Aula 12. Transformada de Laplace II

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1 Aula 12 Transformada de Laplace II Matérias que serão discutidas Nilsson Circuitos Elétricos Capítulos 12, 13 e 14 LAPLACE Capítulo 8 Circuitos de Segunda ordem no domínio do tempo

2 Revisão A transformada de Laplace é uma ferramenta que auxilia a análise e interpretação de circuitos elétricos Definida por: L f t = F s = 0 f t e st dt onde s = σ + jω Algumas propriedades: F k f t = k F(f(t) F f 1 t + f 2 t + f 3 t = F f 1 t + F f 2 t + F(f 3 (t) F d dt f t = sf s f 0 F 0 tf t = F s s

3 Revisão - Elementos de circuito (Tempo, Laplace, fasor) Resistor Indutor Capacitor v = R i i = v R V(s) = R I(s) I(s) = V(s) R v(t) = L di dt i(t) = 1 L 0 tv τ dτ + i 0 V s = s L I s L I 0 I s = V s L s + I 0 s v(t) = 1 C 0 ti τ dτ + v 0 i t = C dv dt V s = I s C s + V 0 s I s = s C V s C V 0 V s I s = Z R s = R V s I s = Z L s = sl V s I s = Z C s = 1 sc V s I s = Z R jω = R V jω I jω = Z L jω = jωl V jω I jω = Z C jω = 1 jωc

4 Revisão - Elementos de circuito Laplace Resistor Indutor Capacitor OU OU

5 Tabela de Laplace Pares de transformada tempo minúsculo frequencia maiúsculo

6 Revisão - Função Transferência Função transferência H(s) é a razão entre a resposta de saída Y(s) e a excitação de entrada X(s), suponde que as condições iniciais sejam iguais a zero Entrada X(s) H(s) Sistema Linear Saída Y(s)

7 Função Transferência Obtendo a função transferência é possível modelar a saída do sistema em relação a excitação de entrada H s = Ganho de tensão = V o(s) V i (s) V o = H s V i H s = Ganho de corrente = V o(s) V i (s) I o = H s I i Domínio do tempo (convolução) Domínio da frequência (multiplicação) y t = y t = h t x(t) 0 t x λ h t λ dλ Y s = H s X(s)

8 Exemplo Exemplo: Calcule a função transferência do circuito abaixo. Resposta: H s = 104 s

9 Exemplo Exemplo: Calcule a função transferência do circuito abaixo. V o (s) = H s V i (s) H s = s V o s = 10 6 s 10 6 V i (s) s H s = 104 s

10 Função Transferência Parâmetros de uma função transferência: m = grau donumerador n = grau dodenominador a i e b i corficientes Forma Polinomial H s = k sm + a m 1 s m a 1 s + a 0 s n + b n 1 s n b 1 s + b 0 Sistemas realizáveis m n z i raízes do numerador Zeros da F.T. p i raízes do denominador Forma Fatorada s z 1 s z 2 (s z m ) H s = k s p 1 s p 1 (s p m) Polos da F.T

11 Função Transferência O exemplo resolvido anteriormente possui: H s = 104 s Nenhum zero Um 1 Polo em 10 4 (p 1 = 10 4 )

12 Exemplo: Encontre os zeros e polos dos circuitos Exemplo

13 Exemplo Exemplo: Encontre os zeros e polos dos circuitos H s = 1 sc R + 1 sc = 1 src + 1 = sem zeros p 1 = 1 RC 1 RC s + 1 RC H s = sl R + sl = z 1 = 0 p 1 = R L s s + R L

14 Exemplo Exemplo: Calcule Vo(s) caso a entrada seja um degrau unitário. Encontre vo(t) através da Transformada Inversa de Laplace H s = 1 RC s + 1 RC V o s = H s V i (s)

15 Exemplo Exemplo: Calcule Vo(s) caso a entrada seja um degrau unitário. Encontre vo(t) através da Transformada Inversa de Laplace u t = 1 F u t = 1 s = V i(s) H s = 1 RC s + 1 RC V o s = 1 RC s s + 1 RC V o s = H s V i (s)

