Circuitos Elétricos II

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1 Universidade Federal do ABC Eng. de Instrumentação, Automação e Robótica Circuitos Elétricos II José Azcue, Prof. Dr. Filtros Passivos

2 Introdução A variação de frequência de uma fonte senoidal altera a impedância de capacitores e indutores; Realizando a conexão de resistores, indutores e capacitores é possível construir circuitos cuja saída apresenta componentes dos sinais de entrada para uma determinada faixa de frequência. Tais circuitos são conhecidos como circuitos de seleção de frequência ou filtros.

3 Aplicações de Filtros Elétricos Sistemas de áudio (equalizador, cross-over) Sistemas de comunicação: rádio, TV, satélites Sistemas biomédicos Sistemas de distribuição de energia (filtro de harmônicas) 3

4 Objetivos Conhecer as configurações de elementos RLC que funcionam como filtros passivos Entender as características dos filtros: frequência de corte, largura de faixa e fator de qualidade Estudar circuitos com amplificadores operacionais que funcionam como filtros ativos 4

5 Função de Transferência e Resposta em Frequência Função de transferência H( s) V V o i ( s) ( s) Resposta em frequência H( j) M( ) ( ) sjω M(ω) - Curva de Módulo (Magnitude ou Amplitude) (ω) - Curva de Defasagem 5

6 Resposta em Frequência Circuito em Regime Permanente Senoidal Me( ) e( ) Ms( ) s( ) M( ) ( ) Para cada : v i (t) v o (t) e s = + e Entrada Saída 6

7 Resposta em Frequência M ω θ ω é a resposta em frequência A saída senoidal em regime permanente é: M s ω θ s ω = M e ω M ω θ e ω + θ ω M ω = M s(ω) M e (ω) ω = θ s ω θ e ω M(ω) - Curva de Módulo θ(ω) - Curva de Defasagem 7

8 Resposta em Frequência M(ω) db (ω) graus 8

9 Resposta em Frequência fc = 00Hz f =38 Hz 9

10 Filtros Ideais Passa-Baixas Passa-Altas Banda de passagem Banda de rejeição Banda de rejeição Banda de passagem ω c - frequência de corte superior ω c - frequência de corte inferior Símbolos 0

11 Filtros Ideais Passa-Faixa Rejeita-Faixa Banda de rejeição Banda de passagem Banda de rejeição Banda de passagem Banda de rejeição Banda de passagem Símbolos ω c - frequência de corte inferior ω c - frequência de corte superior

12 Filtro Passa-Baixas Circuito RL em Série H s = R R + Ls H s = R L R L + s H jω = R L R L + jω Para avaliar a resposta em frequência s = jω H( j) Módulo R / L R / L L ( j) arctg R Fase

13 Filtro Passa-Baixas Circuito RL em Série Para ω = 0 as tensões de entrada e saída são iguais em módulo e fase. ω = 0; H ω = ; = 0 Para ω a amplitude da tensão de saída é zero e seu ângulo de fase com relação à entrada é ω ; H ω = 0; θ ω =

14 Filtro Passa-Baixas Circuito RL em Série Filtro Ideal c R L H max H max. (0, 707. H max ) ω c = frequência de corte superior ou frequência de meia potência H( c ) Hmax P( ) c P max 4

15 Filtro Passa-Baixas Relação entre frequências de corte e constantes de tempo c Tempo X Frequência Forma geral das funções de transferência dos Filtros Passa-Baixas H ( s) c s c 5

16 Filtro Passa-Altas Circuito RC em Série H s = R R + sc = RCs RCs + H s = s RC + s H jω = jω RC + j Para avaliar a resposta em frequência s = jω H ( j) / RC ( j) 90 arctg RC 6

17 Filtro Passa-Altas Circuito RC em Série Para ω = 0 o circuito está aberto e não há tensão no resistor. Neste caso a defasagem é ω = 0; H ω = 0; θ ω = 90 0 Para ω, o capacitor é um curto e a tensão está toda no resistor. Neste caso a defasagem é nula. ω ; H ω = ; θ ω = 0 0 7

18 Filtro Passa-Altas Circuito RC em Série H max Filtro Ideal: ω c = frequência de corte inferior ou frequência de meia potência c RC H( c ) H P( c ) Pmax max 8

19 Filtro Passa-Altas Relação entre frequências de corte e constantes de tempo Tempo X Frequência c Os circuitos RC e RL possuem a mesma frequência de corte, independente do tipo de filtro (PB ou PA). 9

20 Filtro Passa-Altas A única diferença entre as funções de transferência são os termos que especificam a frequência de corte. Forma geral das funções de transferência dos Filtros Passa-Altas H ( s) s s c 0

21 Filtro Passa-Faixa Circuito RLC em Série H s = R R + sc + sl x s L x s L H ( s) s ( R / L) s ( R / L) s (/ LC) s = jω H ( j) [(/ ( R / L) LC) ] [ ( R / L)] ( j) 90 ( R/ L) (/ LC) arctg

