UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS - ESCOLA NORMAL SUPERIOR Disciplina: Equações Diferenciais

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1 Repota: UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS - ESCOLA NORMAL SUPERIOR Diciplina: Equaçõe Diferenciai Profeora: Geraldine Silveira Lima Eercício Livro: Jame Stewart Eercício Motre que y 1 é uma olução da equação diferencial y ' y. Verifique que y en co co é uma olução do problema de valor inicial y ' tg y co, y(0) 1 no intervalo. 3. (Q10) A função y(t) atifaz a equação diferencial dy y 6y 5y dt 4 3 a) Quai ão a oluçõe contante da equação? b) Para quai valore de y a população etá aumentando? c) Para quai valore de y a população etá diminuindo? Livro: Sérgio A. Abunahman I. Formar a equaçõe diferenciai da eguinte família de curva: 1) ) 3) 4) 5) 6) 1. d+ydy= II. Reolva a equaçõe eparando a variávei: 1) ) 1 dy tgy 0 d 4 y d ( 1) dy 0 3) yd 3( y ) dy 0 1

2 Repota: Repota: Repota: Repota: Repota: 4) 5) 6) 7) 8) 9) d ye dy 0 1: coy=c : 3: 4: 5: 6: 7: 8: III. Reolva a equaçõe homogênea: 1) ) 3) 4) 1: : 3: 4: IV. Reolva a equaçõe: 1) ) 3) 4) (3-y+)d+(9-3y+1)dy=0 V. Reolva a equaçõe: 1: : 3: 4: +6y+C=Lg(6-y+1) 1) ) 3) 4) 1: : 3: 4: C VI. Procurar o fator integrante e reolver a eguinte equaçõe: a) d b) c) VII. Determinar a trajetória ortogonai da família de curva onde p é um parâmetro e a é contante. VIII. Reolva a equaçõe lineare: 1) ) R 1: R : 3)

3 Repota: IX. Achar a olução particular para y 0 e 0 em X. Reolva a equaçõe de Bernoulli: dy 1 ytg. d co 1) dy 3 3 y y d y c y 1. y lg C dy 4 c ) y y 3. y lg 4. c y y 1 d 7) 3) dy y y 0 d 1 5. y 6. y c 1 1 4) dy y y d 5) dy ( y 1) d 6) (1 ) dy R y y d XI. Calcular a olução da equação, abendo-e que y é olução particular. XII. Dar a olução geral da equação, abendo-e que y=-1 é olução particular. XIII. Conhecendo-e a olução particular da equação, calcular ua olução geral. LIVRO: Denni Zill (p11) No problema abaio, claifique a ED dizendo e ela ão lineare ou não-lineare. Dê também a ordem de cada equação (1 ) 4 5 co y y y 3 d y dy y 0 3 d d yy y dy +(y- y-e )d= y (4) - y +4y -3y=0 3

4 Livro: JON ROGAWSK Eercício 10.4 Eercício Prelimimare 1. Quai da eguinte ão equaçõe lineare de primeira ordem? a) y ' y 1 b) y ' y 1 c) 5 y ' y e d) 5 y y ' y e. Se a ( ) for um fator integrante de y ' A( ) y B( ), então a'( ) é igual a: a) B ( ) b) a( ) A( ) c) a( ) A'( ) d) a( ) B( ) Eercício Conidere dy dt 3t y e. a) Verifique que a() t t e é um fator integrante; b) Encontre a olução geral da equação; c) Encontre a olução particular que atifaz y(0) 1 No eercício abaio encontre a olução geral da equaçõe: 9. 3 y ' y y ' y 11. y y 1 ' co( ) 8. Um tanque de 00 galõe (gal) contém 100 gal de água com uma concentração de al de 0,1Kg/gal. No tanque é colocada água com uma concentração de al 0,4 kg/gal a uma taa de 0 gal/min. O fluido é miturado intantaneamente e a água miturada é bombeada para fora do tanque a uma taa de 10 gal/min. Seja yt () a quantidade de al no tanque no intante t, monte e reolva a equação diferencial para yt () e diga qual é a concentração de al quando o tanque tranborda. Equaçõe Diferenciai, R.Kent Nagle - Capítulo 1 Campo de Direçõe dy 1. O campo de direção para d aparece na figura abaio. a) Eboce a curva-olução que paa por (0,- ). Por ee eboço ecreva a equação para a olução; y b) Eboce a curva olução que paa por (- 1,3); c) O que você pode dizer obre a olução do item b) quando? E quando? Curo Cálculo II Profeora Geraldine Página

