Circuitos Elétricos II

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1 Universidade Federal do ABC Eng. de Instrumentação, Automação e Robótica Circuitos Elétricos II José Azcue, Prof. Dr. Transformada inversa de Laplace Definição Funções racionais Expansão em frações parciais Teorema do valor inicial e final 1

2 Transformada inversa de Laplace Anti-transformada f t = L 1 [F(s)] Unicidade f t F(s) 1º Método: Tabelas Linearidade Teoremas e Propriedades 2

3 Exemplo Obter a transformada inversa de Laplace de: Tem-se que: 1 F s = (s + 3) 2 L t = 1 s2 (Derivada da transformada) L e at f(t) = F s + a (Translação na frequência) Portanto: L 1 F s = te 3t, t 0 3

4 2º Método: Fórmula de Inversão A transformada inversa de Laplace é dada por: L 1 F s = 1 2πj Para t > 0 L 1 F s = 1 2πj σ+j F s e st ds σ j σ+j F s e st ds σ j = f t Integral sobre a reta s= H t = = f t H t 0 t < 0 1 t 0 4

5 3º Método: Anti-transformação de Funções Racionais (Razão entre dois polinômios em s) F s = N(s) D(s) = b 0s m + b 1 s m b m 1 + b m a 0 s n + a 1 s n a n 1 + a n a i, b i ε R a 0, b 0 0 Forma Fatorada: F s = K. m i=1 n k=1 (s z i ) (s p k ) K=fator de escala (ganho) = b 0 a 0 z i zeros (i = 1,2,, m) p k pólos (k = 1,2,, n) Simples ou múltiplos, reais ou complexos 5

6 Funções racionais Exemplo Aplicando a lei de Kirchhoff de correntes (LKC): v(t) R + 1 L 0 t v t dt + C. dv(t) dt = I dc. H(t) equação íntegro-diferencial em t 6

7 v(t) R + 1 L 0 t v t dt + C. dv(t) dt = I dc. H(t) Aplicando Laplace: v(t) R + 1 L V(s) s + C. [s. V s v(0 )] = I dc. 1 s Observações: V(s) = variável de interesse R, L, C e Idc = conhecidos v(0-) = 0 (tensão inicial no capacitor) O problema se reduz a uma equação algébrica em s 7

8 v(t) R + 1 L V(s) s + s. C. V s = I dc. 1 s Isolando-se V(s): V s. 1 R + 1 sl + sc = I dc s (x s C ) Função racional V s = I dc /C s RC s + 1 LC v(t) é a transformada inversa de V(s) 8

9 Diagrama de pólos e zeros de Funções Racionais F s = 10(s2 + 3s + 2) s 4 + 2s 3 + 2s 2 (s + 1)(s + 2) F s = 10 s 2 (s + 1 j1)(s j1) Forma Fatorada: F s = K. m i=1 n k=1 (s z i ) (s p k ) Um pólo duplo na origem: p 1,2 = 0 Dois pólos complexos conjugados: p 3,4 = 1 ± j1 Dois zeros simples: z 1 = 1; z 2 = 2 Fator de escala; K=10 9

10 Expansão em frações parciais F s = N(s) D(s) = b 0s m + b 1 s m b m 1 + b m a 0 s n + a 1 s n a n 1 + a n Função racional própria: m n Hipóteses: 1. Estritamente própria m< n 2. a 0 = 1 polinômio D s é mônico 10

11 Determinar as raízes de D(s) e escrever o polinômio do denominador na forma fatorada. F s = N(s) s p 1 s p 2 (s p n ) Determinar as constantes A i (denominadas Resíduos) F s = A 1 s p 1 + A 2 s p Anti-transformar cada parcela (usando a linearidade) A n s p n f t = A 1 e p 1t + A 2 e p 2t + + A n e p nt 11

12 Seja: F s = a + bs s p 1 s p 2 p 1 p 2 Frações parciais: F s = (a + bs) (s p 1 ) A 1 = + A 2 (s p 1 ) s p 1 s p 2 s p 1 s p 2 Para determinar os Resíduos A1 e A2, utilize o Método dos Resíduos. Multiplicando ambos os lados por s p 1 a + bs s p 2 = A 1 + s p 1 A 2 s p 2 12

13 a + bs s p 2 = A 1 + s p 1 A 2 s p 2 Fazendo s = p 1 a + b. p 1 p 1 p 2 = A 1 + p 1 p 1 A 2 p 1 p 2 0 A 1 = a+bp 1 p 1 p 2 = F(s) s p 1 s=p1 e A 2 = a+bp 2 p 2 p 1 = F(s) s p 2 s=p2 13

14 Pólos simples Generalizando para n pólos simples: A i = F(s) s p i s=pi Exemplo: estritamente próprio F s = 96(s2 + 17s + 60) s s s D(s), polinômio mônico = 96(s2 + 17s + 60) s(s + 6)(s + 8) Fatorar denominador F s = 96(s2 + 17s + 60) s s s = 96(s2 + 17s + 60) s(s + 6)(s + 8) = 120 s + 48 s s + 8 f t = L 1 F s = e 6t 72e 8t. H(t) 14

