Circuitos Elétricos II

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1 Univeridade Federal do ABC Eng. de Intrumentação, Automação e Robótica Circuito Elétrico II Joé Azcue, Prof. Dr. Tranformada invera de Laplace Definição Funçõe racionai Expanão em fraçõe parciai Teorema do valor inicial e final 1

2 Tranformada invera de Laplace 1º Método: Tabela Linearidade Teorema e Propriedade

3 Tranformada invera de Laplace Exemplo Obter a tranformada invera de Laplace de: F = 1 + ) Tem-e que: L t = 1 Derivada da tranformada) L e at ft) = F + a Tranlação na frequência) Portanto: L 1 F = te t, t 0

4 Tranformada invera de Laplace º Método: Fórmula de Inverão A tranformada invera de Laplace é dada por: L 1 F = 1 πj Para t > 0 L 1 F = 1 πj σ+j F e t d σ j σ+j F e t d σ j = f t Integral obre a reta = H t = = f t H t 0 t < 0 1 t 0 4

5 Tranformada invera de Laplace º Método: Anti-tranformação de Funçõe Racionai Razão entre doi polinômio em ) 5

6 Funçõe racionai Exemplo Aplicando a lei de Kirchhoff de corrente: t v t) 1 dv t) v t). dt C Idc. H t) R L dt 0 equação íntegro-diferencial em t 6

7 Funçõe racionai Aplicando Laplace: V ) 1 V ) 1 C [ V. ) v0 )] Idc. R L Obervaçõe: V) = variável de interee R, L, C e Idc = conhecido v0-) = 0 tenão inicial no capacitor) O problema e reduz a uma equação algébrica em 7

8 Funçõe racionai V ) 1 V ) 1 C V ) Idc. R L Iolando-e V): V ). 1 1 Idc C R L x C ) V ) Idc / C 1 1 RC LC Função racional vt) é a tranformada invera de V) 8

9 Funçõe racionai 1 j1 1 j1 9

10 Expanão em fraçõe parciai Função racional Hipótee 10

11 Expanão em fraçõe parciai Determinar a raíze de D) e ecrever o polinômio do denominador na forma fatorada. F ) N ) p p p 1 n Determinar a contante A i denominada Reíduo) F A A A 1 n ) p p p 1 Anti-tranformar cada parcela uando a linearidade) n f t A e A e A e 1 n ) p t p t p t 1 n 11

12 Expanão em fraçõe parciai Seja: F = a + b p 1 p p 1 p Para determinar o Reíduo A1 e A: F = Método do Reíduo a + b p 1 p = A 1 p 1 + A p Multiplicando ambo o lado por p 1 a + b p = A 1 + p 1 A p 1

13 Expanão em fraçõe parciai Fazendo = p 1 0 a + bp 1 p 1 p = A 1 + p 1 p 1 A p 1 p A 1 = a+bp 1 p 1 p = F) p 1 =p1 e A = a+bp p p 1 = F) p =p 1

14 Pólo imple Generalizando para n pólo imple: Exemplo: A i = F) p i =pi F ) ) ) ) 8) 6 8 t t f t F e e H t ) L ) ) 14

15 Pólo imple complexo Exemplo: 100 ) F ) 6) 6 5) Raíze do termo quadrático: 6 5) j4). j4) Pólo: p 6; p j4 1, Aim: 100 ) K1 K K 6) 6 5) 6) j4) j4) K 100 ) 6 5) K 100 ) 6) j4) j4 10. e j 5 K 100 ) 6) j4) j4 10. e j 5 15

16 Pólo imple complexo F ) 100 ) º 105º 6) 6 5) 6) j4) j4) Obervaçõe: Raíze complexa empre aparecem em pare conjugado O reíduo aociado a ee pare também ão conjugado Para pólo complexo bata calcular um do reíduo L 100 ) 1. e 10. e. e 10. e. e. H t) 6) 6 5) 1 6t j 5 j 4) t j 5 j 4) t Lembrando que * z z Re z E uando a fórmula de Euler, eliminam-e o componente imaginário: f t e e t H t 6 ) 1. t t 0..co4 5º ). ) 16

17 Pólo imple complexo No Exemplo: p, j4 A, 10 e j 5 o Contribuição do par de pólo complexo na anti-tranformada: o o o j 5 j 4) t j 5 j 4) t j 5 j 4) t 10e e 10e e e 10e e t j 4t 5 ) e 10e e o t 0. e.co4t 5º ) x A 10e j 5 o p j4 17

18 Pólo imple complexo Contribuição de Pólo Complexo * pkt * pkt pkt Ak e Ak e e Ake 1º Cao Reíduo: Pólo: A p k A e k j k k k k j pkt kt e Ak e Ak e co kt k ) º Cao Reíduo: Pólo: A A ja p ' '' k k k j k k k e Ak e pt k kt ' '' e Ak co kt) Ak en kt) 18

