4. CONTROLE PID COM O PREDITOR DE SMITH

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1 4 CONTROLADOR PID COM O PREDITOR DE SMITH CONTROLE PID COM O PREDITOR DE SMITH 4.1 SINTONIA DO CONTROLADOR PID Nete capítulo erá apreentada a metodologia para a intonia do controlador PID. Reultado imulado e reultado prático erão apreentado motrando que o itema de controle apreentado nete capítulo atende à epecificaçõe do projeto. Como o proceo poui tempo morto, é uado o Preditor de Smith [13] na imulaçõe e na planta. Um comparativo entre o controle com o preditor e em o preditor é apreentado. O controlador PID uado nete capítulo poui a eguinte função de tranferência: 1 G PID ( ) = Kp Td. (4.1) Ti. Para er implementado na prática, adiciona-e um pólo ao termo derivativo de modo que o memo e torne realizável fiicamente, portanto a função de tranferência do controlador PID [10] no final deve er: G PID 1 Td. ( ) = Kp Ti. α. Td. + 1 (4.2) A contante α modifica a repota em freqüência do termo derivativo, endo que eta contante deve pertencer ao intervalo (0,1). Quanto mai próximo de 0 etiver α, maior é o ganho em alta freqüência dete termo (o valor de α utilizado foi 0,1). Por implicidade no cálculo, a intonia do PID apreentada nete capítulo não leva em conideração o pólo da parcela do derivativo, o pólo é inerido apó o cálculo do parâmetro Kp, Ti e Td e o deempenho do controle é verificado com imulação. O fato de deprezar o pólo do derivativo no cálculo do parâmetro Kp, Ti e Td não gera diferença grande no deempenho do controle e torna o cálculo muito mai fácil. A função de tranferência da planta é motrada na equação 4.3 abaixo, o diagrama de bloco do itema controlado pelo controle PID e com o uo do Preditor de Smith [11] como algoritmo preditivo é o motrado na figura 4.1 G( ) = θ. e τ. + 1 (4.3)

2 4 CONTROLADOR PID COM O PREDITOR DE SMITH 29 Controle PID Planta Preditor Figura 4.1. Diagrama de bloco do itema controlado com o uo do Preditor de Smith. O Preditor de Smith [12] tem a função de minimizar algun efeito indeejado devido ao tempo morto comum na planta. Como o inal da variável controlada Y() chega com um certo atrao no omador, a repota tranitória da planta controlada pode apreentar reultado indeejado como por exemplo um obreinal elevado. Em outra palavra, o tempo morto no domínio correponde a um polinômio de ordem infinita cujo pólo ão todo reai. Sabe-e que quanto maior o número de pólo, pior erá a etabilidade relativa do itema. Deta forma quando um itema poui tempo morto, ua repota tranitória tende a er pior do que no cao onde não há tempo morto. A função de tranferência do Preditor de Smith, nete cao, é: P( ) = K a. e θa. τ. + 1 a (4.4) Sendo que o parâmetro K a, τ a e θ a devem er o mai próximo poívei do parâmetro K, τ e θ da planta repectivamente. Repare que o inal na aída do Preditor de Smith em o tempo morto é ubtraído do inal de referência, deta forma obtemo o efeito preditivo. Se o parâmetro K a, τ a e θ a forem idêntico ao parâmetro K, τ e θ da planta, então a diferença entre a aída do Preditor de Smith e a aída da planta erá zero. Demontra-e que utilizando o Preditor de Smith e dede que o preditor poua um modelo idêntico à dinâmica da planta, o itema controlado reume-e ao eguinte diagrama de bloco motrado na figura 4.2.