15 Pólos simples complexos Exemplo: F s = 100(s + 3) (s + 6)(s 2 + 6s + 25) Raízes do termo quadrático: ( s 2 6s 25) ( s 3 j4).( s 3 j4) Pólos: p 1 = 6; p 2,3 = 3 ± j4 Assim: ( s 100 ( s 3) K1 K2 K3 2 6)( s 6s 25) ( s 6) ( s 3 j4) ( s 3 j4) K 1 = 100 s + 3 s 2 = 12 K 3 = + 6s + 25 s= s + 3 s + 6 s + 3 j4 s= 3 j4 = 10e j53 K 2 = 100 s + 3 s + 6 s j4 s= 3+j4 = = 10e j53 15

16 F s = 100(s + 3) (s + 6)(s 2 + 6s + 25) = Observações: 12 (s + 6) + 10e j53 (s + 3 j4) + Raízes complexas sempre aparecem em pares conjugados 10ej53 (s j4) Os resíduos associados a esses pares também são conjugados Para pólos complexos basta calcular um dos resíduos L 1 100(s + 3) (s + 6)(s 2 + 6s + 25) = 12e 6t + 10e j53 e 3 j4 t + 10e j53 e 3+j4 t. H(t) Lembrando que z + z = 2. R e {z} E usando a fórmula de Euler, eliminam-se os componentes imaginários: f t = 12e 6t e 3t. cos(4t 53 ). H(t) 16

17 L 1 F(s) = 12e 6t + 10e j53 e 3 j4 t + 10e j53 e 3+j4 t. H(t) No exemplo, tem-se: p 2,3 = 3 ± j4 A 2,3 = 10e j53 Contribuição do par de pólos complexos na anti-transformada: 10e 3t+j(4t 53 ) + 10e 3t j(4t 53 ) = 2R e 10e 3t ej 4t 53 = 2 10e 3t. R e ej 4t 53 = 2 10e 3t. R e cos(4t 53 ) + j sin(4t 53 ) = 20. e 3t. cos(4t 53 ) x2 A 2 = 10e j53 p 2 = 3 + j4 17

18 Contribuição de Pólos Complexos 1º Caso A k e p kt + A k e p k t = 2R e [A k e p kt ] Resíduo: Pólo: A k = A k e jφ k p k = σ k + jω k 2R e A k e p kt = 2 A k e σ kt cos(ω k t + φ k ) F 2º Caso Resíduo: Pólo: A k = A k +ja k p k = σ k + jω k 2R e A k e p kt = 2e σ kt [A k cos ω k t ja k sin ω k t ] 18

19 No Exemplo: p 2,3 = 3 ± j4 A 2,3 = 6 j8 Contribuição do par de pólos complexos na anti-transformada: 6 j8 e 3+j4 t j8 e 3 j4 t = 2R e [ 6 j8 e 3+j4 t ] = 2R e e 3t 6 j8 e j4t = 2e 3t [6 cos 4t + 8 sin(4t)] = 12e 3t cos 4t + j16e 3t sin(4t) x2 A 2 = 6 j8 x(-2) p 2 = 3 + j4 19

20 Pólos múltiplos F s = P(s) Q(s) = P(s) s q 1 n = A 1 s q 1 n + A 2 s q 1 n A n s q 1 q 1 = q 2 = q 3 = = q n raízes de Q(s) q 1 é n vezes raiz de Q(s) Cálculo dos resíduos multiplicidade A k = 1 d k 1 F s k 1! s q 1 n s=q1 ds k 1 F k = 1,2,, n 20

21 Exemplo: F s = s + 2 s s O denominador tem 2 raízes (ou pólos), sendo 1 distinta: p 1 = 0 e uma múltipla, de multiplicidade 2, em p 2 = -1. F s = s + 2 s s = A 1 s + B 1 s B 2 (s + 1) F A 1 = F s. s s=0 = 2 B 1 = F s. (s + 1) 2 s= 1 = 1 21

22 Exemplo (cont.) s + 2 s s = 2 s 1 s B 2 (s + 1) (k=2) B 2 = 1 d 2 1 F s s s= 1 2 1! ds 2 1 B 2 = d (s + 2)/s s= 1 ds = s s + 2 s 2 s= 1 = 2 Portanto, s + 2 s s = 2 s 1 s (s + 1) 22

23 Exemplo (cont.) s + 2 s s = 2 s 1 s (s + 1) Para anti-transformar as frações parciais, utilizamos: L 1 1 s p k n = tn 1 n 1! ep kt f t = [2 t. e t 2. e t ]H(t) 23

24 Exemplo - Pólos múltiplos complexos F s = 768 s 2 + 6s s + 3 j4 2 s j4 2 = K 1 s + 3 j4 2 + K 2 (s + 3 j4) + K 1 s j4 2 + K 2 (s j4) Somente K 1 e K 2 são determinados, pois K 1 *e K 2 * são os valores conjugados K 1 = 768 s j4 2 s= 3+j4 = 768 j8 2 = 12 K 2 = d ds 768 s j4 2 s= 3+j4 = j3 24