5 . Dado campo de direção para dy 4 d y a) Verifique e a linha reta y ão curva de olução, dede que 0 1. Conidere a equação diferencial dp p( p 1)( p) para a população p dt (em milhare) de uma certa epécie no intante t. b) Eboce a curva olução com condição inicial y(0). c) Eboce a curva olução com condição inicial y() 1 3. O modelo para a velocidade v no intante t de certo objeto caindo ob a influência da gravidade em um meio vicoo é dado dv v pela equação 1 dt. Pelo campo de 8 direção motrado abaio eboce a oluçõe com a condiçõe iniciai v(0) 5,8 e 15. Por que o valor v 8 é chamado de velocidade terminal? Curo Cálculo II Profeora Geraldine Página

6 Livro: Cálculo Jame Stewart Livro: Cálculo Jame Stewart Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correpondente ao valore dado do parâmetro. Encontre a área da uperfície obtida pela rotação da curva fornecida em torno do eio. RESPOSTAS: Encontre dy d e d y d Encontre o comprimento da curva: Curo Cálculo II Profeora Geraldine Página

7 No problema 15 a, determine e o conjunto de funçõe dado é LI no intervalo. 15. f ( ), f ( ), f ( ) f ( ) 0, f ( ), f ( ) e f ( ) 5, f ( ) co, f ( ) en ( ) co, ( ) 1, ( ) co f1 f f3 19. f ( ), f ( ) 1, f ( ) f ( ), f ( ) 1 No problema 3 a 30, verifique e a funçõe dada formam u conjunto fundamental de oluçõe da equação diferencial no intervalo indicado. Contrua a olução geral y'' ' 1 0; y y e, e em (, ) 4. y'' 4 y ' 0; coh, enh em (, ) 5. y'' ' 5 0; y y e co, e en em (, ) 6. 4y'' 4 y ' y 0; e, e em (, ) y '' 6 y ' 1y 0;, em (0, ) 8. y''+ y y 0; co(ln ), en(ln ) em (, ) 3 9. y'''+6 y'' 4 y ' 4y 0;,, ln em (0, ) (4) 30. y + y'' 0; 1, co, en em (, ) Curo Cálculo II Profeora Geraldine Página

8 Eercício Denni Zill pg 17 No problema de 1 a 1, encontre uma egunda olução para cada equação diferencial. Suponha um intervalo apropriado. No problema de 1 a 16, a função indicada y 1 () é uma olução da equação diferencial dada. Encontre uma egunda olução para a eguinte equaçõe: 11. y" +y' =0; y 1= ln y" +y =0; y = ln Profeora Geraldine Página 8

9 Equaçõe Diferenciai, R.Kent Nagle - Capítulo 4. No problema ache uma olução para a equação diferencial dada: 4. y" 6 y ' 9 y 0 5. y" 7 y ' 4 y 0 6. y" y ' y 0 7. y" 5 y ' 6y 0 1. c e 3. c e 11. c e 3t 3t 1 cte t 1 c e t t cte t w" 0 w' 5w 0 No problema reolva o problema de valor inicial dado: 13. y" y ' 8y 0; y(0) 3, y '(0) y" y ' 0; y(0), y '(0) y" 4 y ' 5y 0; y( 1) 3, y '( 1) y" 4 y ' 3y 0; y(0) 1, y '(0) 1/ z" z ' z 0; z(0) 0, z '(0) e 3 4t e 5( t1) ( t1) e e 1 3t 1 3 e t 6. Problema de valor de fronteira. Quando o valore de uma olução para uma equação diferencial ão epecificado em doi ponto diferente, ea condiçõe ão chamada de Condiçõe de fronteira. (Ao contrário, a condiçõe iniciai epecificam o valore de uma função e ua derivada no memo ponto). A finalidade dete eercício é motrar que, para problema de valor de fronteira, não há teorema de eitência-unicidade que eja emelhante ao Teorema 1. Dado que cada olução para ( I) y" y 0 tem a forma y( t) c cot c ent, onde C 1 e C ão contante arbitrária, motre que 1 a) Eite uma olução única para (I) que atifaz a condiçõe de limite y(0) = e y( / ) 0 ; b) Não eite uma única olução para (I) que atifaz a condiçõe y(0)= e y( ) 0 c) Eitem infinitamente muita oluçõe para (I) que atifazem y(0)= e y( ). Profeora Geraldine Página 9