3 4 CONTROLADOR PID COM O PREDITOR DE SMITH 30 Figura 4.2. Diagrama de bloco minimizado da planta controlada pelo PID com o uo do Preditor de Smith. Repare que o tempo morto não influencia o inal de realimentação, portanto o efeito do tempo morto foi removido do inal de realimentação devido ao uo do Preditor de Smith. A função de tranferência do controlador PID em o pólo no derivativo pode er ecrita da eguinte forma: ( + a)(. b) Kc. + G PID ( ) = (4.5) Multiplicando o termo do numerador, temo: 2 2 [ + ( a + b). + a. b] Kc. + Kc. ( a + b). Kc. + Kc. a. b G PID ( ) = = (4.6) A equação 4.1 pode er ecrita da eguinte forma: 2 ( KpTd.. Ti. + KpTi.. + Kp) 1 G PID ( ) = Kp Td. = (4.7) Ti. Ti. Igualando a equaçõe 4.6 e 4.7 obtemo: Kp Kc. a. b = (4.8) a + b Ti = a. b (4.9) Td a + b (4.10)

4 4 CONTROLADOR PID COM O PREDITOR DE SMITH 31 A intonia do PID é realizada uando a expreão 4.5. Utilizando o diagrama de bloco da figura 4.2 e a equação 4.5, obtemo a eguinte função de tranferência em malha aberta do itema controlado: G MA Kc. ( ) = ( + a)(. + b) θ. e. τ. + 1 (4.11) Reecrevendo a equação 4.11: G MA Kc. ( ) = ( + a)(. + b) τ. θ. e. 1 + τ (4.12) Fazendo 1 a =, cancelamo o pólo em τ em malha aberta com o cancelamento do pólo fica endo: 1 da planta, portanto a função de tranferência τ G MA ( + b). θ. Kc. e ( ) = (4.13) τ. A função de tranferência em malha fechada erá: G MF ( + b) Kc. ( ) = τ. Kc. 1+ τ. ( + b). e θ. (4.14) G MF θ. ( Kc. + Kc. b). e ( ) = ( τ + Kc. K). + Kc. b (4.15) Com o cancelamento do pólo da planta, o itema controlado em malha fechada fica endo de primeira ordem com tempo morto, ganho unitário para entrada degrau e com um pólo Kc. b localizado em, portanto podemo tirar a eguinte concluõe: τ + Kc. K

5 4 CONTROLADOR PID COM O PREDITOR DE SMITH 32 O itema controlado em malha fechada não ocila porque todo o eu pólo e θ. zero não reai. O pólo devido ao termo e ão todo reai e localizado no emi plano equerdo. Kc. b A contante de tempo do itema é o invero do módulo do pólo em τ + Kc. K malha fechada. Deta forma, podemo intonizar o parâmetro Kp, Ti e Td do controlador PID de modo a termo um pólo em malha fechada que atenda ao requiito de repota tranitória do itema. A epecificaçõe de deempenho do itema controlado em malha fechada ão a eguinte: Erro etacionário de 0%. Sobreinal inferior a 5%. Contante de tempo de 120 egundo. Aplicando o teorema do valor final na equação 4.15, vemo que a repota ao degrau unitário do itema em malha fechada apreenta valor unitário para uma ituação de regime, o que prova a propoição de que o itema irá apreentar erro etacionário de 0%. Teorema do valor final: lim. G( ) = g( ) 0 (4.16) ( Kc. + Kc. b) ( τ + Kc. K ). + Kc. 1 lim.. = 1 0. K b (4.17) Como a contante de tempo definida na epecificação do projeto foi de 120 egundo, o itema em malha fechada irá demorar 600 egundo para atingir 99,3 % do valor de regime a partir da aplicação do degrau (600 egundo é cinco veze a contante de tempo). Portanto:

6 4 CONTROLADOR PID COM O PREDITOR DE SMITH 33 Tempo para atingir 99,3 % do valor de regime = Kc. b 5. τ + Kc. K 1 (4.18) Atravé da equaçõe 4.8, 4.9, 4.10 e 4.18, obtemo uma regra para intonia de controladore PID para itema de primeira ordem com tempo morto. Adotando b=1 e reolvendo a equaçõe, obtemo o valore de Kp, Ti e Td motrado na tabela 4.1 para cada vazão de água na parte do tubo. Tabela 4.1. Sintonia do controle PID para cada valor de vazão de água na parte do tubo. Valore de intonia para o controle PID Parâmetro do Preditor Vazão (kg/min) Kp (ma/ºc) Ti () Td () K a (ºC/mA) τ a () θ a () 12,45 18,75 891,1 1,0 8,5 890, ,95 20,00 801,2 1,0 7,3 800, ,44 20,63 700,2 1,0 6,3 699, ,06 20,63 621,1 1,0 5,4 620, ,43 20,00 551,6 1,0 4,9 550, ,89 18,75 481,2 1,0 4,7 480,2 20 Para a tabela 4.1, o valor de Kp etá expreo em ma/ºc e o valore de Ti e Td etão expreo em egundo. No gráfico motrado nete capítulo, veremo que a intonia apreentada na tabela 4.1 conegue atingir a epecificaçõe de deempenho. 4.2 RESULTADOS DE SIMULAÇÕES DO CONTROLE PID A figura 4.5, 4.6, 4.7, 4.8, 4.9 e 4.10 motram reultado de imulaçõe com e em o uo do Preditor de Smith para ei valore diferente de vazão de água na parte do tubo. Em algun cao, nota-e uma melhor repota tranitória do itema que ua o algoritmo preditivo. Obervando o gráfico da figura 4.5, 4.6, 4.7, 4.8, 4.9 e 4.10 vemo que para tete onde o valor da vazão de água na parte do tubo é maior, o efeito do tempo morto no itema controlado é menor. Podemo verificar ito comparando a repota ao degrau do itema controlado pelo PID com o preditor e em o preditor. Para valore de vazão elevado, a dua curva e aproximam. De fato, quando aumentamo a vazão de água na parte do tubo, diminuímo o tempo morto, portanto diminui-e o efeito do memo no itema controlado. Na imulaçõe que eguem, o controlador PID e o Preditor de Smith foram implementado em tempo dicreto, enquanto que a planta foi implementada em tempo contínuo.

7 4 CONTROLADOR PID COM O PREDITOR DE SMITH 34 Utilizando a aproximação bilinear [13] motrada na equação 4.19 obtemo a aproximaçõe para o integrativo, o derivativo e o Preditor de Smith motrado a eguir. ( z 1) ( z + 1) 2. (4.19) T Aplicando a aproximação bilinear motrada na equação 4.19 no integrativo com um período de amotragem de 1 egundo, obtemo a eguinte função de tranferência motrada na equação Como o itema apreenta uma dinâmica muito lenta, um período de amotragem de 1 egundo é uficiente. ( z + 1) ( z 1) T. Kp G ( z) =. (4.20) I 2. Ti Aplicando a mema aproximação bilinear no termo derivativo com o pólo e o valor de α em 0,1, obtemo: G 2. Kp. Td( z 1) D ( z) = (4.21). ( 2. α. Td + T ). z + T 2. α Td A aproximação bilinear para o Preditor de Smith fica endo: G P ( z) K. T.( z + 1) a = (4.22) θ z a.[( 2. τ a + T ). z + T 2. τ a ] Onde z θa implementa o tempo morto. Além da implementaçõe em tempo dicreto do controle PID e do Preditor de Smith em oftware, foi implementado um anti-reet windup no integrativo [14]. O anti-reet windup é uma aturação numérica implementada no integrativo com o intuito de diminuir o efeito da aturação do atuador, e houver a mema. O código da figura 4.3 motra o algoritmo do anti-reet windup.