19 Pólo imple complexo No Exemplo: p, j4 A, 6 j8 Contribuição do par de pólo complexo na anti-tranformada: 6 j8) e 6 j8) e e 6 j8) e j 4) t j 4) t j 4) t t j 4 t ) t e e 6 j 8) e e 6co 4t 8en4t 1 t t e co4 t) 16 e en4 t) x A 6 j8 x-) p j4 19

20 Pólo múltiplo F ) P ) P ) A A A Q q 1 n n n n 1 ) q1 q1 q1 1 q 1 q q q n raíze de Q) q 1 é N veze raiz de Q) multiplicidade Reíduo A n n 1 1! n1 d F ) q1 d n1 N q 1 0

21 Pólo múltiplo Na prática, utiliza-e identidade de polinômio. Exemplo: F ) 1) O denominador tem raíze, endo 1 ditinta: p 1 = 0 e uma múltipla, de multiplicidade, em p = -1. A A A 1) 1 1) 1 1 A 1 = F. =0 = A = F. + 1) = 1 = 1 1

22 Pólo múltiplo A 1 1) 1 1) 1 Juntando-e o termo da equerda da equação num denominador comum, e comparando-e o coeficiente de memo grau de no numerador, obtém-e A 1 = - F ) 1 1) 1 1) Para anti-tranformar a fraçõe parciai, utilizamo: t t f t) [. e t. e ] H t)

23 Pólo múltiplo Quando F) tem raíze repetida polo múltiplo) o cálculo ficam exteno e torna-e conveniente recorrer a um auxílio computacional. Na prática, pode-e utilizar o método de identificação de polinômio. 1 ) ) ) ) ) p p p N F ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 ) 1 ) p A p A p A p A p A p A F Forma Fatorada: N) é um polinômio, a coeficiente contante e grau inferior a 6 O método conite em igualar uceivamente o coeficiente do vário termo de N) com o correpondente termo de igual potência de do numerador da expanão, previamente reduzida a um denominador comum.

24 4 Pólo múltiplo complexo Exemplo: 5) ) F 4) * 4) * 4) 4) 4) 4) j K j K j K j K j j Somente K 1 e K ão determinado, poi K 1 *e K * ão o valore conjugado 1 8) 768 4) j j K j 4) j j d d K j

25 Pólo múltiplo complexo Agrupando a expanão em termo conjugado F 1 ) j4) 1 j4) j j4) j j4) Aplicando a tranformada invera, coniderando a contribuição de pólo complexo conjugado: f t t e t e t H t ) 4.. t t co4 6. co4 90º ). ) 5

26 Funçõe racionai imprópria Nete cao, deve er realizada a divião entre o polinômio, e a função poderá er exprea como um polinômio omado a uma função racional etritamente própria. Exemplo: Dividindo o numerador pelo denominador, até que o reto eja uma função racional etritamente própria: + função doublet - t > 0 6

27 Inverão da Tranformada de Laplace 7

28 Relação entre o polo e a função ft) 8

29 Relação entre o polo e a função ft) 9

30 Relação entre o polo e a função ft) 0

31 Relação entre o polo e a função ft) 1

32 Relação entre o polo e a função ft)

33 Relação entre o polo e a função ft)

34 Teorema de valor inicial e final O teorema do valor inicial e do valor final poibilitam determinar a partir de F) o comportamento de ft) em t = 0 e t =. Permite verificar o valore inicial e final de ft) e analiar e ete correpondem ao comportamento eperado para o circuito, ante de determinar a tranformada invera de F). Teorema do valor inicial: lim t) t0 f lim F ) Teorema do valor final: lim f t) lim F ) t 0 Hipótee: ft) não contém nenhuma função impulo. Exitem o limite 4

35 Teorema de valor inicial e final Exemplo - Conidere a ft) cuja tranformada de Laplace é dada por: F = ) Calcular f 0 + e f Teorema do Valor Inicial TVI) f 0 + = lim ) = ) = = 4 ) f 0 + =4 5

36 Teorema de valor inicial e final F = ) Teorema do Valor Final TVF) f = lim ) = ) = 1 Como f = 0,5 f t e H t t ) [0,5,5 ]. ) Verifica-e que efetivamente: f0 ) 4 e f ) 0,5 6

37 Teorema de valor inicial e final t : 0, 0.05, 0 Y ) : 4 5 y 0 ) lim. F ) 0 y ) lim. F ) 1 0 y t) : 1 0,11.exp 4, 4. t) 0,89.exp 0, 9. t).co0, 61. t) 0,44.exp 0,9. t). en0,61. t) 7

38 Próxima Aula Leitura: Cap 16 livro texto 1. Aplicaçõe da Tranformada de Laplace. 8

39 Referência 1. ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamento de Circuito Elétrico, 5ª edição, Ed. Mc Graw Hill, 01.. Slide da prof. Denie, aceo em fevereiro de ORSINI, L.Q.; CONSONNI, D. Curo de Circuito Elétrico, Vol. 1 ª Ed. 00 ), Ed. Blücher, São Paulo. 4. CONSONNI, D. Tranparência de Circuito Elétrico I, EPUSP. 5. NILSSON, J.W., RIEDEL, S. A. Circuito Elétrico, 8ª Ed., Editora Pearon,