10 35. Para cada uma da eguinte funçõe, determine e a trê funçõe dada ão LD ou LI em (, ). a) y ( t) 1; y ( t) t; y ( t) t. b) y ( t) 3; y ( t) 5 en t; y ( t) co t. 43. Reolva o problema de valor inicial: y"' y ' 0; y(0), y '(0) 3 e y"(0) Reolva o problema de valor inicial: y"' y" y ' y 0; y(0), y '(0) 3 e y"(0) 5 Capítulo 4.3 No problema abaio, a equação auiliar determina raíze complea. Ache a olução geral. 1. y" y 0. y" 9 y 0 4. z" 6 z' 10z 0 5. y" 4 y ' 7 y 0 3. y" 10 y ' 6y 0 Capítulo 4.4 pg136 Soluçõe: Profeora Geraldine Página 10

11 Capítulo 4.5 pg141 Capítulo 4.6 pg146 Profeora Geraldine Página 11

12 Capítulo 4.7 pg15 Profeora Geraldine Página 1

13 Soluçõe: Profeora Geraldine Página 13

14 No problema 15 a, determine e o conjunto de funçõe dado é LI no intervalo (, ) 15. f ( ), f ( ), f ( ) f ( ) 0, f ( ), f ( ) e f ( ) 5, f ( ) co, f ( ) en ( ) co, ( ) 1, ( ) co f1 f f3 19. f ( ), f ( ) 1, f ( ) f ( ), f ( ) 1 No problema 3 a 30, verifique e a funçõe dada formam u conjunto fundamental de oluçõe da equação diferencial no intervalo indicado. Contrua a olução geral y'' ' 1 0; y y e, e em (, ) 4. y'' 4 y ' 0; coh, enh em (, ) 5. y'' ' 5 0; y y e co, e en em (, ) 6. 4y'' 4 y ' y 0; e, e em (, ) y '' 6 y ' 1y 0;, em (0, ) 8. y''+ y y 0; co(ln ), en(ln ) em (, ) 3 9. y'''+6 y'' 4 y ' 4y 0;,, ln em (0, ) (4) 30. y + y'' 0; 1, co, en em (, ) Eercício Denni Zill pg 17 No problema de 1 a 1, encontre uma egunda olução para cada equação diferencial. Suponha um intervalo apropriado. Profeora Geraldine Página 14

15 No problema de 1 a 16, a função indicada y 1 () é uma olução da equação diferencial dada. Encontre uma egunda olução para a eguinte equaçõe: 11. y" +y' =0; y 1= ln y" +y =0; y = ln LIVRO: Equaçõe Diferenciai com Aplicaçõe em Modelagem; Denni G. Zill Eercício 4.7 (pg 199): Reolva a equação diferencial dada 1. y" y 0 5. y" y ' 4y 0. 4 y" y 0 3. y" y ' 0 4. y" 3 y ' 0 6. y" 5 y ' 3y 0 7. y" 3 y ' y 0 8. y" 3 y ' 4y y" 5 y ' y y" 4 y ' y y" 5 y ' 4y 0 1. y" 8 y ' 6y 0 No problema abaio, reolva a equação diferencial dada por variação de parâmetro: 19. y" 4 y ' 4 0. " 5 ' y y y 1. " ' y y y. " ' 4 y y y e Profeora Geraldine Página 15