8 4 CONTROLADOR PID COM O PREDITOR DE SMITH 35 Procedure PID; begin If (aída<100) then begin aida:=proporcional(erro)+integrativo(erro)+derivativo(erro); end ele begin aída:=proporcional(erro)+integrativo(0)+derivativo(erro); end; end; Figura 4.3. Algoritmo que implementa o anti-reet windup. O código acima implementa o anti reet windup, a variável aída recebe o valor do inal do atuador em porcentagem. A funçõe proporcional, integrativo e derivativo, retornam o valore de cada parcela do PID com bae no inal de erro (variável erro ). Quando o valor de aída for maior que 100, a função integrativo recebe como argumento a contante 0. Deta forma interrompemo a integração do inal de erro quando o valor da variável aída for maior que 100 (100 % do máximo valor no atuador). Quando o inal do controlador PID atingir 100% de eu valor (o que equivale a um valor de 20 ma na válvula eletropneumática), é interrompida a integração no integrativo. Deta forma fazemo com que o valor numérico em oftware do inal do controle PID eja igual ao valor numérico de corrente elétrica na válvula em termo de porcentagem. A figura 4.4 motra uma imulação que ilutra o princípio de funcionamento do anti-reet windup. Neta imulação, o inal de erro foi forçado e obervam-e a repota do doi inai de controle. Repare que quando o inal de erro troca de polaridade, o inal em o anti-reet windup irá demorar para atingir um valor inferior a 100% forçando o inal do atuador a ficar operando na região de aturação durante um tempo maior do que o cao onde e ua o anti-reet windup. O fato do atuador ficar mai tempo trabalhando em uma região não-linear (aturação) contribui para uma pior repota tranitória. A figura 4.5, 4.6, 4.7, 4.8, 4.9 e 4.10 motram reultado de imulação do controle PID implementado. O diagrama de bloco implementado em imulink que gerou o reultado imulado é apreentado no apêndice.

9 4 CONTROLADOR PID COM O PREDITOR DE SMITH 36 Controle com o anti-reet windup Controle em o anti-reet windup Figura 4.4. Simulação do inai de controle com e em o anti-reet windup.

10 4 CONTROLADOR PID COM O PREDITOR DE SMITH 37 Figura 4.5. Simulação do controle PID para uma vazão de 24,89 kg/min. Figura 4.6. Simulação do controle PID para uma vazão de 22,43 kg/min.

11 4 CONTROLADOR PID COM O PREDITOR DE SMITH 38 Figura 4.7. Simulação do controle PID para uma vazão de 20,06 kg/min. Figura 4.8. Simulação do controle PID para uma vazão de 17,44 kg/min.

12 4 CONTROLADOR PID COM O PREDITOR DE SMITH 39 Figura 4.9. Simulação do controle PID para uma vazão de 14,95 kg/min. Figura Simulação do controle PID para uma vazão de 12,45 kg/min.

13 4 CONTROLADOR PID COM O PREDITOR DE SMITH RESULTADOS EXPERIMENTAIS DO CONTROLE PID COM O PREDITOR A figura a eguir motram o reultado experimentai obtido com o controle PID com e em o Preditor de Smith. Figura Repota ao degrau da planta controlada pelo itema de controle PID para uma vazão de 24,89 kg/min no lado do tubo. Figura Repota ao degrau da planta controlada pelo itema de controle PID para uma vazão de 22,43 kg/min no lado do tubo.

14 4 CONTROLADOR PID COM O PREDITOR DE SMITH 41 Figura Repota ao degrau da planta controlada pelo itema de controle PID para uma vazão de 20,06 kg/min no lado do tubo. Repota ao degrau do itema controlado Figura Repota ao degrau da planta controlada pelo itema de controle PID para uma vazão de 17,44 kg/min no lado do tubo.

15 4 CONTROLADOR PID COM O PREDITOR DE SMITH 42 Figura Repota ao degrau da planta controlada pelo itema de controle PID para uma vazão de 14,95 kg/min no lado do tubo. Repota ao degrau do itema controlado Figura Repota ao degrau da planta controlada pelo itema de controle PID para uma vazão de 12,45 kg/min no lado do tubo.

