Transformada de Laplace

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1 Tranformada de Laplace Câmpu Francico Beltrão Diciplina: Prof. Dr. Jona Joacir Radtke

2 Tranformada de Laplace Se f (t) for uma função definida para todo t 0, ua tranformada de Laplace é a integral de f (t) de t = 0 a, multiplicada por e t. Ela é uma função de, digamo F (), endo denotada por L (f ); portanto F () = L (f ) = 0 e t f (t) dt Além dio, a função dada por f (t) é chamada de tranformada invera de F (), endo denotada por L (F ), ou eja, ecreveremo f (t) = L (F ) Notação: A funçõe originai dependem de t e ão ecrita em letra minúcula, ao pao que ua tranformada dependem de e ão ecrita em letra maiúcula.

3 Exemplo Conidere f (t) = para t 0. Obtenha F (). Exemplo Conidere f (t) = e at para t 0, onde a é uma contante. Obtenha L (f ). Teorema : Linearidade da Tranformada de Laplace A tranformada de Laplace é uma operação linear, ou eja, para funçõe f (t) e g(t) quaiquer cuja tranformada exitem, e para contante a e b quaiquer, a tranformada de a f (t) + b g(t) exite, e Exemplo L {a f (t) + b g(t)} = a L {f (t)} + b L {g(t)} Encontre a tranformada de coh at e enh at.

4 f (t) L (f ) 2 t 2 3 t 2 2! 3 4 t n n! n+ 5 t a a+ 6 e at a 0 e x x a dx f (t) L (f ) 7 co ωt 2 + ω 2 8 en ωt 9 coh at 0 enh at e at co ωt 2 e at en ωt ω 2 + ω 2 2 a 2 a 2 a 2 a ( a) 2 + ω 2 ω ( a) 2 + ω 2

5 Teorema 2: Primeiro Teorema do Devio Se f (t) tiver a tranformada F () (onde > k para algum k), então e at f (t) tem a tranformada F ( a) (onde a > k). Em fórmula, L {e at f (t)} = F ( a) ou, e invertermo ambo o lado, Exemplo L {F ( a)} = e at f (t) Determine a tranformada ou a tranformada invera a) f (t) = t 2 e 5t b) F () =

6 Exitência e Unicidade Uma função f (t) poui uma tranformada de Laplace e ela não crecer muito deprea, digamo, e para todo t 0 e para alguma contante M e k, ela atifazer a retrição de crecimento f (t) Me kt () Teorema 3: Exitência para a Tranformada de Laplace Se f (t) for definida e contínua por intervalo em cada intervalo finito do emi-eixo t 0 e atifazer () para todo t 0 e para alguma contante M e k, então a tranformada de Laplace L (f ) exite para todo > k. Unicidade: Se a tranformada de Laplace de uma determinada função exitir, ela é determinada de maneira única. Inveramente, podemo motrar que, e dua funçõe (amba definida no eixo real poitivo) tiverem a mema tranformada, então ea funçõe não podem e diferir num intervalo de largura poitiva, embora poam diferir em ponto iolado.

7 Exercício Encontre a tranformada de Laplace da eguinte funçõe (a, b, k, ω, θ ão contante).. f (t) = t 2 2t 2. f (t) = (t 2 3) 2 3. f (t) = co 2πt 4. f (t) = en 2 4t 5. f (t) = e 2t coh t 6. f (t) = e t enh 5t 7. f (t) = co(ωt + θ) 8. f (t) = en (3t 0,5) 9. f (t) = e 3a 2bt 0. f (t) = 8 en 0,2t. f (t) = en t co t 2. f (t) = (t + )

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9 Exercício Dada F () = L (f ), obtenha f (t) (L, m, k, a e b ão contante). 4 3π 29. F () = 2 + π F () = F () = F () = nπl 33. F () = L n 2 π F () = ( )( + 4) F () = (k + ) F () = + k 2 k= 37. F () = ( 3)( + 5) F () = F () = F () = ( + a)( + b)

10 Exercício Encontre a tranformada ou a tranformada invera. 42. f (t) = 3t 4 e 0,5t 43. f (t) = 5e at en ωt 44. f (t) = e 3t co πt 45. f (t) = e kt (a co t + b en t) 46. f (t) = e t (a 0 + a t a n t n ) F () = ( ) 3 π 48. F () = ( + π) F () = ( + 2) F () = ( ) F () = F () = π 53. F () = 2 + 0π + 24π F () = 2 4 2

11 Repota: π 2 2 2( ) = 32 ( ) 2 5. ( 2) 2 ( ) = ( + ) co θ ω en θ 2 + ω co 0,5 en 0, e 3a + 2b, , k ( e b ) k (e a e b ) ( + 2)e 2 2 2

12 Repota: k b 2 (b + e b ) e b k b 2 ( e b 2 ( e ) 2 be b + be b ( e ) co πt 3 en πt 30. 3e 4t e 4t ) t2 + 2 t e t/ en nπt L 34. 4(e t e 4t ) e 4t 36. 4e t + 9e 4t + 6e 9t + 25e 6t 37. e 3t e 5t coh 3 t 4 inh 3 t

13 Repota: en 5t e 5t e at e bt 40. Se a b: b a Senão: te bt 3,8 4. ( 2,4) ( + 0,5) 5 5ω ( + a) 2 + ω ( + 3) 2 + π 2 a( + k) + b ( + k) a a ( + ) n!a n ( + ) n ,5t 2 e t 48. πte πt 49. 2t 2 e 2t 50. e t (co 2t 5 2 en 2t) 5. 3e 2t en 5t 52. e 3t (4 co 3t e 5πt enh πt en 3t) 54. e 2t (2 coh 4t 3 enh 4t)