16 Exemplo Exemplo: Calcule Vo(s) caso a entrada seja um degrau unitário. Encontre vo(t) através da Transformada Inversa de Laplace V o s = 1 RC s s + 1 RC = 1 s 1 s + 1 RC expansão em frações parciais L 1 1 s 1 s + 1 RC = v o t = 1 e t RC v c t = v s 1 e t τ se v s = 1 v c t = 1 e t RC confere

17 Expansão em frações parciais Objetivo: Facilitar a obtenção da transformada inversa de Laplace (no contexto de circuitos) As frações podem se encontrar nas seguintes configurações: 1. Raízes reais distintas 2. Raízes complexas conjugadas 3. Raízes reais repetidas 4. Raízes complexas repetidas 5. Raízes racionais impróprias * Entendemos por raízes ou polos, as raízes do denominador da fração:

18 Reais distintas As expansões em frações parciais seguem algoritmos. Cada configuração citada no slide anterior, possui algumas particularidades. Para reais distintas temos: N s D s = K 1 s α 1 + K 1 s α F s = 10 s s + 2 = 5 s + 5 s + 2 K n s α n Os algoritmos serão discutidos através de exemplos, após cada exemplo veremos as aplicações no contexto de circuitos. Abaixo temos uma função racional já decomposta em funções parciais. O algoritmo visa calcular as constantes K (vide equação acima) Passo 1 Explicitar as frações parciais 10 s(s + 2) = k 1 s 0 + k 2 s ( 2) Note que os polos (raiz do denominador) foram propositalmente destacados. Esta procedimento facilita os cálculos.

19 Reais distintas Passo 2 Multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador das frações parciais (um a um) e igualar a variável s ao valor do polo. Assim obteremos os valores das constantes K. O grau do polinómio do denominador define o número de contates K, consequentemente o número de equações parciais 10 s(s + 2) s 0 s = 0 = k 1 s 0 s 0 + k 2 s 2 s 0 10 (s + 2) s = 0 = k 1 + k 2 s ( 2) s Substituindo pelo valor da raiz: s = 0 = k 1 + k 2 s k 1 = 5

20 Reais distintas Repetindo o Passo 2 para encontrar a segunda constante K 10 s s + 2 (s 2 ) s = 2 = k 1 s (s 2 ) + k 2 (s 2 ) (s 2 ) 10 s s = 2 = k 1 s (s 2 ) + k 2 Substituindo pelo valor da raiz: 10 2 s = 2 = k 1 s k 2 k 2 = 5 Sempre que multiplicamos os termos pela relação (s-polo) eliminamos as constantes k das frações parciais que não possuem a relação (s-polo) no denominador, portanto encontraremos as constantes uma a uma.

21 Reais distintas Resolvendo de um forma mais automática: F s = 10 s(s + 2) = N s D s Polos: p 1 = 0 p 2 = 2 k n = N p n D p n (den k n ) k 1 = N p 1 D p 1 den k 1 = = 5 k 2 = N p 2 D p 2 den k 2 = 10 2 = 5 F s = 10 s s + 2 = 5 s + 5 s + 2

22 Reais distintas Exemplo 2: F s = 18s2 + 66s + 54 (s + 1)(s + 2)(s + 3) = N s D s Polos: p 1 = 1 p 2 = 2 p 3 = 3 k n = N p n D p n (den k n ) k 1 = N p 1 den k D p 1 = ( 1 + 2)( 1 + 3) k 2 = N p 2 den k D p 2 = ( 2 + 1)( 2 + 3) = 3 = 6 k 3 = N p 3 den k D p 3 = = 9 F s = 18s2 + 66s + 54 (s + 1)(s + 2)(s + 3) = 3 s s s + 3