16 4 CONTROLADOR PID COM O PREDITOR DE SMITH 43 A tabela 4.2 motra o deempenho do controle com e em o Preditor de Smith para o reultado obtido em imulador. A tabela 4.3 motra o deempenho do controle com e em o Preditor de Smith para o reultado obtido experimentalmente. Tabela 4.2. Deempenho do itema de controle PID imulado. Controle PID em o uo do Preditor de Smith Requiito do deempenho Valor de vazão de água do controle Reultado imulado Sobreinal Contante de Contante na parte do tubo Sobreinal tempo de tempo 12,45 kg/min 13,00% 93 14,95 kg/min 5,70% 107 <5% <=120 17,44 kg/min 4,00% 93 20,06 kg/min 0,00% ,43 kg/min 1,40% ,89 kg/min 0,00% 100 Controle PID com o uo do Preditor de Smith Requiito do deempenho Valor de vazão de água Reultado imulado Sobreinal do controle Contante de tempo <5% <=120 na parte do tubo Sobreinal Contante de tempo 12,45 kg/min 0,00% ,95 kg/min 0,00% ,44 kg/min 0,00% ,06 kg/min 0,00% ,43 kg/min 0,00% ,89 kg/min 0,00% 120 Tabela 4.3. Deempenho do itema de controle PID experimental. Controle PID em o uo do Preditor de Smith Requiito do deempenho do controle Valor de vazão de água Reultado experimentai Sobreinal Contante de Contante na parte do tubo Sobreinal tempo de tempo 12,45 kg/min 12,00% ,95 kg/min 10,00% 100 <5% <=120 17,44 kg/min 7,10% ,06 kg/min 3,60% ,43 kg/min 4,30% ,89 kg/min 0,00% 120 Controle PID com o uo do Preditor de Smith Requiito do deempenho Valor de vazão de água Reultado experimentai Sobreinal do controle Contante de tempo <5% <=120 na parte do tubo Sobreinal Contante de tempo 12,45 kg/min 0,00% ,95 kg/min 0,00% ,44 kg/min 0,00% ,06 kg/min 0,00% ,43 kg/min 0,00% ,89 kg/min 0,00% 120

17 4 CONTROLADOR PID COM O PREDITOR DE SMITH 44 Sem o uo do algoritmo preditivo, a planta não apreenta um comportamento de itema de primeira ordem em malha fechada. Podemo concluir ito pelo fato de exitir um obreinal na repota ao degrau do itema. A diferença entre o valore experimentai e o valore imulado ão devida à: Não linearidade da válvula: a não linearidade da válvula apreentada no capítulo 3 não é totalmente cancelada pela não linearidade inerida na aída do controlador PID. Cancelamento do pólo da planta: não e pode na prática cancelar um pólo, poi eria neceário conhecer o valor exato do memo. Na prática quando fazemo um zero igual a pólo, etamo diminuindo a influência do pólo no comportamento do itema em malha fechada. Parâmetro do Preditor de Smith: não é poível contruir um modelo para o preditor que eja totalmente idêntico à dinâmica da planta, empre irão exitir alguma divergência por menore que ejam. Variação da preão da caldeira: além do trocador de calor, outra máquina utilizam o vapor proveniente da caldeira, gerando uma variação da preão na rede de vapor ao longo do dia, ito pode afetar o deempenho do itema de controle. 4.4 VARIAÇÕES DO CONTROLE PID O itema de controle PID poui variaçõe em eu diagrama de bloco que podem er encontrada na literatura. Dentre eta variaçõe, dua foram implementada, imulada e tetada na planta. São a variaçõe PI-D [10] e I-PD [10]. O controle PI-D é uma variação do controle PID onde a parcela do derivativo é removida do ramo de avanço e colocada no ramo de realimentação. Reultando, deta forma, em um controle onde o derivativo age com bae no inal de aída da planta y(t) e não na diferença x(t)- y(t). Ito é feito de modo que não ocorra a diferenciação do degrau que é aplicado em x(t), poi a diferenciação do degrau irá gerar um inal de amplitude elevada no atuador, o que em alguma veze pode er prejudicial ao funcionamento do atuador. Em outro cao, utiliza-e o PI-D para que não ocorra a amplificação de eventuai ruído que poam etar preente no inal de referência. No cao do trocador de calor feixe tubular, ete inal de amplitude elevada proveniente da diferenciação do degrau não é prejudicial ao atuador e não exitem ruído no inal de