25 Exemplo (cont.) Agrupando a expansão em termos conjugados F s = 12 s + 3 j s j4 2 + j3 (s + 3 j4) + j3 (s j4) Aplicando a transformada inversa, considerando a contribuição de pólos complexos conjugados: f t = 24te 3t. cos 4t + 6e 3t. cos 4t 90. H(t) F 25

26 Funções racionais impróprias Neste caso, deve ser realizada a divisão entre os polinômios, e a função poderá ser expressa como um polinômio somado a uma função racional estritamente própria. Exemplo: Dividindo o numerador pelo denominador, até que o resto seja uma função racional estritamente própria: s s2 s + 1 s 3 + 3s 2 + 2s = s s2 s + 1 s(s + 1)(s + 2) Frações parciais s 4 + 5s 3 + 4s 2 + 3s + 1 s 3 + 3s 2 + 2s s A 1 s + A 2 (s + 1) + A 3 (s + 2) 26

27 Aplicando o método dos resíduos s s2 s + 1 s(s + 1)(s + 2) = s A 1 s + A 2 (s + 1) + A 3 (s + 2) A 1 = 0,5 A 2 = 2 A 3 = 6,5 Portanto, F s = s ,5 s + 2 (s + 1) 6,5 (s + 2) função Doublet (derivada da função impulso unitário) Anti-transformada: δ t + 2δ t + 0,5 + 2e t 6,5e 2t ; t > 0 27

28 Inversão da Transformada de Laplace 28

29 Relação entre os pólos e a função f(t) Pólo real na origem Im x Re F s = K s f t = K 29

30 Par de pólos complexos conjugados no eixo imaginário Im b x Re -b x F s = K s + jb + K s jb f t = 2 K cos(bt + φ) 30

31 Pólo real negativo Im x -a Re F s = K s + a f t = Ke a.t 31

32 Pólo real positivo Im x a Re F s = K s a f t = Kea.t 32

33 Par de pólos complexos conjugados com parte real negativa Im x b -a x -b Re F s = K s + a + jb + K s + a jb f t = 2 K e at cos(bt + φ) 33

34 Par de pólos complexos conjugados com parte real positiva Im b x -b a x Re F s = K s a + jb + K s a jb f t = 2 K eat cos(bt + φ) 34

35 Teoremas de valor inicial e final Os teoremas do valor inicial e do valor final possibilitam determinar a partir de F(s) o comportamento de f(t) em t = 0 e t =. Permite verificar os valores inicial e final de f(t) e analisar se estes correspondem ao comportamento esperado para o circuito, antes de determinar a transformada inversa de F(s). Teorema do valor inicial: lim ( t) t 0 f lim sf( s) s Teorema do valor final: lim f ( t) lim sf( s) t s 0 Hipóteses: f(t) não contém nenhuma função impulso. Existem os limites 35

36 Exemplo: Considere a f(t) cuja transformada de Laplace é dada por: F s = 4s + 1 (s 2 + 2s) Calcular f 0 + e f Teorema do Valor Inicial (TVI) f 0 + = lim s 4s + 1 s (s 2 + 2s) = 4s + 1 (s + 2) = s (1 + 2 = 4 s ) f 0 + =4 36

37 Exemplo (cont.) F s = 4s + 1 (s 2 + 2s) Teorema do Valor Final (TVF) Como: f 4s + 1 = lim s s 0 (s 2 + 2s) = 4s + 1 (s + 2) = 1 2 f = 0,5 f t = 0,5 + 3,5e 2t. H(t) Verifica-se que efetivamente: f 0 + = 4 e f = 0,5 37

38 Exemplo: Y s = s 2 + 3s + 2 s 4 + 5s 3 + 3s 2 + 2s y 0 + y = lim s s. F s = 0 = lim s 0 s. F s = 1 t 0, 0.05, 20 y t 1 0,11. exp 4,4t 0,89. exp 0,29t cos 0,61t + 0,44. exp 0,29t sin(0,61t) 38

39 Problema Determine a transformada inversa de Laplace de: F 1 s = 6s2 + 8s + 3 s(s 2 + 2s + 5) F 2 s = s2 + 5s + 6 s (s + 4) F 3 s = 10 (s + 1)(s 2 + 4s + 8) Rptas: f 1 t = e t cos 2t e 2 sin 2t u(t) f 2 t = 7 9 e t te t e 4t u t f 3 t = 2e t 2e t cos 2t 2e t sin 2t u(t) 39

40 Próxima Aula Leitura: Cap 16 livro texto 1. Aplicações da Transformada de Laplace. 40

41 Referências 1. ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de Circuitos Elétricos, 5ª edição, Ed. Mc Graw Hill, Slides da prof. Denise, acesso em fevereiro de ORSINI, L.Q.; CONSONNI, D. Curso de Circuitos Elétricos, Vol. 1( 2ª Ed ), Ed. Blücher, São Paulo. 4. CONSONNI, D. Transparências de Circuitos Elétricos I, EPUSP. 5. NILSSON, J.W., RIEDEL, S. A. Circuitos Elétricos, 8ª Ed., Editora Pearson,