23 Reais distintas Exemplo 3: F s = 6s 2 + 8s + 54 (2s + 1)(4s 2)(s + 3) = N s D s Polos: p 1 = 0, 5 p 2 = +0, 5 p 3 = 3 k n = N p n D p n (den k n ) k 1 = N p 1 den k D p 1 = 6 0, , ,5 2 0,5 + 3 k 2 = N p 2 den k D p 2 = 6 0, , , ,5 + 3 = 8, 5 = 5, 15 k 3 = N p 3 D p 3 den k 3 = = 1, 2 F s = 6s 2 + 8s + 54 (2s + 1)(4s 2)(s + 3) 5, 15 = 2s , 5 1, 2 + 4s 2 s + 3 2, 575 = s + 0, 5 + 2,125 1, 2 + s 0, 5 s + 3

24 Exercício Exercício: De acordo com o circuito abaixo encontre (condições iniciais iguais a zero; R = 200Ω e C = 0, 2mF): a) O circuito no domínio de Laplace b) A função transferência c) Encontre Vo(s) considerando uma entrada degrau d) Encontre vo(t) através da transformada inversa de Laplace

25 Exercício Exercício: De acordo com o circuito abaixo encontre (condições iniciais iguais a zero): a) O circuito no domínio de Laplace b) A função transferência H s = V 0 V i = 5000 s s = s = 25 s + 25

26 Exercício Exercício: De acordo com o circuito abaixo encontre (condições iniciais iguais a zero): c) Encontre Vo(s) considerando uma entrada degrau Au t = A (t > 0) V i = A s H s = V 0 V i = 25 s + 25 V o = A 25 s(s + 25)

27 Exercício Exercício: De acordo com o circuito abaixo encontre (condições iniciais iguais a zero): d) Encontre vo(t) através da transformada inversa de Laplace V o = A 25 s(s + 25) = K 1 s + K 2 s + 25 K 1 = K 2 = A 25 (0 + 25) = A A = A V o = A 25 s(s + 25) = A s A s + 25

28 Exercício Exercício: De acordo com o circuito abaixo encontre (condições iniciais iguais a zero): d) Encontre vo(t) através da transformada inversa de Laplace V o = A 25 s(s + 25) = A s A s + 25 L 1 [V o ] = v o t = A A e 25 t v o t = A 1 e 25 t V Conferindo τ = RC = 0,04 1 τ = 25

29 Circuitos de Segunda ordem RLC Circuitos de segunda ordem são caracterizados por EDO s de segunda ordem. São compostos por Resistores, capacitores e indutores Neste exemplo iremos caracterizar a resposta natural de um circuito RLC paralelo. Para que a resposta seja diferente de zero é necessário considerar condições iniciais, tais condições são a tensão inicial do capacitor e/ou a corrente inicial do indutor. Neste caso não é possível calcular a função transferência, pois estamos considerando as condições iniciais Iremos utilizar o recurso da Transformada de Laplace para facilitar a obtenção dos dados d 2 v 1 + dt2 RC dv dt + v LC = 0

30 Circuitos de Segunda ordem RLC Obtendo a relação em no domínio de Laplace V s = Z eq s I(s) I s = C V 0 I 0 s Z eq s = R sl 1 sc

31 Circuitos de Segunda ordem RLC Z eq s = R Z eq s = R sl 1 sc sl sc sl + 1 sc = sl s 2 LC + 1 V s = Z eq s I(s) I s = C V 0 I 0 s Z eq s = R sl 1 sc Z eq s = sl s 2 LC + 1 R = srl s 2 LC + 1 = sl s 2 LC R srl RLCs 2 + sl + R Z eq s = sl s 2 LC + 1 R = srl s 2 LC + 1 = sl s 2 LC R s 1 C s 2 + s 1 RC + 1 LC

32 Circuitos de Segunda ordem RLC Z eq s = V s = s 1 C s 2 + s 1 RC + 1 LC s 1 C s 2 + s 1 RC + 1 LC C V 0 I 0 s V s = Z eq s I(s) I s = C V 0 I 0 s Z eq s = R sl Quais são os polos deste sistema? 1 sc V s = s V 0 I 0 C s 2 + s 1 RC + 1 LC

