO º GRAU CONTEÚDOS Equações do º grau Processo resolutivo de uma equação Discriminante de uma equação AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Iniciaremos agora o estudo das equações do º grau com uma incógnita.
Leia maisétodos uméricos INTERPOLAÇÃO, EXTRAPOLAÇÃO, APROXIMAÇÃO E AJUSTE DE FUNÇÕES Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno
étodos uméricos INTERPOLAÇÃO, EXTRAPOLAÇÃO, APROXIMAÇÃO E AJUSTE DE FUNÇÕES Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI PRÓ-REITORIA
Leia maisétodos uméricos DERIVAÇÃO NUMÉRICA Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
étodos uméricos DERIVAÇÃO NUMÉRICA Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI PRÓ-REITORIA DE PESQUISA CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA
Leia maisEQUAÇÕES ALGÉBRICAS E TRANSCENDENTES ALVARO A. F. SOUZA
EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E TRANSCENDENTES ALVARO A. F. SOUZA RAIZES Necessidade de determinar um número E tal que f( )=0 Equações Algébricas de 1º,2º,algumas de 3º,4º graus e algumas transcendentes podem ter
Leia maisFunções Reais a uma Variável Real
Funções Reais a uma Variável Real 1 Introdução As funções são utilizadas para descrever o mundo real em termos matemáticos, é o que se chama de modelagem matemática para as diversas situações. Podem, por
Leia maisNotas de Aula Disciplina Matemática Tópico 02 Licenciatura em Matemática Osasco -2010
Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 0 Licenciatura em Matemática Osasco -010 Equações Polinomiais do primeiro grau Significado do termo Equação : As equações do primeiro grau são aquelas que podem
Leia maisFunções Polinomiais com Coeficientes Complexos. Quantidade de Raízes e Consequências. 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda
Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos Quantidade de Raízes e Consequências 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos Quantidade de Raízes
Leia maisPrimeira Lista de Exercícios
Primeira Lista de Exercícios disciplina: Introdução à Teoria dos Números (ITN) curso: Licenciatura em Matemática professores: Marnei L. Mandler, Viviane M. Beuter Primeiro semestre de 2012 1. Determine
Leia maisMatemática E Extensivo V. 8
Matemática E Extensivo V. 8 Resolva Aula 9 9.) D x + x 7x 6 = x = é raiz. Aula.) x + px + = Se + i é raiz, então i também é. 5 7 6 Soma = b a = p p = + i + i p = p = Q(x) = x + 5x + Resolvendo Q(x) =,
Leia maisApostila adaptada e editada da intenert pelo Professor Luiz
Definição POLINÔMIOS Uma função polinomial ou simplesmente polinômio, é toda função definida pela relação P(=a n x n + a n-1.x n-1 + a n-.x n- +... + a x + a 1 x + a 0. Onde: a n, a n-1, a n-,..., a, a
Leia maisFascículo 12 Unidades 37, 38, 39 e 40. 2ª Edição
2ª Edição Fascículo 12 Unidades 37, 38, 39 e 40 GOVERNO DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO Governador Sergio Cabral Vice-Governador Luiz Fernando de Souza Pezão SECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA Secretário
Leia maisTRABALHO DE ÁLGEBRA I
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA TRABALHO DE ÁLGEBRA I PROFESSOR KOSTIANTYN IUSENKO TEMA: Critério de Irredutibilidade de Eisenstein CÓDIGO DA DISCIPLINA: MAT1201 LEONARDO
Leia maisO TORMENTO DE CARDANO. Jaime B. Ripoll, Cydara C. Ripoll, F. Porto da Silveira. Instituto de Matemática da UFRGS.
O TORMENTO DE CARDANO. Jaime B. Ripoll, Cydara C. Ripoll, F. Porto da Silveira. Instituto de Matemática da UFRGS. ).- O Problema de Cardano Nos cursos de Álgebra aprende-se várias maneiras de reduzir toda
Leia maisFunções quadráticas. Definição. Função quadrática é toda a função de R em R que pode ser. (ou seja, é toda a função r.v.r. polinomial de grau 2).
FUNÇÃO QUADRÁTICA Funções quadráticas Definição Função quadrática é toda a função de R em R que pode ser definida por uma expressão analítica da forma ax 2 + bx + c, com a, b, c R e a 0 (ou seja, é toda
Leia maisFácil e Poderoso. Dinâmica 1. 3ª Série 4º Bimestre. DISCIPLINA Série CAMPO CONCEITO. Matemática 3ª do Ensino Médio Algébrico-Simbólico
Fácil e Reforço escolar M ate mática Poderoso Dinâmica 1 3ª Série 4º Bimestre DISCIPLINA Série CAMPO CONCEITO Matemática 3ª do Ensino Médio Algébrico-Simbólico Polinômios e Equações Algébricas. Primeira
Leia maisPROFESSOR: ALEXSANDRO DE SOUSA
E.E. Dona Antônia Valadares MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO - 1º ANO Função Quadrática PROFESSOR: ALEXSANDRO DE SOUSA http://donaantoniavaladares.comunidades.net FUNÇÃO QUADRÁTICA Seja a, b e c números reais
Leia maisMétodo de Newton para polinômios
Método de Newton para polinômios Alan Costa de Souza 26 de Agosto de 2017 Alan Costa de Souza Método de Newton para polinômios 26 de Agosto de 2017 1 / 31 Seja f(x) uma função polinomial de grau n. A princípio.