18 4 CONTROLADOR PID COM O PREDITOR DE SMITH 45 referência, poi o memo é gerado por oftware. Nete cao a implementação do controle PI-D tem apena objetivo didático. O diagrama de bloco da figura 4.17 e 4.18 motram a planta controlada pelo PI-D com e em o uo do Preditor de Smith repectivamente. Figura Diagrama de bloco da planta controlada pelo PI-D com o Preditor de Smith. Figura Diagrama de bloco da planta controlada pelo PI-D em o Preditor de Smith. Sendo que para a implementação na prática, deve-e adicionar o pólo no termo derivativo conforme já apreentado no controle PID. Verificou-e atravé de imulaçõe e reultado experimentai que para o cao do trocador de calor feixe tubular, ambo controle PID e PI-D apreentam deempenho muito parecido para a mema intonia de Kp, Ti e Td utilizada. A figura 4.19 motra o reultado de imulação do controle PI-D para uma vazão de água na parte do tubo de 24,89 kg/min utilizando o valore de intonia motrado na tabela 4.1. A figura 4.20 motra o reultado experimental do controle PI-D para uma vazão de água no tubo de 24,89 kg/min utilizando o valore de intonia motrado na tabela 4.1.

19 4 CONTROLADOR PID COM O PREDITOR DE SMITH 46 Figura Reultado de imulação do controle PI-D para uma vazão de 24,89 kg/min. Figura Reultado experimental do controle PI-D para uma vazão de 24,89 kg/min. Comparando o inai no atuador do PID e do PI-D, vemo que a diferença entre ele é a auência de um pico no intante da aplicação do degrau. Ito ocorre porque a parcela do derivativo foi removida do ramo de avanço para o ramo de realimentação. Eta caracterítica do

20 4 CONTROLADOR PID COM O PREDITOR DE SMITH 47 controle PI-D em comparação com o controle PID pode er viualizada no gráfico da figura 4.21 e Figura Sinal do atuador para o itema de controle PID reultado experimental. Figura Sinal do atuador para o itema de controle PI-D reultado experimental. Na figura 4.21 e 4.22, vemo que o controle PI-D não apreenta o pico no inal do atuador no intante da aplicação do degrau. Ete pico é indeejado em algun cao.

21 4 CONTROLADOR PID COM O PREDITOR DE SMITH 48 O controle I-PD é uma variação do controle PID onde amba açõe derivativa e proporcional foram removida do ramo de avanço e colocada no ramo de realimentação. Deta forma, a parcela derivativa e proporcional agem com bae no inal y(t) e não mai com bae no inal x(t)-y(t). Ito é feito para eliminar o efeito proporcional no atuador, poi injetando-e um degrau em x(t), temo um degrau no atuador, o que em alguma veze pode er prejudicial ao atuador. No cao do trocador de calor feixe tubular, a ação do proporcional na válvula não é prejudicial. A implementação do controle I-PD foi realizada apena para fin didático. O diagrama de bloco da figura 4.23 e 4.24 motram a planta controlada pelo controle I-PD com e em o uo do Preditor de Smith repectivamente. Figura Diagrama de bloco da planta controlada pelo I-PD com o Preditor de Smith. Figura Diagrama de bloco da planta controlada pelo I-PD em o Preditor de Smith. Se o modelo do preditor apreentar uma dinâmica muito parecida com a dinâmica da planta, o itema em malha fechada para o controle I-PD com o Preditor de Smith fica decrito pela expreão a eguir.

22 4 CONTROLADOR PID COM O PREDITOR DE SMITH 49 θ. Y ( ) Kp. e = X ( ) 2 Ti.( τ + Kp. Td ). + Ti.(1 + Kp). + Kp (4.23) Identificando a função de tranferência acima com a forma cláica de itema de egunda ordem, obtemo: Kp 2 Ti.( τ Kp. Td ) ωn = 2 (1 + Kp) Kp ζ. ωn. + (4.24) +. + ( τ + Kp. Td ) Ti.( τ + Kp. Td ) + ω 2 n Kp ω n = (4.25) Ti.( τ + Kp. Td) ( 1+ Kp) Ti.( τ + Kp. Td) ζ =. (4.26) 2.( τ + Kp. Td) Kp Como o tempo de ubida (tr) e o máximo obreinal (Mp) ão dado por: 1 ζ π arctan ζ 2 tr = (4.27) 2 ωn. 1 ζ ζ. π 1 ζ 2 Mp = e (4.28) Podemo achar o valore de Kp, Ti e Td que atendam o requiito de tempo de ubida e obreinal uando a equaçõe acima. Podemo verificar que o itema controlado pelo I-PD irá apreentar erro etacionário nulo, aplicando o teorema do valor final na expreão 4.23, conforme foi feito para o cao do controle PID.