33 Circuitos de Segunda ordem RLC Quais são os polos deste sistema? Como o denominar resultou em uma equação do segundo grau, precisamos utilizar bhaskara para encontrar os polos p 1,2 = b ± b2 4ac 2a = b 2 ± b 2 a 2 ac V s = s V 0 I 0 C s 2 + s 1 RC + 1 LC a = 1 b = 1 RC c = 1 LC p 1 = 1 2RC + 1 2RC 2 1 LC p 2 = 1 2RC 1 2RC 2 1 LC

34 Circuitos de Segunda ordem RLC p 1 = 1 2RC + 1 2RC 2 1 LC p 2 = 1 2RC 1 2RC 2 1 LC α = 1 2RC e ω 0 = 1 LC α Frequencia de Neper rad/seg ω 0 Frequencia angular de ressonância rad/seg p 1 = α + α 2 ω 0 2 p 2 = α α 2 ω 0 2

35 Circuitos de Segunda ordem RLC α = 1 2RC e ω 0 = 1 LC α Frequencia de Neper rad/seg ω 0 Frequencia angular de ressonância rad/seg p 1 = α + α 2 ω 0 2 p 2 = α α 2 ω 0 2 α 2 > ω 0 2 α 2 < ω 0 2 α 2 = ω 0 2 Raízes reais distintas (Resposta superamortecida) Raízes complexas conjugadas (Resposta subamortecida) Raízes reais e iguais (Resposta criticamente amortecida)

36 Circuitos de Segunda ordem RLC Exemplo: Calcule a reposta natural, no domínio do tempo, do circuito abaixo: R = 200Ω L = 50mH C = 0,2μF Resposta: v t = 14e 5000t + 26e 20000t V v c 0 = 12V = V 0 i L 0 = 30mA = I 0

37 Circuitos de Segunda ordem RLC Exemplo: Calcule a reposta natural, no domínio do tempo, do circuito abaixo: V s = s V 0 I 0 C s 2 + s 1 RC + 1 LC R = 200Ω L = 50mH C = 0,2μF V s = 12 s (s p 1 )(s p 2 ) v c 0 = 12V = V 0 i L 0 = 30mA = I 0 p 1,2 = α ± α 2 ω 0 2 α = 1 2RC = e ω 0 = 1 LC = ** Resposta superamortecida (α 2 > ω 0 2 )

38 Circuitos de Segunda ordem RLC Exemplo: Calcule a reposta natural, no domínio do tempo, do circuito abaixo: V s = 12 s (s p 1 )(s p 2 ) α = 1 2RC = e ω 0 = 1 LC = p 1 = p 2 = = = = = 20000

39 Circuitos de Segunda ordem RLC Exemplo: Calcule a reposta natural, no domínio do tempo, do circuito abaixo: V s = 12 s (s )(s ) Expansão em frações parciais: V s = 12 s (s )(s ) = K 1 (s ) + K 2 (s )

40 Circuitos de Segunda ordem RLC Exemplo: Calcule a reposta natural, no domínio do tempo, do circuito abaixo: V s = 12 s (s )(s ) Expansão em frações parciais: K 1 = K 2 = 12 ( 5000) (( 5000) ) 12 ( 20000) (( 20000) ) = = 14 = = 26 V s = 14 s s

41 Circuitos de Segunda ordem RLC Exemplo: Calcule a reposta natural, no domínio do tempo, do circuito abaixo: V s = 12 s (s )(s ) V s = 14 s s L 1 V s = v t = 14 e 5000 t + 26 e t V

42 Circuitos de Segunda ordem RLC O gráfico da tensão pode ser visualizado na figura abaixo, note que a tensão inicial é igual a tensão do capacitor, que a tensão estabiliza em zero (uma vez que a resposta é natural) e também que não há um sobre sinal, ou seja a tensão não atravessa o eixo x antes de estabilizar. Esta resposta é conhecida por superamortecida O capacitor e o indutor realizam trocas de energia, ou seja, o campo elétrico do capacitor é convertido em campo magnético no indutor, e vice-versa. Quanto maior o valor de R por mais tempo essas inversões ocorrem. O resistor rouba energia do sistema. v t = 14 e 5000 t + 26 e t V