Leia maisTEMA 2 PROPRIEDADES DE ORDEM NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
TEMA 2 PROPRIEDADES DE ORDEM NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS O conjunto dos números reais,, que possui as seguintes propriedades:, possui uma relação menor ou igual, denotada por O1: Propriedade Reflexiva:
Leia maisObjetivos. Expressar o vértice da parábola em termos do discriminante e dos
MÓDULO 1 - AULA 17 Aula 17 Parábola - aplicações Objetivos Expressar o vértice da parábola em termos do discriminante e dos coeficientes da equação quadrática Expressar as raízes das equações quadráticas
Leia maisIntegração Numérica. = F(b) F(a)
Integração Numérica Do ponto de vista analítico, existem diversas regras que podem ser utilizadas na prática. Contudo, embora tenhamos resultados básicos e importantes para as técnicas de integração analítica,
Leia mais4 ÁLGEBRA ELEMENTAR. 4.1 Monômios e polinômios: valor numérico e operações.
4 ÁLGEBRA ELEMENTAR 4.1 Monômios e polinômios: valor numérico e operações. 4.1.1 - Introdução: As expressões algébricas que equacionam os problemas conduzem logicamente à sua solução são denominados polinômios
Leia maisInterpolação polinomial: Diferenças divididas de Newton
Interpolação polinomial: Diferenças divididas de Newton Marina Andretta ICMC-USP 16 de maio de 2012 Baseado no livro Análise Numérica, de R. L. Burden e J. D. Faires. Marina Andretta (ICMC-USP) sme0500
Leia maisCálculo Numérico / Métodos Numéricos. Solução de equações polinomiais Briot-Ruffini-Horner
Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Solução de equações polinomiais Briot-Ruffini-Horner Equações Polinomiais p = x + + a ( x) ao + a1 n x n Com a i R, i = 0,1,, n e a n 0 para garantir que o polinômio
Leia mais( x)(x 2 ) n = 1 x 2 = x
Página 1 de 7 Instituto de Matemática - IM/UFRJ Gabarito prova final unificada - Escola Politécnica / Escola de Química - 10/12/2009 Questão 1: (.0 pontos) (a) (1.0 ponto) Seja a função f(x) = x, com x
Leia maisTAREFA 3. AVALIAÇÃO DA EXECUÇÃO DO PLANO DE TRABALHO 1 POLINÔMIOS e EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
TAREFA 3 AVALIAÇÃO DA EXECUÇÃO DO PLANO DE TRABALHO 1 POLINÔMIOS e EQUAÇÕES ALGÉBRICAS Cursista: Selma Figueiredo Pontes Matemática - 3ª série Ensino Médio Grupo: 5 Tutora: Andréa Silva de Lima Pontos
Leia maisInterpolação polinomial: Diferenças divididas de Newton
Interpolação polinomial: Diferenças divididas de Newton Marina Andretta ICMC-USP 9 de maio de 2013 Baseado no livro Análise Numérica, de R. L. Burden e J. D. Faires. Marina Andretta (ICMC-USP) sme0500
Leia maisSabendo que f(x) é um polinômio de grau 2, utilize a formula do trapézio e calcule exatamente
MÉTODOS NUMÉRICOS E COMPUTACIONAIS II EXERCICIOS EXTRAIDOS DE PROVAS ANTERIORES EXERCICIOS RESOLVIDOS - INTEGRACAO-NUMERICA - EDO. Considere a seguinte tabela de valores de uma função f x i..5.7..5 f(x
Leia maisMétodos Numéricos - Notas de Aula
Métodos Numéricos - Notas de Aula Prof a Olga Regina Bellon Junho 2007 Introdução A interpolação é outra técnicas bem conhecida e básica do cálculo numérico. Muitas funções são conhecidas apenas em um
Leia maisNúmeros Complexos. Rafael Aguilar, Gabriella Martos - PIBID Matemática
Números Complexos Rafael Aguilar, Gabriella Martos - PIBID Matemática 7 de outubro de 2015 0.1 Números Complexos Durante anos, muitos matemáticos foram movidos por problemas que eram aparentemente insolúveis,
Leia mais