22 Filtro Passa-Faixa Circuito RLC em Série 0 < ω < ω = 0 ω

23 Filtro Passa-Faixa H max Circuito RLC em Série Filtro Ideal Na frequência central ou de ressonância, ω 0 : X L = X C e a tensão de saída é máxima. j j C 0L LC H( c ) Hmax ω c - frequência de corte inferior ω c - frequência de corte superior [(/ LC) ( R / L) c ] c [ ( R / L)] c 3

24 4 Filtro Passa-Faixa Frequências de corte c e c Para H( c ) = 0,707. H max max 0 ( ) H H )] / ( [ ] ) [(/ ) / ( L R LC L R c c c LC L R L R c LC L R L R c 0 c c Circuito RLC em Série Cálculo dos Parâmetros Largura de faixa (): diferença entre as frequências de corte c c L R freq. de ressonância

25 Filtro Passa-Faixa Circuito RLC em Série Cálculo dos Parâmetros Fator de qualidade (Q): razão entre a frequência central e a largura de faixa. Q 0 Q L CR Somente dois dos parâmetros podem ser independentemente especificados em um projeto. Dessa forma, conhecidos dois parâmetros os outros podem ser calculados. 5

26 Filtro Passa-Faixa Q = π pico de energia armazenada no circuito energia dissipada pelo circuito em um periodo Q 3 > Q > Q 6

27 7 Filtro Passa-Faixa Circuito RLC em Série Cálculo dos Parâmetros Cálculo das frequências de corte em termos de e ω 0 0 c 0 c Cálculo das frequências de corte em termos de Q e ω 0 0 Q Q c 0 Q Q c

28 Filtro Passa-Faixa Forma geral das funções de transferência dos Filtros Passa-Faixa H() s s s s 0 H ( s) s ( R / L) s ( R / L) s (/ LC) 0 / LC R / L 8

29 9 Filtro Rejeita-Faixa (ou notch) Circuito RLC em Série ) ( L R LC LC j H ( ) R L j arctg LC LC s L R s LC s sc sl R sc sl s H ) (

30 Filtro Rejeita-Faixa Circuito RLC em Série ω = 0 A tensão de saída é definida no par Indutor-Capacitor 0 < ω < ω São caracterizados pelos mesmos parâmetros dos filtros PF 30

31 Filtro Rejeita-Faixa Circuito RLC em Série Filtro Ideal 0 LC H H( ) 0 min 0 H max H( j0) H( j) H( c ) Hmax ω c - frequência de corte inferior ω c - frequência de corte superior 3

32 3 Filtro Rejeita-Faixa LC L R L R c LC L R L R c Circuito RLC em Série Cálculo dos Parâmetros Frequências de corte ω c e ω c Para H(s) = 0,707 H max Largura de faixa (): diferença entre as frequências de corte c c L R

33 Filtro Rejeita-Faixa Circuito RLC em Série Cálculo dos Parâmetros Fator de qualidade (Q): razão entre a frequência central e a largura de faixa Q 0 Q L CR Somente dois dos parâmetros podem ser independentemente especificados em um projeto. Dessa forma, conhecidos dois parâmetros os outros podem ser calculados. 33

34 34 Filtro Rejeita-Faixa Circuito RLC em Série Cálculo dos Parâmetros Cálculo das frequências de corte em termos de e ω 0 Cálculo das frequências de corte em termos de Q e ω 0 0 c 0 c 0 Q Q c 0 Q Q c

35 Filtro Rejeita-Faixa Forma geral das funções de transferência dos Filtros Rejeita-Faixa s 0 H() s s s 0 35

36 Efeito da carga Filtro com Carga Adicionar uma carga à saída de um filtro passivo altera as suas propriedades de filtragem. Exemplo: Filtro passa-altas H ( s) s K. s K( R / L) K RL R R L 36

37 Efeito da carga Resposta do Filtro com Carga sem carga Hmax 0.5 com carga Hmax frequência 37

38 Efeito da Resistência do Gerador Gerador com Resistência Interna Substituir uma fonte ideal por uma fonte com resistência interna não nula altera as propriedades de filtragem do filtro passivo. Exemplo: Filtro passa-faixa H() s s K s s 0 K R R Ri 38

39 Efeito da Resistência do Gerador Gerador com Resistência Interna 39

40 Referências. NILSSON, J.W.; RIEDEL, S. A.; Circuitos Elétricos, 8th Ed., Pearson, ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de Circuitos Elétricos, 5ª edição, Ed. Mc Graw Hill, Slides da prof. Denise, acesso em fevereiro de ORSINI, L.Q.; CONSONNI, D. Curso de Circuitos Elétricos, Vol. ( ª Ed. 00 ), Ed. Blücher, São Paulo. 5. CONSONNI, D. Transparências de Circuitos Elétricos I, EPUSP. 40