Aula 14. Transformada de Laplace IV

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1 Aula 14 Transformada de Laplace IV Matérias que serão discutidas Nilsson Circuitos Elétricos Capítulos 1, 13 e 14 LAPLACE Capítulo 8 Circuitos de Segunda ordem no domínio do tempo

2 Circuitos de Segunda ordem RLC Paralelo α = 1 RC e ω 0 = 1 LC α Frequencia de Neper rad/seg ω 0 Frequencia angular de ressonância rad/seg p 1 = α + α ω 0 p = α α ω 0 α > ω 0 α < ω 0 α = ω 0 Raízes reais distintas (Resposta superamortecida) Raízes complexas conjugadas (Resposta subamortecida) Raízes reais e iguais (Resposta criticamente amortecida)

3 Circuitos de Segunda ordem RLC Considerando mesmo circuito RLC R = XΩ L = 50mH C = 0,μF V s = V 0 s I 0 C s + s RC + 1 LC v c 0 = 1V = V 0 i L 0 = 30mA = I 0 s 1, = 1 RC ± 1 RC 1 LC Uma vez que os parâmetro RLC são reais e maiores que zero, o valor dos polos será sempre negativo

4 Circuitos de Segunda ordem RLC A velocidade de resposta possui um valor crítico, ou seja, estaciona mais rápido quando obtemos uma resposta criticamente amortecida. A relação é encontrada quando os polos do sistema são reais e iguais: s 1, = 1 RC ± 1 RC α = ω 0 1 LC 1 R 0, 10 6 = , 10 6 R = ±50Ω *R só pode ser positivo

5 Circuitos de Segunda ordem RLC Se aumentar o valor de R acima do valor crítico, termos um sistema subamortecido, uma vez que a frequência de Neper será menor que a frequência angular, com isso serão necessários novos ciclos para estabilizar o sistema α < ω 0

6 Tabela de respostas Número do par Natureza das raízes F(t) f t 1 Reais e distintas Reais e repetidas 3 Complexas e distintas K s + α K s + α K s + α jβ + K s + α + jβ Ke αt u(t) Kt e αt u(t) K e αt cos(βt + θ) u(t) 4 Complexas e repetidas K s + α jβ + K s + α + jβ t K e αt cos(βt + θ) u(t) Nos pares 1 e K é uma quantidade real, ao passo que nos pares 3 e 4, K é a quantidade complexa K θ

7 Considere um sistema com a seguinte função transferência H(s)... Sabemos que: L x t X s = = X(s) A (s cos φ ω sen φ) s + ω H s = Y s X s... e uma entrada senoidal. No domínio do tempo temos: x t = A cos(ωt + φ) Portanto: Y s = H s A (s cos φ ω sen φ) s + ω

8 Esta resposta possui dois polos complexos conjugados relacionados a entrada senoidal e mais N polos referentes a função transferência Y s = H s A (s cos φ ω sen φ) s + ω Expandindo em frações parciais temos: Y S = K 1 s jω + K 1 s + jω + dos termos gerados por H(s ) Para K 1 temos: K 1 = H s A s cos φ ω sen φ s + jω s = jω K 1 = H jω A jω cos φ ω sen φ jω

9 Evidenciando ω multiplicando numerador e denominador por j (1/j) K 1 = H jω Temos: K 1 = H jω A jω cos φ ω sen φ jω A cos φ + j sen φ Pela identidade de Euler: K 1 = A H jω ejφ H jω é função no domínio de Laplace que pode ser expressa na sua forma exponencial: ) H jω = H jω e j θ(ω Onde: θ(ω) = atg I(H(jω) R H jω Clareando x + jy = M e jφ onde M = x + jy e φ = atg y x = atg I(x + yj) R x + yj

10 Temos: K 1 = A H jω ejφ j θ(ω) H jω = H jω e Onde: θ(ω) = atg I(H(jω) R H jω Portanto: K 1 = A H jω e j(θ ω +φ) K 1 = H s A s cos φ ω sen φ s + jω s = jω Sabemos que: K s + α jβ + K s + α + jβ K e αt cos(βt + φ) Assim: y rp (t) = A H(jω) cos(ωt + φ + θ(ω))

11 Exercício: Considere uma fonte senoidal x t aplicada em um sistema com a seguinte função transferência H(s) abaixo, determine a resposta no domínio do tempo. y rp (t) = A H(jω) cos(ωt + φ + θ(ω)) x t = 10 cos 5000t + 30 o V H s = 1000(s ) s s Resposta: v rp (t) = 0 cos(5000t 15 o )V

12 Exercício: Considere uma fonte senoidal x t aplicada em um sistema com a seguinte função transferência H(s) abaixo, determine a resposta no domínio do tempo. x t = 10 cos 5000t + 30 o ω = 5000 φ = 30 o A = 10 V H s = 1000(s ) s s H jω = 1000(5000j ) (5000j) (5000j) = 1 6 j 6 = 6 45o y rp (t) = A H(jω) cos(ωt + φ + θ(ω)) y rp t = 10 6 cos 5000t + 30o 45 o = 0 cos 5000t 15 o

13 Exercício: O amplificador operacional (filtro ativo de segunda ordem passa baixas) é ideal e está operando na região linear. Calcule a saída de regime permanente y(t) V. x t = cos 8000t mv Resposta: y t = 4 cos 8000t 161,57 V

14 Exercício: O amplificador operacional (filtro ativo de segunda ordem passa baixas) é ideal e está operando na região linear. Calcule a saída de regime permanente y(t) V. Z f = C f R f C f s = Z s = C s + R s s = s R f s = Y s = Z f Z s X(s) Y s X s = H s = Z f Z s 1 C s s = s R s s = = 0, 109 s

15 Exercício: O amplificador operacional (filtro ativo de segunda ordem passa baixas) é ideal e está operando na região linear. Calcule a saída de regime permanente y(t) V. H s = Z f Z s = Z f 1 Z s Zf = Z f = s = s s s s s = s H s = s s s Z s = 0, s s 1 Z s = s 0, s = s s

16 Exercício: O amplificador operacional (filtro ativo de segunda ordem passa baixas) é ideal e está operando na região linear. Calcule a saída de regime permanente y(t) V. H s = Z f Z s = Z f 1 Z s H s = H s = s s s s s (s ) H j8000 = (j8000) j (j ) x t = cos 8000t mv A = ω = 8000 φ = 0 0 H j8000 = , 57 o

17 Exercício: O amplificador operacional (filtro ativo de segunda ordem passa baixas) é ideal e está operando na região linear. Calcule a saída de regime permanente y(t) V. A = ω = 8000 φ = 0 0 H j8000 = ,57 o y rp (t) = A H(jω) cos(ωt + φ + θ(ω)) y t = cos 8000t , y t = 4 cos 8000t 161, 57 V