23 4 CONTROLADOR PID COM O PREDITOR DE SMITH 50 lim. 0 2 Kp Ti.( τ + Kp. Td ) 1. (4.29) = 1 (1 + Kp) Kp +. + ( τ + Kp. Td) Ti.( τ + Kp. Td ) Como o valor final da variável controlada pelo I-PD irá apreentar valor unitário para a repota ao degrau unitário, então o erro etacionário é zero, atendendo deta forma uma da epecificaçõe do controle. Como o máximo obreinal admitido deve er inferior a 5%, iremo intonizar o valore de Kp, Ti e Td para um obreinal de 2%, dando deta forma, uma margem de egurança que atenda à epecificaçõe do controle. Uando a equação 4.28, obtemo o valor de ζ que atenda a um obreinal de 5%. O valor de ζ para ete cao é 0,78, como o valor de ζ é conhecido, podemo encontrar o valor de ω n que atenda o tempo de ubida atravé da equação Uando a equação 4.27 para um tempo de ubida de 600 egundo, encontramo um valor de ω n igual a 6, No cao do controle I-PD, definimo o tempo de ubida como endo o tempo neceário para a variável controlada atingir, pela primeira vez, o eu valor de regime a partir do intante da aplicação do degrau. Com o valore de ζ e ω n obtido acima, podemo encontrar o valore de Kp, Ti e Td atravé da equaçõe 4.25 e Adotando um valor de Td = 1, obtemo o valore de intonia para o controle I-PD para o ei valore de vazão de água na parte do tubo, enaiado no capítulo 3. O valor Td = 1 torna o cálculo mai fácei e não amplifica muito o ruído. Valore elevado de Td amplificam muito o ruído proveniente do enore. A tabela 4.3 motra o valore de intonia. Tabela 4.4. Valore de intonia para o controle I-PD e parâmetro do Preditor de Smith para cada valor de vazão enaiado. Valore de intonia do controle I-PD Parâmetro do Preditor Vazão (kg/min) Kp Ti Td K a τ a θ a 12,45 0,9 182,7 1,0 4,7 480, ,95 1,0 188,3 1,0 4,9 550, ,44 1,1 192,5 1,0 5,4 620, ,06 1,1 196,3 1,0 6,3 699, ,43 1,1 200,1 1,0 7,3 800, ,89 1,0 202,7 1,0 8,5 890,1 35 Para que o derivativo e torne realizável fiicamente, é inerido um pólo no memo (conforme já realizado no controle PID e PI-D).

24 4 CONTROLADOR PID COM O PREDITOR DE SMITH 51 A figura 4.25 motra o reultado de uma imulação para o controle I-PD para um valor de vazão de água na parte do tubo de 12,45 kg/min. Repare que a epecificaçõe de deempenho ão atendida nete gráfico. A figura 4.26 e 4.27 motram, repectivamente, a repota ao degrau do itema controlado e o inal no atuador obtido experimentalmente para o controle I- PD. Figura Simulação do controle I-PD para uma vazão de 12,45 kg/min.

25 4 CONTROLADOR PID COM O PREDITOR DE SMITH 52 Figura Comparativo da repota ao degrau da planta controlada obtido experimentalmente com o controle I-PD com o preditor e em o preditor, para um valor de vazão de água na parte do tubo de 12,45 kg/min. Figura Sinal no atuador para o enaio da figura 4.26.

26 4 CONTROLADOR PID COM O PREDITOR DE SMITH 53 Repare que no inal do atuador, o controle I-PD gera uma rampa inicialmente. Como a parcela do controle proporcional foi removida do ramo de avanço para o ramo de realimentação, retou omente o efeito do integrativo no ramo de avanço, o qual gerou a rampa no inicio da aplicação do degrau no etpoint.