16 No problema abaio, reolva o problema de valor inicial dado. 3. y" 3 y ' 0, y(1) 0, y '(1) 4 4. y" 5 y ' 8y 0, y() 3, y '() 0 Repota 1. y c c 3. y c1 cln c co( ln ) c en( ln ) y c c 9. y c co( ln ) c en( ln ) 11. y c c ln ( 6) ( 6) y c c ln y c c ln (ln ) 1 3. y LIVRO: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ELEMENTARES; R.Kent Nagle/Edward B.Saff/Arthur david pg81 No problema ue a definição para determinar a tranformada de Laplace da função dada: 4. 3t te 0, 0 t t 7. e co3 1 t, 0 t 1 t 10. f( t) 0, 1 t 9. f( t) t,t ent,0t 5. cot 11. f( t) 0, t LIVRO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DENNIS G. ZILL/MICHAEL R. CULLEN Eercício 7.3 No problema abaio encontre F() ou f(t) como indicado: 1. L. L 3. L te 10t te 6t te 3 t 4. L t e 10 7t t 6. L e co 4 5t 7. L h 3 t e en t t t t t L t e e 10. L e ( t1) 11. L e en t 9. ( ) t 1. L e co L t 14. L 15. L L t 16. L coh t e L 45 Profeora Geraldine Página 16

17 18. L L 1 0. L L L 1 ( 1) 4 No Problema 51-58, ecreva cada função em termo de funçõe degrau unitário. Encontre a tranformada de Laplace da função dada:, 0 t f( t), t 3 3 0, 0 t 54. f( t) 3 ent, t 1, 0 t 4 5. f ( t) 0, 4 t 5 1, t 5 t, 0 t 55. f( t) 0, t ent, 0 t 56. f( t) 0, t LIVRO: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ELEMENTARES; WILLIAM E. BOYCE/RICHARD C. DIPRIMA. CAPÍTULO 6. PG 51 Em cada um do Problema de 1 a 10, encontre a tranformada de Laplace invera dada: 1. F ( ) F ( ) ( 1) 3. F ( ) F ( ) 5. F ( ) F ( ) 4 7. F ( ) 8. F ( ) 9. F ( ) ( 4) 1 45 Em cada um doa problema de 11 a 3, ue a tranformada de Laplace para reolver o problema de valor inicial dado: 11. y '' y ' 6y 0; y(0) 1, y '(0) 1 1. y '' 3 y ' y 0; y(0) 1, y'(0) y '' y ' y 0; y(0) 0, y '(0) y '' 4 y ' 4y 0; y(0) 1, y '(0) y '' y' 4y 0; y(0), y'(0) y '' y ' 5y 0; y(0), y '(0) 1 (4) (3) 17. y 4y 6 y" 4 y ' y 0; y(0) 0, y '(0) 1, y"(0) 0, y"'(0) 1 (4) 18. y y 0; y(0) 1, y '(0) 0, y"(0) 1, y"'(0) 0 (4) 19. y 4y 0; y(0) 1, y '(0) 0, y"(0), y"'(0) 0 Profeora Geraldine Página 17

18 CAPÍTULO 6 - pg 43 Em cada um do Problema de 1 a, eboce o gráfico da função dada. Em cada aco determine e f é contínua, eccionalmente contínua ou nenhuma da dua no intervalo 0t 3. t, 0 t 1 1. f ( t) t,1 t 6 t, t 3 t t, f ( t) t 1,1 t 1, t 3 bt bt bt bt e e e e Lembre-e que coh( bt) e en h( bt). Em cada um do problema abaio, encontre a tranformada de Laplace da função dada, com a e b contante reai. 7. f ( t) coh( bt) 8. f ( t) en h( bt) 9. at f ( t) e coh( bt) 10. at f ( t) e en h( bt) Profeora Geraldine Página 18

19 Profeora Geraldine Página 19